เดิมพันของ Blackwell

ฉันได้อ่านเกี่ยวกับความขัดแย้งเดิมพัน Blackwell เกี่ยวกับการไม่ได้ผลตู้เสื้อผ้า นี่คือบทสรุป: คุณจะมีสองซองจดหมายและE_yซองจดหมายมีจำนวนเงินสุ่ม แต่คุณไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับการกระจายเกี่ยวกับเงิน คุณเปิดหนึ่งตรวจสอบจำนวนเงินที่มี ( ) และต้องเลือก: ใช้ซองจดหมายหรือ ?E y x E x E $E_x$$E_y$$x$$E_x$$E_y$

Futility Closet หมายถึงนักคณิตศาสตร์ชื่อ Leonard Wapner:“ โดยไม่คาดคิดมีบางสิ่งที่คุณสามารถทำได้โดยไม่เปิดซองอื่นเพื่อให้ตัวเองดีกว่าโอกาสที่จะทำให้ถูกต้อง”

ความคิดซึ่งดูเหมือนว่าผิดที่ฉันจะเป็นดังนี้: เลือกจำนวนสุ่มdหากใช้E_xถ้าเลือกE_yd < x E x d > x E $d$$d < x$$E_x$$d > x$$E_y$

Wapner:“ ถ้า d อยู่ระหว่าง x และ y การทำนายของคุณ (ตามที่ระบุโดย d) จะรับประกันว่าถูกต้อง สมมติว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นกับความน่าจะเป็น p หาก d มีค่าน้อยกว่าทั้ง x และ y การทำนายของคุณจะถูกต้องเฉพาะในกรณีที่หมายเลข x ที่คุณเลือกนั้นใหญ่กว่าของทั้งสอง มีโอกาส 50 เปอร์เซ็นต์ของสิ่งนี้ ในทำนองเดียวกันถ้า d มากกว่าตัวเลขทั้งสองการคาดคะเนของคุณจะถูกต้องเฉพาะในกรณีที่หมายเลขที่คุณเลือกน้อยกว่าทั้งสอง สิ่งนี้เกิดขึ้นกับความน่าจะเป็น 50 เปอร์เซ็นต์เช่นกัน”

หากเป็นไปได้ว่าอยู่ในเป็นจำนวนมากกว่าศูนย์แล้วประสบความสำเร็จเฉลี่ยของวิธีนี้คือ{2} ซึ่งหมายความว่าการสังเกตตัวแปรสุ่มที่ไม่เกี่ยวข้องจะให้ข้อมูลเพิ่มเติมแก่เรา[ x , y ] $d$$[x,y]$$\frac{1}{2} + \frac{p}{2}$

ฉันคิดว่ามันผิดทั้งหมดและปัญหาอยู่ที่การเลือกหมายเลขสุ่ม มันหมายความว่าอะไร? ชอบจำนวนเต็มใด ๆ ในกรณีนั้นความน่าจะเป็นที่อยู่ระหว่างและเป็นศูนย์เพราะทั้งและมี จำกัดd x y x $p$$d$$x$$y$$x$$y$

ถ้าเราบอกว่ามีการ จำกัด จำนวนเงินสูงสุดพูดหรืออย่างน้อยเราก็เลือก d จากสูตรก็จะลดลงตามคำแนะนำเล็กน้อยในการเลือกถ้าและ เลือกถ้า 21 ... M E Y x < M / 2 E x x > M /$M$$1...M$$E_y$$x < M/2$$E_x$$x > M/2$

ฉันคิดถึงบางสิ่งที่นี่หรือไม่

แก้ไข

ตกลงตอนนี้ฉันเริ่มที่จะเห็นว่าความขัดแย้งที่ชัดเจนมาจากไหน ฉันคิดว่าเป็นไปไม่ได้ที่ตัวแปรสุ่มที่ไม่เกี่ยวข้องสามารถให้ข้อมูลเพิ่มเติมได้

