ทอพอโลยีที่ชุดการแจกแจงความน่าจะเป็นเสร็จสมบูรณ์

ฉันได้รับการดิ้นรนค่อนข้างน้อยด้วยการปรับความเข้าใจที่เข้าใจง่ายของการแจกแจงความน่าจะเป็นกับคุณสมบัติแปลก ๆ ที่ทอพอโลยีเกือบทั้งหมดเกี่ยวกับการแจกแจงความน่าจะเป็นมี

ตัวอย่างเช่นลองพิจารณาตัวแปรสุ่มแบบผสม : เลือกแบบเกาส์ที่กึ่งกลางที่ 0 ด้วยความแปรปรวน 1 และด้วยความน่าจะเป็นเพิ่มในผลลัพธ์ ลำดับของตัวแปรสุ่มดังกล่าวจะมาบรรจบกัน (อย่างอ่อนและในรูปแบบทั้งหมด) ไปยังเกาส์เป็นศูนย์กลางที่ 0 กับความแปรปรวน 1 แต่ค่าเฉลี่ยของเสมอและผลต่างมาบรรจบกันที่จะ+ฉันไม่ชอบบอกว่าลำดับนี้มาบรรจบกันเพราะสิ่งนั้น$X_n$$\frac{1}{n}$$n$$X_n$$1$$+\infty$

ฉันใช้เวลาพอสมควรที่จะจำทุกสิ่งที่ฉันลืมเกี่ยวกับทอพอโลยี แต่ในที่สุดฉันก็พบว่าอะไรที่ทำให้ฉันไม่พอใจกับตัวอย่างเช่น: ขีด จำกัด ของลำดับไม่ใช่การแจกแจงแบบเดิม ในตัวอย่างข้างต้นขีด จำกัด คือ "Gaussian ของค่าเฉลี่ย 1 และค่าความแปรปรวนอนันต์" แปลก ในแง่ทอพอโลยีชุดการแจกแจงความน่าจะเป็นยังไม่สมบูรณ์ภายใต้จุดอ่อน (และทีวีและทอพอโลยีอื่น ๆ ทั้งหมดที่ฉันเคยดู)

จากนั้นฉันก็พบกับคำถามต่อไปนี้:

• โทโพโลยีมีอยู่ไหมว่าชุดการกระจายความน่าจะเป็นเสร็จสมบูรณ์หรือไม่

• ถ้าไม่การขาดนั้นสะท้อนถึงคุณสมบัติที่น่าสนใจของการแจกแจงความน่าจะเป็นทั้งหมดหรือไม่? หรือมันน่าเบื่อ?

หมายเหตุ: ฉันได้เขียนคำถามเกี่ยวกับ "การแจกแจงความน่าจะเป็น" แล้ว สิ่งเหล่านี้ไม่สามารถปิดได้เพราะพวกเขาสามารถรวมเข้ากับ Dirac และสิ่งต่าง ๆ เช่นที่ไม่มี pdf แต่มาตรการยังไม่ปิดภายใต้ทอพอโลยีที่อ่อนแอดังนั้นคำถามของฉันยังคงอยู่

crossposted ไปที่ mathoverflow /mathpro/226339/topologies-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339

เมื่อดูที่คำถามจากมุมสถิติที่แคบกว่า (ปัญหาทอพอโลยีทางคณิตศาสตร์ทั่วไปถูกต้อง) ความจริงที่ว่าลำดับของช่วงเวลาอาจไม่มาบรรจบกันในช่วงเวลาของการกระจายตัว จำกัด นั้นเป็นปรากฏการณ์ที่รู้จักกันดี ในหลักการนี้ไม่ได้ตั้งข้อสงสัยโดยอัตโนมัติถึงการมีอยู่ของการจำกัดความประพฤติที่ดีของลำดับ

การ จำกัด การกระจายของลำดับข้างต้น $\{X_n + n Bern(1/n)\}$ เป็นคนดี $N(0,1)$การกระจายด้วยช่วงเวลาที่ จำกัด มันเป็นช่วงเวลาที่ไม่ได้มาบรรจบกัน แต่นี่คือซีเควนซ์ที่ต่างกันซึ่งประกอบด้วยลำดับของฟังก์ชั่นของตัวแปรสุ่มของเรา (อินทิกรัลความหนาแน่นและอื่น ๆ ) ไม่ใช่ลำดับของตัวแปรสุ่มที่มีการ จำกัด การกระจาย