เรามีการทดลองแบบสุ่มกับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันในการสร้างพื้นที่ตัวอย่าง ซึ่งเรามองด้วยความสนใจในรูปแบบบางอย่างที่เรียกว่าeventsSigma-algebras (หรือ sigma-fields)ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่สามารถวัดความน่าจะเป็นได้ คุณสมบัติบางอย่างเป็นจริงรวมทั้งการรวมของชุด nullและตัวอย่างพื้นที่ทั้งหมดและพีชคณิตที่อธิบายสหภาพแรงงานและสี่แยกที่มีแผนภาพเวนน์$\Omega,$F หน้า ∅ $\mathscr{F}.$ $\mathbb{P}$$\varnothing$

น่าจะมีการกำหนดเป็นฟังก์ชั่นระหว่างที่พีชคณิตและช่วง[0,1]พรึบสามรูปแบบพื้นที่น่าจะเป็น$\sigma$$[0,1]$$(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$

มีคนอธิบายเป็นภาษาอังกฤษธรรมดาได้หรือไม่ว่าทำไมความน่าจะเป็นที่พังทลายลงมาถ้าเราไม่มี -algebra? พวกเขาเพิ่งจะยืนอยู่ตรงกลางด้วย "F" การประดิษฐ์ตัวอักษรที่เป็นไปไม่ได้ ฉันเชื่อว่าพวกเขามีความจำเป็น ฉันเห็นว่าเหตุการณ์แตกต่างจากผลลัพธ์ แต่สิ่งใดที่จะผิดไปได้หากไม่มี -algebras$\sigma$$\sigma$

คำถามคือในประเภทใดของปัญหาความน่าจะเป็นความหมายของพื้นที่ความน่าจะเป็นรวมถึง - พีชคณิตกลายเป็นสิ่งจำเป็น?$\sigma$

เอกสารออนไลน์นี้บนเว็บไซต์ของมหาวิทยาลัย Dartmouthมีคำอธิบายที่ใช้ภาษาอังกฤษได้ง่าย แนวคิดนี้เป็นตัวชี้การหมุนทวนเข็มนาฬิกาในวงกลมของหน่วยปริมณฑล:

เราเริ่มต้นด้วยการสร้างสปินเนอร์ซึ่งประกอบด้วยวงกลมของหน่วยรอบและตัวชี้ตามที่แสดงใน [รูป] รูป เราเลือกจุดบนวงกลมแล้วทำเครื่องหมายจากนั้นติดป้ายทุกจุดอื่นบนวงกลมด้วยระยะทางพูดจากถึงจุดนั้นวัดทวนเข็มนาฬิกา การทดสอบประกอบด้วยการหมุนตัวชี้และบันทึกฉลากของจุดที่ปลายตัวชี้ เราปล่อยให้ตัวแปรสุ่มแทนค่าของผลลัพธ์นี้ พื้นที่ตัวอย่างเป็นช่วงเวลาที่ชัดเจน$0$$x$$0$$X$$[0,1)$. เราต้องการสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นที่แต่ละผลลัพธ์มีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นอย่างเท่าเทียมกัน หากเราดำเนินการตามที่เราทำ [... ] สำหรับการทดลองที่มีจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ จำกัด เราจะต้องกำหนดความน่าจะเป็นให้แต่ละผลลัพธ์เนื่องจากมิฉะนั้นผลรวมของความน่าจะเป็นเหนือผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะไม่ เท่ากับ 1 (อันที่จริงแล้วการรวมจำนวนจริงจำนวนที่นับไม่ได้เป็นธุรกิจที่ยุ่งยากโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพื่อให้ผลรวมดังกล่าวมีความหมายใด ๆ โดยสรุปแล้วการสรุปจำนวนมากอาจแตกต่างจาก ) อย่างไรก็ตามถ้า ความน่าจะเป็นที่ได้รับมอบหมายทั้งหมดคือจากนั้นผลรวมคือ ไม่ใช่อย่างที่ควรจะเป็น$0$$0$$0$$0$$1$

ดังนั้นหากเราได้รับมอบหมายให้แต่ละจุดน่าจะเป็นใด ๆ และได้รับว่ามี (uncountably) จำนวนอินฟินิตี้ของจุดรวมของพวกเขาจะเพิ่มขึ้นถึง1$> 1$