อย่างไรก็ตามทราบว่าเราต้องมีสติเลือกการกระจายของd ตัวอย่างเช่นเลือกขอบเขตสำหรับการแจกชุดหรือของการกระจาย Poissionian เป็นต้นชัดเจนว่าถ้าเราเล่นให้กับถั่วลิสงและเราเลือกการกระจายของdให้เหมือนกันในดอลลาร์0 นี้น่าจะเป็นครั้งสุดท้ายจะขึ้นเป็นครั้งแรกและสำคัญที่สุดในการตัดสินในสิ่งที่เราสามารถจะอยู่ในซองจดหมาย[ 10 9 , 2 ⋅ 10 9 ] P ( d ∈ ( x , y ) ) = $\lambda$$[10^9, 2\cdot 10^9]$$P(d \in (x,y)) = 0$

กล่าวอีกนัยหนึ่งหากเทคนิคการทำงานแล้วสมมติฐานที่เราไม่ทราบว่าการกระจายของเงินในซองจดหมาย (ละเมิดจำนวนเงินสำหรับซองจดหมายที่ถูกเลือก) คืออะไร อย่างไรก็ตามถ้าเราไม่รู้จริง ๆ ว่ามีอะไรอยู่ในซองจดหมายดังนั้นในสถานการณ์กรณีที่เลวร้ายที่สุดเราจะไม่ปล่อยสิ่งใดโดยการใช้มัน

แก้ไข 2

ความคิดอื่น ได้รับให้เราเลือกสำหรับการวาดภาพ , การกระจายที่ไม่ใช่เชิงลบอย่างต่อเนื่องดังกล่าวว่าx) เราได้รับอนุญาตให้ทำเช่นนั้นฉันถูกต้องไหม? เราดำเนินการตามคำแนะนำ - ถ้าเราเก็บซองจดหมายไว้ถ้าเราเปลี่ยนซองจดหมาย เหตุผลไม่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับวิธีที่เราเลือกการแจกแจงซึ่งอาจเป็นได้ว่า (หรือฉันเข้าใจผิด?)d P ( d < x ) = P ( d > x ) d < x d > x P ( d ∈ [ x , y ] ) > $x$$d$$P(d < x) = P(d > x)$$d < x$$d > x$$P(d \in [x, y]) > 0$

อย่างไรก็ตามด้วยวิธีที่เราเลือกการกระจายสิ่งที่เราทำตอนนี้เทียบเท่ากับการโยนเหรียญ เราโยนเหรียญและถ้าเป็นหัวเราจะเปลี่ยนซองจดหมายถ้าเป็นหางเราติดกับซองจดหมายที่เราถือ ฉันผิดตรงไหน

แก้ไข 3 :

ตกลงฉันเข้าใจแล้ว ถ้าเรายึดฟังก์ชันความน่าจะเป็นของบน (เช่นเราสุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงแบบสม่ำเสมอในช่วง , ดังนั้นความน่าจะเป็นไม่เป็นอิสระจากy))x d ( 1 , 2 ⋅ x ) P ( d ∈ ( x , y ) ) P ( การตัดสินใจที่ถูกต้อง| d ∉ ( x , y ) $d$$x$$d$$(1, 2 \cdot x)$$P(d \in (x,y))$$P(\text{correct decision}|d \notin (x,y))$

ดังนั้นถ้า (ด้วยความน่าจะเป็น ) การคาดเดาจะถูกต้องเสมอเหมือนเมื่อก่อน หากเป็นจำนวนที่ต่ำกว่าและมากกว่ามีโอกาสสูงที่จะต่ำกว่ามากกว่าที่จะสูงกว่าดังนั้นเราจึงมีอคติต่อการตัดสินใจที่ไม่ถูกต้อง การใช้เหตุผลแบบเดียวกันนั้นเมื่อสูงกว่าของตัวเลขทั้งสองp x d ∉ ( x , y ) d x x $d \in (x,y)$$p$$x$$d \notin (x,y)$$d$$x$$x$$x$

