การเขียนสมการทางคณิตศาสตร์สำหรับแบบจำลองเอฟเฟกต์หลายระดับ

คำถาม CV

ฉันกำลังพยายามให้รายละเอียดทางคณิตศาสตร์ที่ละเอียดและรัดกุมกับโมเดลเอฟเฟกต์ผสม ฉันใช้lme4แพ็กเกจใน R การแสดงทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องสำหรับโมเดลของฉันคืออะไร

ข้อมูลคำถามวิทยาศาสตร์และรหัส R

ชุดข้อมูลของฉันประกอบด้วยสปีชีส์ในภูมิภาคต่างๆ ฉันกำลังทดสอบว่าความชุกของเผ่าพันธุ์เปลี่ยนแปลงในเวลาที่นำไปสู่การสูญพันธุ์หรือไม่ (การสูญพันธุ์ไม่จำเป็นต้องเป็นการถาวรมันสามารถเรียกคืน) หรือตามการล่าอาณานิคม

lmer(prevalence ~ time + time:type + (1 + time + type:time | reg) + (1 + time + type:time | reg:spp))

ความชุกเป็นสัดส่วนของชั้นที่ถูกสปีชีส์ครอบครองในภูมิภาคหนึ่งปี
เวลาเป็นตัวแปรต่อเนื่องที่บ่งบอกเวลาในการสูญพันธุ์หรือการล่าอาณานิคม มันเป็นบวกเสมอ
Typeเป็นตัวแปรเด็ดขาดที่มีสองระดับ สองระดับนี้คือ "-" และ "+" เมื่อประเภทคือ - มันคือการตั้งอาณานิคม (ระดับเริ่มต้น) เมื่อชนิดคือ + จะเป็นการสูญพันธุ์
Regเป็นตัวแปรเด็ดขาดที่มีเก้าระดับซึ่งบ่งชี้ภูมิภาค
Sppเป็นตัวแปรเด็ดขาด จำนวนระดับแตกต่างกันไปตามภูมิภาคและแตกต่างกันระหว่าง 48 ระดับและ 144 ระดับ

ในคำ: ตัวแปรตอบสนองคือความชุก (สัดส่วนของชั้นครอบครอง) เอฟเฟกต์คงที่รวม 1) และการสกัดกั้น 2) เวลาจากเหตุการณ์และ 3) การโต้ตอบระหว่างเวลากับเหตุการณ์และประเภทของเหตุการณ์ (การล่าอาณานิคมหรือการสูญพันธุ์) เอฟเฟกต์คงที่ 3 เหล่านี้แต่ละแบบนั้นมีการสุ่มแบบสุ่มในแต่ละภูมิภาค ภายในภูมิภาคผลกระทบแต่ละอย่างจะแตกต่างกันไปตามชนิด

ฉันพยายามหาวิธีเขียนสมการทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวแบบ ฉันคิดว่าฉันเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในรหัส R (แม้ว่าฉันแน่ใจว่าฉันมีช่องว่างความรู้และหวังว่าการเขียนการแสดงออกทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการจะปรับปรุงความเข้าใจของฉัน)

ฉันค้นหาทางเว็บและผ่านฟอรัมเหล่านี้แล้ว ฉันพบข้อมูลที่เป็นประโยชน์มากมายเพื่อให้แน่ใจ (และฉันอาจจะเชื่อมโยงไปยังข้อมูลเหล่านี้ในการแก้ไขคำถามนี้) อย่างไรก็ตามฉันแทบจะไม่พบว่า "Rosetta Stone" ของ R-code แปลเป็นคณิตศาสตร์ (ฉันรู้สึกสบายใจกับรหัส) ที่จะช่วยฉันยืนยันว่าฉันมีสมการเหล่านี้ถูกต้อง ในความเป็นจริงฉันรู้ว่ามีบางช่องว่างอยู่แล้ว แต่เราจะไปที่

ความพยายามของฉัน

รูปแบบพื้นฐานของรูปแบบเอฟเฟกต์ผสมในสัญกรณ์เมทริกซ์คือ (เพื่อความเข้าใจของฉัน):

Y = X β + Z γ + ϵ

$Y = X \beta + Z \gamma + \epsilon$

X = [\begin{matrix} 1 & Δ t & Δ t_{+} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & Δ t_{n} & Δ t_{+, n} \end{matrix}]

$X = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t & \Delta t_{+} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \Delta t_n & \Delta t_{+,n} \end{bmatrix}$

β^{^{'}} = [\begin{matrix} β_{0} & β_{1} & β_{2} \end{matrix}]

$\beta^{'} = \begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \beta_2 \end{bmatrix}$