ถึงจุดแรกของซีอาน: เมื่อคุณพูดถึง -algebras คุณกำลังถามถึงฉากที่วัดได้ดังนั้นน่าเสียดายที่คำตอบใด ๆ จะต้องมุ่งเน้นไปที่ทฤษฎีการวัด ฉันจะพยายามสร้างมันขึ้นมาเบา ๆ$\sigma$

ทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ยอมรับเซตย่อยทั้งหมดของเซตที่นับไม่ได้จะทำลายคณิตศาสตร์

ลองพิจารณาตัวอย่างนี้ สมมติว่าคุณมีหน่วยสี่เหลี่ยมในและคุณสนใจที่จะสุ่มเลือกจุดที่เป็นสมาชิกของชุดเฉพาะในหน่วยสี่เหลี่ยม ในหลาย ๆ สถานการณ์สิ่งนี้สามารถตอบได้อย่างง่ายดายโดยอิงจากการเปรียบเทียบพื้นที่ของชุดต่างๆ ตัวอย่างเช่นเราสามารถวาดวงกลมวัดพื้นที่ของพวกเขาแล้วนำความน่าจะเป็นเป็นเศษส่วนของสี่เหลี่ยมที่ตกลงไปในวงกลม ง่ายมาก.$\mathbb{R}^2$

แต่ถ้าพื้นที่ของชุดดอกเบี้ยไม่ชัดเจน

หากพื้นที่นั้นไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจนเราสามารถให้เหตุผลถึงข้อสรุปที่ต่างกันสองข้อ แต่มีเหตุผลอย่างสมบูรณ์ (ในบางแง่มุม) เกี่ยวกับสิ่งที่พื้นที่นั้นเป็น ดังนั้นเราจะได้มีบนมือข้างหนึ่งและในมืออื่น ๆ ซึ่งหมายถึง 1 นี่เป็นการทำลายคณิตศาสตร์ทั้งหมดเกินกว่าจะซ่อมได้ ตอนนี้คุณสามารถพิสูจน์ได้และอีกหลายสิ่งที่ผิดปกติอื่น ๆ เห็นได้ชัดว่ามันไม่มีประโยชน์อะไรP ( A ) = 0 0 = 1 5 < $P(A)=1$$P(A)=0$$0=1$$5<0$

$\sigma$ -algebras เป็นแพทช์ที่แก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์

คืออะไรพีชคณิตแม่นยำ? จริงๆแล้วมันไม่ได้น่ากลัว มันเป็นเพียงคำจำกัดความของชุดที่อาจถือเป็นเหตุการณ์ องค์ประกอบที่ไม่อยู่ในนั้นไม่มีการวัดความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้ โดยทั่วไป -algebras เป็น "patch" ที่ช่วยให้เราหลีกเลี่ยงพฤติกรรมทางพยาธิวิทยาบางอย่างของคณิตศาสตร์คือเซตที่ไม่สามารถวัดได้F$\sigma$$\mathscr{F}$$\sigma$

ข้อกำหนดสามประการของ a -field สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นผลที่ตามมาจากสิ่งที่เราต้องการทำกับความน่าจะเป็น: A -field เป็นชุดที่มีคุณสมบัติสามอย่าง:$\sigma$$\sigma$

1. ปิดภายใต้สหภาพที่นับได้
2. ปิดภายใต้ทางแยกที่นับได้
3. ปิดภายใต้การเติมเต็ม

สหภาพที่นับได้และองค์ประกอบทางแยกที่นับได้นั้นเป็นผลโดยตรงของปัญหาชุดที่ไม่สามารถวัดได้ ปิดภายใต้การเติมเต็มเป็นผลมาจากการ Kolmogorov สัจพจน์: ถ้า ,ควรจะเป็น1/3แต่หากไม่มี (3) อาจเกิดขึ้นได้ว่าไม่ได้กำหนดไว้ นั่นคงจะแปลก ปิดภายใต้การเติมเต็มและสัจพจน์ Kolmogorov ให้เราที่จะพูดสิ่งที่ชอบ 1P ( ค ) 1 / 3 P ( ค ) P ( ∪ ค ) = P ( ) + 1 - P ( ) = $P(A)=2/3$$P(A^c)$$1/3$$P(A^c)$$P(A\cup A^c)=P(A)+1-P(A)=1$

ในที่สุดเรากำลังพิจารณาเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับดังนั้นเราจึงต้องการ$\Omega$$\Omega\in\mathscr{F}$

ข่าวดี: -algebras นั้นจำเป็นสำหรับชุดที่นับไม่ได้เท่านั้น$\sigma$

แต่! มีข่าวดีที่นี่เช่นกัน หรืออย่างน้อยก็เป็นวิธีที่จะทำให้เกิดปัญหา เราต้องการเพียง -algebras ถ้าเราทำงานในฉากที่มีภาวะเชิงการนับที่ไม่สามารถนับได้ ถ้าเรา จำกัด ตัวเองให้อยู่ในเซตที่นับได้เราสามารถนำชุดพาวเวอร์ของและเราจะไม่มีปัญหาใด ๆ เหล่านี้เพราะสำหรับ ,ประกอบด้วยเท่านั้น ของชุดที่วัดได้ (นี่คือการอ้างถึงในความคิดเห็นที่สองของซีอาน) คุณจะสังเกตเห็นว่าตำราบางเล่มจะส่งมอบหนังสือที่ละเอียดอ่อนที่นี่จริง ๆ และพิจารณาชุดที่นับได้เท่านั้นเมื่อพูดถึงช่องว่างที่น่าจะเป็น$\sigma$$\mathscr{F}=2^\Omega$$\Omega$$\Omega$$2^\Omega$

นอกจากนี้ในปัญหาทางเรขาคณิตในมันก็เพียงพอแล้วที่จะพิจารณา -algebras ซึ่งประกอบด้วยชุดที่กำหนดวัด หากต้องการทำให้สิ่งนี้มีความมั่นคงมากขึ้นสำหรับสอดคล้องกับความยาวปกติพื้นที่และปริมาตร ดังนั้นสิ่งที่ฉันพูดในตัวอย่างก่อนหน้าคือชุดจำเป็นต้องมีพื้นที่ที่กำหนดไว้อย่างดีเพื่อให้มีความน่าจะเป็นทางเรขาคณิต และเหตุผลก็คือ: ถ้าเรายอมรับเซตที่ไม่สามารถวัดได้เราสามารถสิ้นสุดในสถานการณ์ที่เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็น 1 ให้กับเหตุการณ์บางอย่างตามการพิสูจน์บางอย่างและความน่าจะเป็น 0 ถึงเหตุการณ์เดียวกันโดยยึดตามหลักฐานอื่น ๆ$\mathbb{R}^n$$\sigma$$\mathcal{L}^n$$\mathcal{L}^n$$n=1,2,3$

แต่อย่าปล่อยให้การเชื่อมต่อกับเซตที่นับไม่ได้สร้างความสับสนให้คุณ! ความเข้าใจผิดทั่วไปที่ -algebras เป็นเซตที่นับได้ ในความเป็นจริงพวกเขาอาจนับได้หรือนับไม่ได้ ลองพิจารณาตัวอย่างนี้ก่อนหน้านี้เรามีหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส กำหนดคุณสามารถวาดตารางที่มีความยาวด้านสำหรับทุกและมีมุมหนึ่งที่(0,0)มันควรจะชัดเจนว่าสแควร์นี้เป็นส่วนย่อยของสแควร์หน่วย นอกจากนี้ทุกสี่เหลี่ยมเหล่านี้ได้กำหนดพื้นที่เพื่อสี่เหลี่ยมเหล่านี้เป็นองค์ประกอบของ{F} แต่มันก็ควรจะชัดเจนว่ามีหลายช่องสี่เหลี่ยมนับไม่ถ้วน$\sigma$

ดังนั้นในทางปฏิบัติการทำการสังเกตเพียงอย่างเดียวนั้นเพียงพอที่จะทำให้การสังเกตเห็นว่าคุณพิจารณาเฉพาะชุดที่วัดได้จาก Lebesgue เพื่อให้เกิดความคืบหน้าต่อปัญหาที่น่าสนใจ