นั่นหมายความว่าเราจะต้องเลือกกระบวนการของการวาดภาพเป็นอิสระจากxกล่าวอีกนัยหนึ่งเราต้องคาดเดาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ของการแจกแจงที่ดึงและที่เลวร้ายที่สุดที่เกิดขึ้นคือเรายังคงคาดเดาแบบสุ่ม แต่สิ่งที่ดีที่สุดที่เกิดขึ้นคือการเดาของเราถูกต้องแล้วเราก็มีข้อได้เปรียบ วิธีนี้ควรจะดีกว่าการคาดเดา "x และ y ฉันจะคิดว่าอย่างน้อย 1 $แต่อย่างน้อย10 $ดังนั้นถ้าเราเก็บไว้และถ้าไม่เราแลกเปลี่ยนมัน" ฉันยัง ดู.x x y x > $d$$x$$x$$y$$x > 5$

ฉันถูกทำให้เข้าใจผิดโดยการกำหนดป๊อป - ไซของปัญหาในหนังสือของ Wapner ( ความคาดหวังที่ไม่คาดคิด: ความอยากรู้ของลูกบอลคริสตัลทางคณิตศาสตร์ ) ซึ่งระบุ

"ไม่ว่าด้วยวิธีใดก็ตามให้เลือกจำนวนเต็มบวกแบบสุ่ม" (Wapner แนะนำการกระจายทางเรขาคณิต - การโยนเหรียญจนกว่าหัวแรกจะปรากฏขึ้นทำซ้ำกระบวนการถ้า ) "ถ้าเดาสูงขึ้นและถ้าเดา ต่ำกว่า (... ) คุณจะเดาได้อย่างถูกต้องมากกว่า 50 เปอร์เซ็นต์ของเวลาเพราะชี้อย่างถูกต้องมากกว่า 50 เปอร์เซ็นต์ของเวลา! "d > x d < x $d=x$$d > x$$d < x$$d$

นี้เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายมากขึ้นเป็นปัญหาสองซองจดหมาย โดยทั่วไปจำนวนเงินจะได้รับเป็นและแต่ก็ไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนี้2 $A$$2A$

บางจุด:

1. คุณไม่สามารถเลือกจำนวนเต็มแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอ * แต่ส่วนที่ยกมานั้นดูเหมือนจะไม่ต้องการให้เป็นแบบเดียวกัน เลือกการแจกแจง - มันไม่สำคัญว่ามันจะเป็นอะไรสำหรับการโต้แย้งตราบใดที่มันมีความน่าจะเป็นที่จะมีค่าที่แน่นอนเกิน

2. มันจะไม่มีเหตุผลที่จะเลือกจำนวนเต็มกับกฎการตัดสินใจที่ยกมาเพราะเงินไม่ต่อเนื่องซึ่งหมายความว่ามีโอกาสที่ไม่ใช่ศูนย์และไม่มีรายการใด ๆ สำหรับกรณีนี้ (หรืออีกวิธีหนึ่งคือปรับเปลี่ยนกฎเพื่อระบุสิ่งที่ต้องทำเมื่อมีค่าเท่ากัน)$d$ $d=x$

3. นอกเหนือจากนั้นคุณสามารถเลือกจากการกระจายอย่างต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบ - จากนั้นเราไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับความเสมอภาค$d$

* (หรือคุณไม่สามารถเลือกเลขจำนวนเต็มแบบไม่ลบอย่างสม่ำเสมอหรือจำนวนเต็มบวกแบบสุ่มแบบสม่ำเสมอ)

ถ้าเราบอกว่ามีการ จำกัด จำนวนเงินสูงสุดพูดหรืออย่างน้อยเราก็เลือกจากสูตรก็จะลดลงตามคำแนะนำเล็กน้อยในการเลือกถ้าและ เลือกถ้า$M$$d$$1...M$$E_y$$x<M/2$$E_x$$x>M/2$

หากปรากฎว่าการแจกแจงแบบสุ่มที่ถูกเลือกครอบคลุมสิ่งนี้น่าจะใช้ได้ (ให้คุณดีกว่า 50-50) หากการกระจายตัวติดอยู่ในครึ่งเดียวมันจะไม่เกิดขึ้น$x$$M/2$

อย่างไรก็ตามเวอร์ชันของเกมนี้ที่ฉันนำเสนอเป็นครั้งแรกคือมีคนนำเสนอที่ซองจดหมาย (อาจ) พยายามลดรายได้ของคุณจากเกม กลยุทธ์ของการใช้การกระจายเพื่อตัดสินใจว่าจะสลับไปยังซองจดหมายอื่นจะยังคงใช้งานได้ในอินสแตนซ์นั้น

อาร์กิวเมนต์ของ Wapner นั้นถูกต้อง!