Z = [\begin{matrix} 1 I (r_{1}) & Δ t I (r_{1}) & Δ t_{+} I (r_{1}) & \dots & 1 I (r_{9}) & Δ t I (r_{9}) & Δ t_{+} I (r_{9}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 I (r_{1, n}) & Δ t_{n} I (r_{1, n}) & Δ t_{+, n} I (r_{1, n}) & \dots & 1 I (r_{9, n}) & Δ t I (r_{9, n}) & Δ t_{+, n} I (r_{9, n}) \end{matrix}]

$Z = \begin{bmatrix} 1 I(r_1) & \Delta t I(r_1) & \Delta t_{+} I(r_1) & \dots & 1 I(r_9) & \Delta t I(r_9) & \Delta t_{+} I(r_9) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 I(r_{1,n}) & \Delta t_n I(r_{1,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{1,n}) & \dots & 1 I(r_{9,n}) & \Delta t I(r_{9,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{9,n}) \\ \end{bmatrix}$

γ^{^{'}} = [\begin{matrix} γ_{0, 1} & γ_{1, 1} & γ_{2, 1} & \dots & γ_{0, 9} & γ_{1, 9} & γ_{2, 9} \end{matrix}]

$\gamma^{'} = \begin{bmatrix} \gamma_{0,1} & \gamma_{1,1} &\gamma_{2,1} & \dots & \gamma_{0,9} & \gamma_{1,9} &\gamma_{2,9} \end{bmatrix}$

ϵ \sim N (0, Σ)

$\epsilon \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)$

$X$ $\Delta t$ time $\Delta t_{+}$ time:type
$Z$
$\beta$ $\gamma$
$\epsilon$ $\Sigma$

สมมติว่าสิ่งต่าง ๆ นั้นถูกต้อง ~ นั่นหมายความว่าฉันเก่งในระดับสูงสุด อย่างไรก็ตามการอธิบายความผันแปรเฉพาะของสปีชีส์บนพารามิเตอร์ซึ่งซ้อนกันภายในแต่ละภูมิภาคทำให้ฉันยิ่งงงมากขึ้น

แต่ฉันเอาอะไรบางอย่างที่อาจจะสมเหตุสมผล ...

$\gamma$ $\gamma$

- $U_{p,r}$ $r$ $p$ $b_{p,r}$ $S$ $\eta_{p,r}$

$\gamma_{p,r}$

γ_{0, R} = {ยู}_{0, R} ข_{0, R} + η_{0, R}

$\gamma_{0,r} = U_{0,r} b_{0,r} + \eta_{0,r}$

γ_{0, R} = [\begin{matrix} 1 ผม (s_{1}) ... 1 ผม (s_{S}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} ข_{0, 1} \\ ⋮ \\ ข_{0, S} \end{matrix}] + η_{0, R}

$\gamma_{0,r} = \begin{bmatrix} 1 I(s_1) \dots 1 I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{0,1}\\ \vdots \\ b_{0,S} \end{bmatrix} + \eta_{0,r}$

γ_{1, R} = {ยู}_{1, R} ข_{1, R} + η_{1, R}

$\gamma_{1,r} = U_{1,r} b_{1,r} + \eta_{1,r}$

γ_{1, R} = [\begin{matrix} Δ เสื้อ ผม (s_{1}) ... Δ เสื้อ ผม (s_{S}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} ข_{1, 1} \\ ⋮ \\ ข_{1, S} \end{matrix}] + η_{1, R}

$\gamma_{1,r} = \begin{bmatrix} \Delta t I(s_1) \dots \Delta t I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{1,1}\\ \vdots \\ b_{1,S} \end{bmatrix} + \eta_{1,r}$

γ_{2, R} = {ยู}_{2, R} ข_{2, R} + η_{2, R}

$\gamma_{2,r} = U_{2,r} b_{2,r} + \eta_{2,r}$

γ_{2, R} = [\begin{matrix} Δ {เสื้อ}_{+} ผม (s_{1}) ... Δ {เสื้อ}_{+} ผม (s_{S}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} ข_{2, 1} \\ ⋮ \\ ข_{2, S} \end{matrix}] + η_{2, R}

$\gamma_{2,r} = \begin{bmatrix} \Delta t_+ I(s_1) \dots \Delta t_+ I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{2,1}\\ \vdots \\ b_{2,S} \end{bmatrix} + \eta_{2,r}$

$\eta \sim \mathcal{N}(0,\Sigma_{\eta})$ $\epsilon$ $\Sigma$ $G$

แก้ไข: คำถามอื่น ๆ ที่เป็นประโยชน์บ้าง

Q / A นี้เป็นสิ่งที่ดี แต่ไม่ได้เขียนสิ่งต่าง ๆ ในรูปแบบเมทริกซ์เต็มรูปแบบ

r mixed-model multilevel-analysis lme4-nlme

— rbatt
แหล่งที่มา

ฉันสงสัยว่าบทความนี้มี "คำตอบ" สำหรับคำถามของคุณ แต่มันให้บริการฉันได้ดีเหมือนเป็นไพรเมอร์ของสมการโมเดล HMM ลืมไปว่ามันหยั่งรากใน SAS มันเป็นเพียงภาพรวมที่ยอดเยี่ยมของโมเดลรุ่นนี้ จูดิ ธ นักร้องการใช้ SAS Proc มิกซ์กับโมเดลหลายระดับโมเดลลำดับชั้นและโมเดลการเติบโตส่วนบุคคล JEBSฤดูหนาวปี 1998 ฉบับที่ 19 24, ฉบับที่ 4, pp. 323-355

— Mike Hunter

คุณอ่านหัวข้อ 2.3 ที่นี่หรือไม่?