แต่เดี๋ยวก่อนชุดที่ไม่สามารถวัดได้คืออะไร

ฉันเกรงว่าฉันจะสามารถส่องแสงนี้ไปได้ด้วยตัวเอง แต่ความขัดแย้งของ Banach-Tarski (บางครั้งความขัดแย้ง "ดวงอาทิตย์และถั่ว") สามารถช่วยเราได้บ้าง:

เมื่อได้รับลูกบอลแข็งในพื้นที่ 3 มิติมีการสลายตัวของลูกบอลในจำนวนที่ จำกัด ของชุดย่อยที่แยกออกจากกันซึ่งสามารถนำกลับมารวมกันในวิธีที่ต่างกันเพื่อให้ได้สำเนาต้นฉบับที่เหมือนกันสองชุด แท้จริงแล้วกระบวนการประกอบซ้ำนั้นเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนย้ายชิ้นส่วนไปมาและหมุนโดยไม่ต้องเปลี่ยนรูปร่าง อย่างไรก็ตามชิ้นส่วนเหล่านั้นไม่ได้เป็น "ของแข็ง" ตามปกติ แต่เป็นการกระจายของจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด การฟื้นฟูสามารถทำงานได้เพียงห้าชิ้นเท่านั้น

รูปแบบที่แข็งแกร่งของทฤษฎีบทแสดงให้เห็นว่าได้รับวัตถุของแข็ง "สมควร" ใด ๆ สอง (เช่นลูกบอลขนาดเล็กและลูกบอลขนาดใหญ่) ทั้งสองสามารถประกอบกันอีก นี่มักจะระบุไว้อย่างไม่เป็นทางการว่า "ถั่วสามารถถูกสับและประกอบเข้ากับดวงอาทิตย์" และเรียกว่า "ถั่วและดวงอาทิตย์ขัดแย้ง" 1

ดังนั้นหากคุณกำลังทำงานกับความน่าจะเป็นในและคุณกำลังใช้การวัดความน่าจะเป็นทางเรขาคณิต (อัตราส่วนของปริมาณ) คุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่าง แต่คุณจะต้องดิ้นรนเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นอย่างแม่นยำเพราะคุณสามารถจัดเรียงชุดพื้นที่ของคุณใหม่เพื่อเปลี่ยนปริมาณ! หากความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับปริมาณและคุณสามารถเปลี่ยนปริมาตรของชุดเป็นขนาดของดวงอาทิตย์หรือขนาดของถั่วได้ความน่าจะเป็นก็จะเปลี่ยนไปเช่นกัน ดังนั้นไม่มีเหตุการณ์ใดที่จะมีความน่าจะเป็นตามที่กำหนดไว้ ยิ่งแย่ไปกว่านั้นคุณสามารถจัดเรียงเพื่อให้ปริมาตรมีซึ่งบอกเป็นนัยว่าการวัดความน่าจะเป็นทางเรขาคณิตรายงานความน่าจะเป็น$\mathbb{R}^3$$S\in\Omega$$S$$V(S)>V(\Omega)$$P(S)>1$ในการละเมิดความจริงชัดแจ้งของสัจพจน์ Kolmogorov ซึ่งต้องการความน่าจะเป็นนั้นมีขนาด 1

เพื่อแก้ไขความขัดแย้งนี้ใครจะทำหนึ่งในสี่ของสัมปทาน:

1. ปริมาณของชุดอาจมีการเปลี่ยนแปลงเมื่อมีการหมุน
2. ปริมาณของสหภาพของชุดที่แยกกันสองชุดอาจแตกต่างจากผลรวมของปริมาณ
3. สัจพจน์ของทฤษฎีเซต Zermelo – Fraenkel กับสัจพจน์ของตัวเลือก (ZFC) อาจต้องมีการเปลี่ยนแปลง
4. บางชุดอาจถูกแท็ก "ไม่สามารถวัดได้" และจะต้องตรวจสอบว่าชุดนั้นเป็น "ที่วัดได้" ก่อนที่จะพูดถึงปริมาณของมัน

