แต่กลับกลายเป็นว่าโคโนบทความโดยเคนเน ธ ขนาดเล็กและฮาร์วีย์ Rosenแสดงให้เห็นว่าในปี 1981 นี้ แต่ในบริบทของความเชี่ยวชาญมากเพื่อผลที่ต้องใช้จำนวนมากของการขุดไม่พูดถึงการฝึกอบรมในสาขาเศรษฐศาสตร์ ฉันตัดสินใจที่จะพิสูจน์ในวิธีที่ฉันสามารถเข้าถึงได้มากขึ้น
พิสูจน์ : ให้เป็นจำนวนทางเลือก ขึ้นอยู่กับค่าของ vector , ฟังก์ชันใช้ค่าต่างกัน ครั้งแรกที่มุ่งเน้นไปที่ค่าของเช่นว่า\ นั่นคือเราจะรวมกับชุด :Jϵ={ϵ1,...,ϵJ}maxi(δi+ϵi)ϵmaxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1δ1+ϵ1M1≡{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j≠1}
Eϵ∈M1[maxi(δi+ϵi)]=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)[∫δ1+ϵ1−δ2−∞...∫δ1+ϵ1−δJ−∞f(ϵ2)...f(ϵJ)dϵ2...dϵJ]dϵ1=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)(∫δ1+ϵ1−δ2−∞f(ϵ2)dϵ2)...(∫δ1+ϵ1−δJ−∞f(ϵJ)dϵJ)dϵ1=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)F(δ1+ϵ1−δ2)...F(δ1+ϵ1−δJ)dϵ1
ระยะดังกล่าวข้างต้นเป็นครั้งแรกของข้อตกลงดังกล่าวในขวา)] โดยเฉพาะอย่างยิ่งJE[maxi(δi+ϵi)]
E[maxi(δi+ϵi)]=∑iEϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)].
ตอนนี้เราใช้รูปแบบการทำงานของการกระจาย Gumbel สิ่งนี้จะช่วยให้
===Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵie−eμ−ϵi∏j≠ie−eμ−ϵi+δj−δidϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵi∏je−eμ−ϵi+δj−δidϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵiexp{∑j−eμ−ϵi+δj−δi}dϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵiexp{−eμ−ϵi∑jeδj−δi}dϵi
ที่ขั้นตอนที่สองมาจากการจัดเก็บภาษีหนึ่งในแง่ exponentiated ลงสินค้าพร้อมกับความจริงที่ว่าถ้าJδj−δi=0i=j
ตอนนี้เรากำหนดและทำการแทนดังนั้นและขวา) โปรดสังเกตว่าเมื่อเข้าใกล้อนันต์,เข้าใกล้ 0 และขณะที่เข้าใกล้อนันต์ลบ,เข้าใกล้อนันต์ Di≡∑jeδj−δix=Dieμ−ϵidx=−Dieμ−ϵidϵi⇒−dxDi=eμ−ϵidϵiϵi=μ−log(xDi)ϵixϵix
==Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=∫0∞(δi+μ−log[xDi])(−1Di)exp{−x}dx1Di∫∞0(δi+μ−log[xDi])e−xdxδi+μDi∫∞0e−xdx−1Di∫∞0log[x]e−xdx+log[Di]Di∫∞0e−xdx
ฟังก์ชันแกมมาถูกกำหนดให้เป็น1} สำหรับค่าของซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกนี่เท่ากับดังนั้น1 นอกจากนี้ยังเป็นที่รู้จักกันว่าออยเลอร์-Mascheroni คงที่น่าพอใจΓ(t)=∫∞0xt−1e−xdxtΓ(t)=(t−1)!Γ(1)=0!=1γ≈0.57722
γ=−∫∞0log[x]e−xdx.
ใช้ข้อเท็จจริงเหล่านี้ให้
Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=δi+μ+γ+log[Di]Di
แล้วเรารวมกว่าจะได้รับi
E[maxi(δi+ϵi)]=∑iδi+μ+γ+log[Di]Di
จำได้ว่าdelta_i}} สังเกตว่าน่าจะเป็นทางเลือกที่คุ้นเคย logitมีแปรผกผันของ 's หรือในคำอื่น ๆ1 นอกจากนี้ทราบว่า1 ถ้าอย่างนั้นเราก็มีDi=∑jeδj−δi=∑jeδjeδiPi=eδi∑jδjDiPi=1/Di∑iPi=1
E[maxi(δi+ϵi)]======∑iPi(δi+μ+γ+log[Di])(μ+γ)∑iPi+∑iPiδi+∑iPilog[Di]μ+γ+∑iPiδi+∑iPilog[∑jeδjeδi]μ+γ+∑iPiδi+∑iPilog[∑jeδj]−∑iPilog[eδi]μ+γ+∑iPiδi+log[∑jeδj]∑iPi−∑iPiδiμ+γ+log[∑jexp{δj}].
QED