autocorrelation สำหรับการเดินแบบสุ่มคืออะไร?

ดูเหมือนว่ามันจะสูงจริงๆ แต่มันก็ไม่ง่ายสำหรับฉัน ใครช่วยอธิบายหน่อยได้ไหม? ฉันสับสนมากในเรื่องนี้และขอขอบคุณคำอธิบายที่ละเอียดและลึกซึ้ง ขอบคุณมากในล่วงหน้า!

(ฉันเขียนข้อความนี้เป็นคำตอบของโพสต์อื่นซึ่งถูกทำเครื่องหมายว่าซ้ำกับโพสต์นี้ในขณะที่ฉันแต่งมันฉันคิดว่าฉันโพสต์ไว้ที่นี่แทนที่จะทิ้งไป คำตอบ แต่มันแตกต่างกันมากพอที่จะมีคนเอาบางสิ่งออกไปจากสิ่งนี้)

การเดินแบบสุ่มเป็นรูปแบบ$y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

โปรดทราบว่า$y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

ดังนั้น )$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

โปรดทราบด้วยว่า$\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

ดังนั้นตัน$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

ซึ่งหมายความว่าคุณควรเห็นความสัมพันธ์เกือบ 1 เพราะทันทีที่เริ่มมีขนาดใหญ่y tและy t - 1เกือบจะเหมือนกัน - ความแตกต่างสัมพัทธ์ระหว่างพวกเขามีแนวโน้มที่จะค่อนข้างเล็ก$t$$y_t$$y_{t-1}$

คุณสามารถดูนี้ส่วนใหญ่ได้อย่างง่ายดายโดยการวางแผนเทียบกับปีที- 1$y_t$$y_{t-1}$

$y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$$y=x$$t$$y=x$$\sqrt{t}$

$(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$.

$x_{i+1}$$x_i$$x_i$$x_0$$\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$$1$$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

$n=1000$$R^2$$1 - 4/n$

นี่คือRรหัสที่สร้างภาพ

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))