— Robert Long

ฉันอ่านแล้วและทรัพยากรเช่นนั้นทำให้ฉันมาไกลขนาดนี้ อาจเป็นได้ว่าฉันต้องพยายามต่อไป แต่ฉันไม่สามารถหาตัวอย่างที่ซับซ้อนพอที่จะให้ความมั่นใจเพียงพอในแนวทางปัจจุบันของฉัน

— rbatt

เท่าที่ฉันเข้าใจ "การทำรัง" เป็นเพียงการโต้ตอบในโมเดล lmer ความคิดนี้มีความเข้มแข็งโดยการใช้ไวยากรณ์เดียวกัน ดังนั้นฉันเชื่อว่า reg: spp สามารถจัดการได้โดยตัวแปรเด็ดขาดเดียวและเป็นอีกกลุ่มของบล็อกใน Z.

— deasmhumnha

ฉันจะสมมติว่า lmer จะหลีกเลี่ยงการ colinearity ที่สมบูรณ์แบบและรวมถึงการโต้ตอบที่ไม่ซ้ำซ้อนภายในตัวแปรเพิ่มเติมเท่านั้น

— deasmhumnha

ถ้าฉันเข้าใจรหัสอย่างถูกต้องทำไมไม่เขียนอะไรอย่างนั้น

Y_{ผม} = (α + ν_{J [ผม]}^{(α)} + η_{k [ผม]}^{(α)}) + (β + ν_{J [ผม]}^{(β)} + η_{k [ผม]}^{(β)}) T_{ผม} + (δ + ν_{J [ผม]}^{(δ)} + η_{k [ผม]}^{(δ)}) (T_{ผม} * * * * Z_{ผม}) + ε_{ผม}

$y_{i} = \Big(\alpha + \nu_{j[i]}^{(\alpha)} + \eta_{k[i]}^{(\alpha)}\Big) + \Big(\beta + \nu_{j[i]}^{(\beta)} + \eta_{k[i]}^{(\beta)}\Big)T_{i} + \Big(\delta + \nu_{j[i]}^{(\delta)} + \eta_{k[i]}^{(\delta)}\Big)(T_{i} * Z_{i}) + \epsilon_i$

\begin{aligned} [ν_{J}^{(α)}, ν_{J}^{(β)}, ν_{J}^{(δ)}] & ~ Multi-ปกติ (0, Σ_{ν}) \\ [η_{J}^{(α)}, η_{J}^{(β)}, η_{J}^{(δ)}] & ~ Multi-ปกติ (0, Σ_{η}) \\ ε_{ผม} & ~ ปกติ (0, σ_{ε}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \Big[\nu_{j}^{(\alpha)}, \nu_j^{(\beta)}, \nu_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\nu) \\ \Big[\eta_{j}^{(\alpha)}, \eta_j^{(\beta)}, \eta_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\eta)\\ \epsilon_i & \sim \text{Normal}(0, \sigma_\epsilon) \end{aligned}$

y_{i} = α_{j [i], k [i]} + β_{j [i], k [i]} T_{i} + δ_{j [i], k [i]} (T_{i} * Z_{i}) + ϵ_{i}

$y_{i} = \alpha_{j[i],k[i]} + \beta_{j[i],k[i]}T_{i} + \delta_{j[i],k[i]}(T_i * Z_i) + \epsilon_i$

\begin{aligned} α_{j [i], k [i]} & = α + ν_{j}^{(α)} + η_{k}^{(α)} \\ β_{j [i], k [i]} & = β + ν_{j}^{(β)} + η_{k}^{(β)} \\ δ_{j [i], k [i]} & = δ + ν_{j}^{(δ)} + η_{k}^{(δ)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \alpha_{j[i],k[i]} &= \alpha + \nu_{j}^{(\alpha)} + \eta_{k}^{(\alpha)} \\ \beta_{j[i],k[i]}&=\beta + \nu_{j}^{(\beta)} + \eta_{k}^{(\beta)}\\ \delta_{j[i],k[i]}&=\delta + \nu_{j}^{(\delta)} + \eta_{k}^{(\delta)}\\ \end{aligned}$

— baruuum
แหล่งที่มา