ตัวเลือก (1) ไม่ได้ช่วยให้ใช้กำหนดความน่าจะเป็นดังนั้นมันออก ตัวเลือก (2) ละเมิดสัจพจน์ของ Kolmogorov ที่สองดังนั้นมันจึงออกมา ตัวเลือก (3) ดูเหมือนเป็นความคิดที่แย่มากเนื่องจาก ZFC แก้ไขปัญหาได้มากกว่าที่สร้างขึ้น แต่ตัวเลือก (4) น่าสนใจ: ถ้าเราพัฒนาทฤษฎีว่าอะไรคืออะไรและไม่สามารถวัดได้เราจะมีความน่าจะเป็นที่ชัดเจนในปัญหานี้! สิ่งนี้ทำให้เรากลับไปวัดทฤษฎีและเพื่อนของเราคือ -algebra$\sigma$

ความคิดพื้นฐาน (ในแง่การปฏิบัติมาก) เป็นเรื่องง่าย สมมติว่าคุณเป็นนักสถิติทำงานกับแบบสำรวจบางส่วน ช่วยให้คิดว่าการสำรวจมีคำถามบางอย่างเกี่ยวกับอายุ แต่ขอให้ตอบในการระบุอายุของเขาในช่วงเวลาที่กำหนดอย่างเช่น\ ให้ลืมคำถามอื่น ๆ แบบสอบถามนี้กำหนดเป็น "พื้นที่จัดกิจกรรม" ของคุณF) ซิกม่าพีชคณิตประมวลผลข้อมูลทั้งหมดที่สามารถหาได้จากแบบสอบถามดังนั้นสำหรับคำถามอายุ (และตอนนี้เราเพิกเฉยต่อคำถามอื่น ๆ ทั้งหมด) มันจะมีช่วงเวลาแต่ไม่ใช่ช่วงเวลาอื่นเช่น$[0,18), [18, 25), [25,34), \dots$$(\Omega,F)$$F$$[18,25)$$[20,30)$เนื่องจากจากข้อมูลที่ได้รับจากแบบสอบถามเราจึงไม่สามารถตอบคำถามเช่น: อายุของผู้ตอบแบบสอบถามเป็นหรือไม่? โดยทั่วไปชุดคือเหตุการณ์ (เป็นของ ) ถ้าหากเราสามารถตัดสินใจได้ว่าจุดตัวอย่างเป็นของชุดนั้นหรือไม่$[20,30)$$F$

ตอนนี้ให้เรากำหนดตัวแปรสุ่มที่มีค่าในพื้นที่จัดกิจกรรมที่สอง'F') ยกตัวอย่างเช่นใช้สิ่งนี้เป็นบรรทัดจริงที่มีซิกม่า - พีชคณิตปกติ (Borel) จากนั้นฟังก์ชั่น (ไม่น่าสนใจ) ซึ่งไม่ใช่ตัวแปรสุ่มคือ "อายุผู้ตอบแบบสอบถามเป็นจำนวนเฉพาะ" โดยเขียนโค้ดนี้เป็น 1 หากอายุเป็นจำนวนเฉพาะ, 0 อย่างอื่น ไม่ไม่ได้เป็นของดังนั้นจึงไม่ใช่ตัวแปรสุ่ม เหตุผลง่ายมากเราไม่สามารถตัดสินใจได้จากข้อมูลในแบบสอบถามหากอายุของผู้ตอบนั้นสำคัญหรือไม่! ตอนนี้คุณสามารถสร้างตัวอย่างที่น่าสนใจมากขึ้นด้วยตัวคุณเอง $(\Omega', F')$$f:$$f^{-1}(1)$$F$$f$

ทำไมเราต้องให้เป็นพีชคณิตซิกม่า? ให้เราบอกว่าเราต้องการถามคำถามสองข้อของข้อมูล 'คือหมายเลขผู้ตอบ 3 18 ปีขึ้นไป', 'คือผู้ตอบ 3 คน' ให้คำถามกำหนดสองเหตุการณ์ (ชุดใน )และชุดของตัวอย่างคะแนนที่ให้คำตอบ "ใช่" สำหรับคำถามนั้น ตอนนี้ให้เราถามการรวมกันของทั้งสองคำถาม 'เป็นผู้ตอบ 3 หญิง o18 ปีหรือมากกว่า' ตอนนี้คำถามที่เป็นตัวแทนจากชุดที่สี่แยกB ในลักษณะที่คล้ายคลึงกันการแยกความสัมพันธ์จะถูกแสดงโดยเซตยูเนียน$F$$F$$A$$B$$A \cap B$$A \cup B$. ตอนนี้ต้องมีความสนิทสนมระหว่างทางแยกและสหภาพที่นับได้ทำให้เราถามคำสันธานหรือคำสันธานที่นับได้ และการปฏิเสธคำถามนั้นแสดงโดยเซตเสริม นั่นทำให้เรามีซิกม่า - พีชคณิต

