การแจกแจงแบบ t มีหางที่หนักกว่าการแจกแจงแบบปกติ

10

ในบันทึกการบรรยายของฉันมันบอกว่า

การแจกแจงแบบทีดูเหมือนปกติ แต่มีหางที่หนักกว่าเล็กน้อย

ฉันเข้าใจว่าทำไมมันจึงดูเป็นปกติ (เพราะทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง) แต่ฉันมีเวลายากที่จะเข้าใจวิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่ามันมีหางที่หนักกว่าการแจกแจงแบบปกติและหากมีวิธีการวัดจนถึงระดับที่หนักกว่าการกระจายแบบปกติ

normal-distribution t-distribution heavy-tailed

— hmi2015
แหล่งที่มา

12

สิ่งแรกที่ต้องทำคือทำพิธีที่เราหมายถึงโดย "หางที่หนักกว่า" ใคร ๆ ก็มองว่าความหนาแน่นอยู่ในหางที่สูงอย่างเห็นได้ชัดหลังจากปรับมาตรฐานทั้งสองให้มีตำแหน่งและขนาดเท่ากัน (เช่นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน):

(จากคำตอบนี้ซึ่งค่อนข้างเกี่ยวข้องกับคำถามของคุณ )

[สำหรับกรณีนี้การปรับขนาดไม่สำคัญในท้ายที่สุด เสื้อจะยังคง "หนัก" กว่าปกติแม้ว่าคุณจะใช้เครื่องชั่งที่แตกต่างกันมาก ปกติจะลดลงในที่สุด]

อย่างไรก็ตามคำจำกัดความดังกล่าว - แม้ว่ามันจะทำงานได้ดีสำหรับการเปรียบเทียบแบบพิเศษนี้ - ก็ไม่ได้พูดคุยกันได้ดีนัก

โดยทั่วไปความหมายที่ดีมากคือในคำตอบ whuber ที่นี่ ดังนั้นถ้าหนักกว่าเทลด์เนื่องจากมีขนาดใหญ่พอ (สำหรับทุกบาง ) ดังนั้นโดยที่โดยที่คือ cdf (สำหรับที่หนักกว่า - ด้านขวามีความหมายที่ชัดเจนคล้ายกันอยู่อีกด้านหนึ่ง) $Y$ $X$ $t$ $t>$ $t_0$ $S_Y(t)>S_X(t)$ $S=1-F$ $F$

นี่คือบันทึกระดับและในระดับควอไทล์ของปกติซึ่งช่วยให้เราสามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติม:

ดังนั้น "การพิสูจน์" ของความหนักเบาจะเกี่ยวข้องกับการเปรียบเทียบ cdf และแสดงให้เห็นว่าหางส่วนบนของ t-cdf ในที่สุดมักจะอยู่เหนือของปกติและท้ายล่างของ t-cdf ในท้ายที่สุดจะอยู่ต่ำกว่าปกติ

ในกรณีนี้สิ่งที่ง่ายต่อการทำคือการเปรียบเทียบความหนาแน่นแล้วแสดงให้เห็นว่าตำแหน่งสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องของ cdfs (/ ฟังก์ชันผู้รอดชีวิต) ต้องเป็นไปตามนั้น

ตัวอย่างเช่นถ้าคุณสามารถโต้แย้งได้ (ในบางกรณี ) $\nu$

$x^2 - (\nu+1) \log(1+\frac{x^2}{\nu}) > 2\cdot\log(k)\qquad^\dagger$

สำหรับค่าคงที่จำเป็น (ฟังก์ชั่นของ ) สำหรับทุกบางแล้วมันจะเป็นไปได้ที่จะสร้างหางหนักยังเกี่ยวกับความหมายในแง่ของการที่ใหญ่กว่า (หรือใหญ่กว่าบน หางซ้าย) $k$ $\nu$ $x>$ $x_0$ $t_\nu$ $1-F$ $F$

$^\dagger$ (แบบฟอร์มนี้ตามมาจากความแตกต่างของบันทึกของความหนาแน่นถ้ามีความสัมพันธ์ที่จำเป็นระหว่างความหนาแน่นถือ)

