ขั้นต่ำของชุดตัวแปรสุ่มกระจายอย่างไร

$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

หาก CDF ของจะเขียนแทนด้วยแล้ว CDF ขั้นต่ำที่จะได้รับจาก n$X_i$$F(x)$$1-[1-F(x)]^n$

หาก CDF ของจะเขียนแทนด้วยแล้ว CDF ของขั้นต่ำจะได้รับโดย n$X_i$$F(x)$$1-[1-F(x)]^n$

เหตุผล:รับตัวแปรสุ่มที่น่าจะเป็นหมายความว่าอย่างน้อยหนึ่งมีขนาดเล็กกว่าปี$n$$P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$$X_i$$y$

ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งน้อยกว่าเท่ากับหนึ่งลบความน่าจะเป็นที่ทั้งหมดมากกว่าคือy)$X_i$$y$$X_i$$y$$P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$

ถ้า 's มีความเป็นอิสระเหมือนกันกระจายแล้วน่าจะเป็นว่าทุกมากกว่าคือ n ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เดิมคือ n$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

ตัวอย่าง : พูดจากนั้นความน่าจะเป็นควรเท่ากับ 1 (เนื่องจากค่าต่ำสุดจะน้อยกว่า 1 เสมอตั้งแต่สำหรับทุกคน ) ในกรณีนี้ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 1 เสมอ$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Rob Hyndman ให้คำตอบที่ถูกต้องง่าย ๆ สำหรับ n หากคุณสนใจในพฤติกรรมแบบซีมโทติคสำหรับ n ขนาดใหญ่สิ่งนี้จะได้รับการจัดการในด้านทฤษฎีค่านิยมมาก มีครอบครัวเล็ก ๆ ของการแจกแจง จำกัด ที่เป็นไปได้; ดูตัวอย่างบทแรกของหนังสือเล่มนี้

ฉันคิดว่าคำตอบที่ 1 (1-F (x)) ^ n นั้นถูกต้องในกรณีพิเศษ กรณีพิเศษคือเงื่อนไขที่ pmf ของ rv ขึ้นอยู่กับสูตรสำหรับโดเมนของ rv หากแตกต่างกันในส่วนต่าง ๆ ของโดเมนสูตรที่กล่าวถึงข้างต้นเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากผลการจำลองที่เกิดขึ้นจริง