ฉันเห็นการแนะนำแบบนี้ครั้งแรกในหนังสือที่ดีมากโดย Peter Whittle "ความน่าจะเป็นผ่านความคาดหวัง" (Springer)

แก้ไข

พยายามตอบคำถามฮูเบอร์ในความคิดเห็น: "ฉันรู้สึกอับอายเล็กน้อยในตอนท้ายแม้ว่าเมื่อฉันพบคำยืนยันนี้: 'การต้องปิดเพื่อแยกและสหภาพนับได้ช่วยให้เราถามคำสันธานหรือความแตกต่างที่นับได้' สิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นหัวใจของปัญหา: ทำไมทุกคนต้องการสร้างเหตุการณ์ที่ซับซ้อนเช่นนี้ "ทำไมล่ะ? จำกัด ตัวเองในตอนนี้เพื่อแยกความน่าจะเป็นสมมติว่าเพื่อความสะดวกการโยนเหรียญ การโยนเหรียญมีจำนวนครั้งที่ จำกัด เหตุการณ์ทั้งหมดที่เราสามารถอธิบายการใช้เหรียญสามารถแสดงผ่านเหตุการณ์ประเภท "head on throw ", "ก้อยเมื่อโยนและจำนวน จำกัด " และ "หรือ" หรือ " ดังนั้นในสถานการณ์เช่นนี้เราไม่ต้องการ$i$$i$$\sigma$-algebras, algebras ของเซตก็เพียงพอแล้ว ดังนั้นมีสถานการณ์ใดบ้างในบริบทนี้ที่ -algebras เกิดขึ้น? ในทางปฏิบัติแม้ว่าเราสามารถโยนลูกเต๋าได้เพียงจำนวนครั้งเท่านั้น แต่เราพัฒนาการประมาณความน่าจะเป็นผ่านทฤษฎีบทขีด จำกัด เมื่อจำนวนการโยนเพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อ จำกัด ดังนั้นให้ดูที่การพิสูจน์ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางสำหรับกรณีนี้ทฤษฎีบท Laplace-de Moivre เราสามารถพิสูจน์ได้ด้วยการประมาณด้วย algebras เท่านั้นไม่จำเป็นต้องมี -algebra กฎที่อ่อนแอของคนจำนวนมากสามารถพิสูจน์ได้ผ่านความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev และเราจำเป็นต้องคำนวณความแปรปรวนสำหรับกรณีแน่นอนเท่านั้น แต่สำหรับกฎหมายที่แข็งแกร่งของคนจำนวนมาก$\sigma$$n$$\sigma$$n$เหตุการณ์ที่เราพิสูจน์มีความน่าจะเป็นที่เราสามารถแสดงผ่านจำนวนอนันต์ที่นับไม่ได้ของ "และ" และ "หรือ" เพื่อให้กฎหมายที่แข็งแกร่งของคนจำนวนมากเราต้องการ -algebras $\sigma$

แต่เราต้องการกฎหมายที่แข็งแกร่งของคนจำนวนมากหรือไม่? ตามคำตอบเดียวนี่อาจจะไม่

ในทางหนึ่งประเด็นนี้ชี้ให้เห็นถึงความแตกต่างทางแนวคิดที่ใหญ่มากระหว่างความแข็งแกร่งและกฎที่อ่อนแอของคนจำนวนมาก: กฎหมายที่แข็งแกร่งไม่ได้มีความหมายเชิงประจักษ์โดยตรงเนื่องจากเป็นเรื่องเกี่ยวกับการบรรจบจริงซึ่งไม่สามารถยืนยันได้ ในทางกลับกันกฎที่อ่อนแอนั้นเป็นเรื่องเกี่ยวกับคุณภาพของการประมาณค่าที่เพิ่มขึ้นด้วยโดยมีขอบเขตเชิงตัวเลขสำหรับ จำกัดดังนั้นจึงมีความหมายเชิงประจักษ์มากกว่า$n$$n$

