Tribble จะไม่มีความสุขใน Oz หรือไม่?

นี่คือปัญหาที่ทำให้นักเรียนรู้สึกตลก แม้ว่าในตอนแรกมันถูกใช้ถ้อยคำในแง่ของการทำลายล้างกระสุนปืนที่ยิงด้วยปืนเป็นประจำ แต่ฉันคิดว่าคุณน่าจะสนุกกับการนำเสนอที่สงบสุขกว่า

ในโลกที่ไม่มีที่สิ้นสุดของออซถนนอิฐสีเหลืองเริ่มต้นในใจกลางเมืองมรกตผ่อนคลายไปทั่วชนบท ในตอนเที่ยงของแต่ละวันกระเทยหนุ่มกระเทยตัวหนึ่งที่มีกำลังวังชาจะออกเดินทางไปตามถนนสายนี้ด้วยความเร็วที่เลือกอย่างสุ่มสูงถึงหนึ่งกิโลเมตรต่อวัน ตลอดการเดินทางจะยังคงหมุนด้วยความเร็วเท่าเดิมไม่หยุด แต่ถ้ามี Tribble หนึ่งแซงอีกคนอยู่บนท้องถนนแต่ละคนก็จะรับรู้เนื้อคู่ของมันและทั้งสองก็ย่อตัวลงด้านข้าง (สันนิษฐานได้ว่าจะทำซ้ำและในที่สุดก็ส่ง Tribbles กลับบ้าน)

ดังที่คุณทราบการเกิดขึ้นเช่นนี้มักเกิดขึ้นเนื่องจากโอกาสของ Tribbles สองตัวที่หมุนด้วยความเร็วเท่ากันนั้นเป็นศูนย์ โอ้ Tribbles มีความสุข! แต่ชีวิตรับประกันว่าจะดีสำหรับพวกเขาทั้งหมดหรือไม่

โอกาสที่อย่างน้อยหนึ่ง Tribble จะดำเนินต่อไปตลอดกาลไม่เคยแซงหรือถูกครอบงำ?

แก้ไข:ฉันดูเหมือนมั่วสุมความคิดของความน่าจะเป็นในเชิงบวกและความน่าจะเป็นที่ 1 แถลงการณ์ที่พิสูจน์ได้ที่นี่อ่อนกว่าที่ฉันคาดไว้มาก

คำตอบคือ 0 ไม่ยากที่จะพิสูจน์

Tribble ใดก็ตามที่มีความน่าจะเป็นบวกจะได้รับคู่ในที่สุด

แต่ฉันคิดว่าสิ่งนี้อาจไม่เพียงพอที่จะบอกเป็นนัยว่าด้วยความเป็นไปได้ในเชิงบวกทุกเผ่าในที่สุดจะได้รับคู่ครองตามความขัดแย้งของนักปราชญ์

นี่คือข้อพิสูจน์ของข้อความที่ยกมา ก่อนอื่นมาแทนที่ปัญหาด้วยสูตรทางเลือกที่ง่ายกว่าดังต่อไปนี้ มีสแต็กที่เริ่มว่างเปล่า คอมพิวเตอร์ดึงตัวแปรสุ่มตามลำดับอย่างอิสระและสม่ำเสมอจาก [0, 1] แต่ละครั้งที่มีการวาดค่าสแต็กจะเปลี่ยน

• หากสแต็กว่างเปล่าหรือไอเท็มอันดับต้น ๆ ในสแต็กมีค่ามากกว่านั้นรายการใหม่จะถูกเพิ่มด้วยค่าใหม่ (กระสุนช้ากว่ากระสุนสุดท้ายหรือ Tribble ช้ากว่า Tribble สุดท้ายที่สร้างขึ้น)
• มิฉะนั้นรายการด้านบนจะถูกลบออก (กระสุนหรือ Tribbles ชนกัน)

(สูตรนี้ไม่รวมถึงเหตุการณ์ของสัญลักษณ์แสดงหัวข้อย่อยหรือ Tribble เร็วกว่าก่อนหน้านี้ถูกสร้างขึ้น แต่ถูกทำลายก่อนที่จะเข้าชมก่อนหน้านี้ แต่เหตุการณ์ดังกล่าวออกจากสแต็กเดียวกันจึงไม่มีผล)

ฉันต้องการพิสูจน์ว่ารายการใดก็ตามที่มีความน่าจะเป็นบวกจะถูกลบออกจากสแต็คในที่สุด เราอาจสมมติโดยไม่สูญเสียความเป็นเหตุเป็นผลซึ่งค่าไม่เคยถูกดึงออกมาเนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นคือ 0 ให้เป็นรายการที่มีอยู่และมูลค่าของมัน ให้เป็นจำนวนรายการด้านบนและค่าของพวกเขาตามลำดับโดยเป็นค่าของรายการสูงสุดในปัจจุบัน หากค่าถัดไปที่จะถูกวาดลงจอดในตามลำดับช่วงเวลา , ช่วงเวลาและอื่น ๆ จนกระทั่งจากนั้น$1$$I_0$$v_0$$k$$I_0$$v_1,\; v_2,\; …,\; v_k$$v_k$$k + 1$$(v_k, 1)$$(v_{k-1}, 1)$$(v_0, 1)$$I_0$และทุกรายการด้านบนจะถูกลบออก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือซึ่งเป็นผลบวกของจำนวนบวกดังนั้นมันจึงเป็นค่าบวก$(1 - v_k)(1 - v_{k-1})\cdots(1 - v_0)$