ฟังก์ชั่นสร้างโมเมนต์

คำถามนี้เกิดขึ้นจากคำถามที่ถามเกี่ยวกับหน้าที่สร้างช่วงเวลา (MGF)

สมมติว่า$X$เป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่มีขอบเขตหมายถึงการรับค่าใน $[-\sigma, \sigma]$และให้$G(t) = E[e^{tX}]$เป็น MGF จากที่ถูกผูกไว้ใช้ในการพิสูจน์ของความไม่เท่าเทียมกันของ Hoeffdingเรามีที่

$$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$$ ที่ด้านขวาเป็นที่จดจำได้เป็น MGF ของตัวแปรสุ่มศูนย์เฉลี่ยปกติที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานσ$\sigma$ตอนนี้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ$X$จะไม่ใหญ่กว่า$\sigma$ด้วยค่าสูงสุดที่เกิดขึ้นเมื่อ$X$เป็นตัวแปรสุ่มแบบแยกโดยสิ้นเชิงเช่น $P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ . ดังนั้นขอบเขตที่อ้างถึงสามารถถูกคิดว่าเป็นการกล่าวว่า MGF ของตัวแปรสุ่มที่มีค่าศูนย์ซึ่งหมายถึงขอบเขต$X$ถูกล้อมรอบด้วย MGF ของตัวแปรสุ่มค่าเฉลี่ยศูนย์ที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่เป็นไปได้สูงสุดที่$X$สามารถ มี.

คำถามของฉันคือ: นี่เป็นผลที่รู้จักกันดีของผลประโยชน์อิสระที่ใช้ในสถานที่อื่นนอกเหนือจากการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมของ Hoeffding และถ้าเป็นเช่นนั้นเป็นที่ทราบกันหรือไม่ว่าจะขยายไปถึงตัวแปรสุ่มด้วยค่าที่ไม่ใช่ศูนย์

ผลที่แจ้งคำถามนี้จะช่วยให้ช่วงไม่สมมาตร$[a,b]$สำหรับ$X$กับ< 0 < Bแต่ไม่ยืนยันในE [ X ] = 0 ผูกพันเป็น G ( T ) ≤ อีที2 ( ข- ) 2 / 8 = อีที2 σ 2 เมตรx / 2 ที่σ$a < 0 < b$$E[X] = 0$

$$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$$ $\sigma_{\max} = (b-a)/2$เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสูงสุดที่เป็นไปได้สำหรับตัวแปรสุ่มที่มีค่าการ จำกัด การ$[a,b]$แต่สูงสุดนี้จะไม่บรรลุโดยตัวแปรสุ่มศูนย์เฉลี่ยเว้นแต่ $b = -a$

ฉันไม่สามารถตอบคำถามแรกของคุณได้ แต่สำหรับการขยายไปยังตัวแปรสุ่มที่ไม่ใช่ศูนย์หมายความว่า ...

$Z$$[a+\mu,b+\mu]$$\mu$$X = Z-\mu$$[a,b]$$\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$$\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

$\sigma_\text{max}$