[จริง ๆ แล้วมันเป็นไปได้ที่จะแสดงมันสำหรับใด ๆ (ไม่ใช่เฉพาะที่เราต้องการมาจากค่าคงที่ความหนาแน่นปกติที่เกี่ยวข้อง) ดังนั้นผลลัพธ์จะต้องมีไว้สำหรับเราต้องการ] $k$ $k$

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

1

กราฟที่มี (และอาจขยายได้เล็กน้อย ) อาจแสดงให้เห็นถึงหางที่หนักกว่าอย่างชัดเจนยิ่งขึ้นและสามารถทำงานกับองศาอิสระที่สูงขึ้นได้

\log S (x)

$\log S(x)$

x

$x$

— Henry

1

@Henry ฉันสร้างพล็อตดังกล่าว แต่ไม่แน่ใจว่าจะเพิ่มมูลค่าเท่าใดฉันจึงไม่ได้รวม ฉันจะคิดเกี่ยวกับการใส่มันลงไป

— Glen_b

1

@ เฮนรี่ฉันรวมพล็อต

— Glen_b -Reinstate Monica

2

วิธีหนึ่งที่จะเห็นความแตกต่างคือโดยการใช้ช่วงเวลา $E\{x^n\}.$

"Heavier" tails จะหมายถึงค่าที่สูงขึ้นสำหรับช่วงเวลาที่เท่ากัน (power 4, 6, 8) เมื่อความแปรปรวนเหมือนกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งช่วงเวลาลำดับที่ 4 (ประมาณศูนย์) เรียกว่า kurtosis และเปรียบเทียบในแง่ที่แน่นอนว่ามีความหนักเบาของก้อย

ดูรายละเอียดเพิ่มเติมใน Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis )

— Dacian Bonta
แหล่งที่มา

1

แม้ว่าสำหรับ -distribution กับหรือองศาอิสระ kurtosis นั้นไม่มีที่สิ้นสุดในขณะที่ด้วยองศาอิสระส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะไม่มีที่สิ้นสุดดังนั้นคุณจึงไม่สามารถคำนวณ kurtosis ได้และด้วยองศาอิสระคุณไม่สามารถคำนวณค่าเฉลี่ยหรือขณะ TH

t

$t$

3

$3$

4

$4$

2

$2$

1

$1$

4

$4$

— Henry

3

@Henry อย่างไรก็ตามความคิดนี้เป็นสิ่งที่ดี ขยาย CDF ของนักเรียนกระจายไปรอบ ๆแสดงให้เห็นว่ามันเป็นสัดส่วน asymptotically การu} ดังนั้นทุกช่วงเวลาที่แน่นอนของน้ำหนักที่น้อยกว่ามีอยู่และช่วงเวลาที่แน่นอนของน้ำหนักที่มากกว่าแตกต่าง ด้วยการแจกแจงแบบปกติจะมีช่วงเวลาที่แน่นอนทั้งหมด นี่เป็นการจัดลำดับที่แน่นอนของก้อยของการแจกแจงแบบทั้งหมดและการแจกแจงแบบปกติ ในผลพารามิเตอร์ให้หนึ่งคำตอบสำหรับคำถามเดิมเกี่ยวกับวิธีการวัดความหนักของหาง

t (ν)

$t(\nu)$

+ \infty

$+\infty$

x^{- ν}

$x^{-\nu}$

ν

$\nu$

ν

$\nu$

t

$t$

ν

$\nu$

— whuber

2

นี่คือการพิสูจน์อย่างเป็นทางการตามฟังก์ชั่นการเอาชีวิตรอด ฉันใช้คำจำกัดความของ "heavy tail tail" ที่ได้รับแรงบันดาลใจจากวิกิพีเดีย :

ตัวแปรสุ่มมีฟังก์ชั่นการอยู่รอดมีหางที่หนักกว่าตัวแปรสุ่มมีฟังก์ชันการอยู่รอด iff $Y$ $S_y(t)$ $X$ $S_x(t)$

lim_{t \to \infty} \frac{S_{y} (t)}{S_{x} (t)} = \infty

$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \infty$

พิจารณาตัวแปรสุ่มกระจายเป็นทีของนักเรียนที่มีค่าเฉลี่ยศูนย์องศาอิสระและขนาดพารามิเตอร์ เราเปรียบเทียบกับตัวแปรสุ่ม2) สำหรับตัวแปรทั้งสองฟังก์ชันการเอาชีวิตรอดนั้นแตกต่างกัน ดังนั้น, $Y$ $\nu$ $a$ $X\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