ดังนั้นการใช้ความน่าจะเป็นแบบแยกทั้งหมดในทางปฏิบัติสามารถทำได้โดยไม่ใช้ -algebras สำหรับกรณีที่ต่อเนื่องฉันไม่แน่ใจ $\sigma$

$\sigma$

$\sigma$$A \cup B$$(A\cup B)\cap C$

สัจพจน์แรกคือ∅, 𝑋∈𝜎 คุณก็รู้อยู่เสมอว่าไม่มีอะไรเกิดขึ้น (0) หรือมีอะไรเกิดขึ้น (1)

สัจพจน์ที่สองถูกปิดภายใต้การเติมเต็ม ผมขอเสนอตัวอย่างที่โง่ พิจารณาการพลิกเหรียญด้วย𝑋 = {𝐻, 𝑇} สมมติว่าฉันบอกคุณว่าพีชคณิต for สำหรับการพลิกนี้คือ {∅, 𝑋, {𝐻}} นั่นคือฉันรู้ว่าความน่าจะเป็นของการไม่มีอะไรเกิดขึ้นสิ่งที่เกิดขึ้นและจากหัว แต่ฉันไม่รู้ความน่าจะเป็นของก้อย คุณจะเรียกฉันว่าคนปัญญาอ่อนอย่างถูกต้อง เพราะถ้าคุณรู้ว่าความน่าจะเป็นของหัวคุณจะรู้ว่าความน่าจะเป็นของก้อยโดยอัตโนมัติ! ถ้าคุณรู้ว่าความน่าจะเป็นของบางสิ่งบางอย่างเกิดขึ้นคุณก็รู้ว่าความน่าจะเป็นของมันไม่ได้เกิดขึ้น (ส่วนประกอบ)!

สัจพจน์สุดท้ายถูกปิดภายใต้สหภาพที่นับได้ ขอยกตัวอย่างโง่อีกข้อ พิจารณาการหมุนของตายหรือ𝑋 = {1,2,3,4,5,6} ถ้าฉันจะบอกคุณว่าพีชคณิต for สำหรับสิ่งนี้คือ {∅, 𝑋, {1}, {2}} นั่นคือฉันรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะกลิ้ง 1 หรือหมุน 2 แต่ฉันไม่รู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะหมุน 1 หรือ 2 อีกครั้งคุณจะเรียกฉันว่าคนงี่เง่า (ฉันหวังว่าเหตุผลนั้นชัดเจน) จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อฉากไม่ได้แยกออกจากกันและสิ่งที่เกิดขึ้นกับสหภาพที่นับไม่ได้นั้นเป็นเรื่องเล็กน้อย แต่ฉันหวังว่าคุณจะลองนึกถึงตัวอย่างบางส่วน

$\sigma$

ดีก็ไม่ได้เป็นกรณีที่สะอาดตัดทั้งหมด แต่มีบางส่วนที่เป็นของแข็งเหตุผล

ทำไม probabilists ถึงต้องมีมาตรการ?

$\sigma$$\sigma$$P$

คนที่นำมาในชุดทาและ Banach-Tarski ที่จะอธิบายว่าทำไมคุณต้องทฤษฎีการวัด แต่ผมคิดว่าเป็นความเข้าใจผิด ชุดของ Vitali จะหายไปสำหรับมาตรการที่ไม่เกี่ยวกับการแปลเท่านั้นซึ่งไม่จำเป็นต้องมีช่องว่าง Banach-Tarski ต้องการการหมุนแบบไม่คงที่ คนวิเคราะห์เกี่ยวกับการดูแลพวกเขา แต่ probabilists จริงทำไม่ได้

เหตุผลเลยนะêtreของทฤษฎีการวัดในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่จะรวมกันรักษา RVs ต่อเนื่องและอย่างต่อเนื่องและนอกจากนี้ยังอนุญาตให้มีการ RVs ที่มีการผสมและ RVs ที่มีเพียงค่า