\begin{aligned} lim_{t \to \infty} \frac{S_{y} (t)}{S_{x} (t)} & = lim_{t \to \infty} \frac{f_{y} (t)}{f_{x} (t)} = \exp lim_{t \to \infty} (\log f_{y} (t) - \log f_{x} (t)) \\ = \exp lim_{t \to \infty} (- \frac{ν + 1}{2} \log (1 + \frac{t^{2}}{ν a^{2}}) - (- \frac{1}{2 σ^{2}} t^{2}) + C) \\ = \exp (lim_{t \to \infty} - \frac{ν + 1}{2} \log (1 + \frac{t^{2}}{ν a^{2}}) - (- \frac{1}{2 σ^{2}} t^{2}) + C) \\ = \exp (lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 σ^{2}} t^{2} - \frac{ν + 1}{2} \log (1 + \frac{t^{2}}{ν a^{2}}) + C) \\ = \exp (\frac{1}{2} lim_{u \to \infty} \frac{a^{2}}{σ^{2}} u - (ν + 1) \log (1 + \frac{u}{ν}) + C) \\ = \exp (\frac{1}{2} lim_{u \to \infty} u (\frac{a^{2}}{σ^{2}} - \frac{(ν + 1) \log (1 + \frac{u}{ν})}{u} + \frac{C}{u})) \end{aligned}

$\begin{align*} \lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} &= \lim_{t\to\infty}\frac{f_y(t)}{f_x(t)} = \exp \lim_{t\to\infty}\left(\log f_y(t) - \log f_x(t)\right)\\ &=\exp \lim_{t\to\infty}\left(-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2\sigma^2}t^2-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}\frac{a^2}{\sigma^2}u - (\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u}+\frac{C}{u}\right)\right) \end{align*}$ ที่เราได้แทน 2 โปรดทราบว่าเป็นค่าคงที่,และ ดังนั้นด้วยทฤษฎีบทขีด จำกัด พีชคณิต

u = t^{2} / a^{2}

$u=t^2/a^2$

0 < a^{2} / σ^{2} < \infty

$0<a^2/\sigma^2<\infty$

lim_{u \to \infty} C / u = 0

$\lim_{u\to\infty} C/u = 0$

lim_{u \to \infty} \frac{(ν + 1) \log (1 + \frac{u}{ν})}{u} = lim_{u \to \infty} \frac{(ν + 1)}{(1) (1 + \frac{u}{ν}) (ν)} = 0

$\lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u} = \lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)}{(1)(1+\frac{u}{\nu})(\nu)} = 0$

lim_{t \to \infty} \frac{S_{y} (t)}{S_{x} (t)} = \exp (\frac{1}{2} lim_{u \to \infty} u (\frac{a^{2}}{σ^{2}} - (0) + (0))) = \infty

$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty} u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - (0) + (0)\right)\right) = \infty$

ที่สำคัญผลลัพธ์นั้นเก็บไว้สำหรับค่าตามอำเภอใจ (จำกัด ) ของ ,และดังนั้นคุณสามารถมีสถานการณ์ที่การกระจายมีความแปรปรวนน้อยกว่าปกติ แต่ยังมีหางที่หนักกว่า $a$ $\sigma^2$ $\nu$

— Will Townes
แหล่งที่มา

1

เพียงแค่ทราบว่า "คำจำกัดความ" ของหางที่หนักกว่านี้ไม่สามารถยอมรับได้เสมอไป ตัวอย่างเช่นการแจกแจง N (0,1) ตามคำนิยามนี้มีก้อยที่หนักกว่าการแจกแจง. 9999 * U (-1,1) + .0001 * U (-1000, 1000) แม้ว่าการแจกแจงหลังจะสร้าง ค่าเป็นครั้งคราวมากถึง 175 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ยแม้จะมีการสนับสนุนที่ถูกผูกไว้ แน่นอนว่า N (0,1) นั้นให้คุณค่าเช่นกัน แต่ด้วยความน่าจะเป็นต่ำกว่าสิ่งที่สามารถพิจารณาได้ว่ามีความเกี่ยวข้องสำหรับการใช้งานจริง

— Peter Westfall