ความคิดเห็นบางส่วน:

• ปฏิบัติตามกลยุทธ์การตัดที่อธิบายซึ่งเราสลับซองจดหมายหากนั้นไร้ประโยชน์ที่สุดในความคาดหวังของอดีต ด้วยตัวเลือกที่ดีของมันมีประโยชน์ทีเดียว$x < d$$d$
• หากคุณเพิ่ม Bayesian ก่อน (เช่นคุณเพิ่มความเชื่อเกี่ยวกับการกระจายเงินเริ่มต้นในซองจดหมาย) คุณสามารถแก้ปัญหาเพื่อให้ได้ค่าที่ดีที่สุดของจากความเชื่อเดิมของคุณ$d$
• ในบางสถานการณ์ (เช่นเมื่อคุณสังเกตยิ่งมีโอกาสมากขึ้นที่คุณจะได้รับซองจดหมายขนาดใหญ่) กลยุทธ์การตัดออกก็เหมาะสมที่สุด
• ในการตั้งค่าแบบเบย์ทั่วไปคุณสามารถทำได้ดีกว่ากลยุทธ์การตัดง่ายๆสำหรับนักบวชหลายคน

ปัญหาที่เกี่ยวข้อง แต่แตกต่างกัน:

เนื่องจาก @Glen_b และ @whuber หลายคนกล่าวถึงมีปริศนาที่เกี่ยวข้องที่เรียกว่าปัญหาสองซองซึ่งมีการโต้แย้งที่ผิดพลาดสำหรับการสลับเปลี่ยนซองจดหมายและข้อบกพร่องในการโต้แย้งสามารถมองเห็นได้โดยใช้วิธีการแบบเบส์และเพิ่มความเชื่อก่อนหน้า เนื้อหาของทั้งสองซอง

ในบางแง่มุมปริศนาที่อธิบายไว้ที่นี่ค่อนข้างแตกต่าง อาร์กิวเมนต์ของ Wapner นั้นถูกต้อง!

ฉันรู้สึกทึ่งกับสิ่งนี้และใช้วิธีการอย่างจริงจังในการเล่นกับมันใน Excel

ฉันสร้างตัวเลขสุ่มสามตัวสำหรับ x, y และ d ในช่วง 1-100 จากนั้นฉันทำการเปรียบเทียบระหว่าง d กับ x และระหว่าง x กับ y และดูผลลัพธ์ไม่ว่าจะถูกหรือผิด

ฉันทำอย่างนี้ 500 ครั้งแล้วซ้ำอีกหลายครั้งและได้คำตอบที่ถูกต้องเป็นประจำ 330 330 จาก 500 ตามที่คาดการณ์ไว้

ฉันเพิ่มช่วงของ d เป็น 1-10000 และคำตอบที่ถูกต้องลดลงประมาณ 260 สำหรับ 500 วิ่ง

ใช่แล้วการเลือก d ขึ้นอยู่กับค่าที่คาดหวังของ x และ y

BoB

ฉันคิดว่าความขัดแย้งที่ชัดเจนกับการขยายตัวของ Wapner ของสมการ p + (1-p) / 2 คือมันถือว่า (1-p) / 2> 0 สำหรับช่วง d จำนวนมากค่านี้คือ 0

ตัวอย่างเช่น: d ใด ๆ ที่เลือกจากการกระจายแบบสมมาตรซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่ค่าในซองจดหมายเปิดให้ความน่าจะเป็นที่ 1/2 และ 1/2 ที่ถูกต้อง

การกระจายที่เลือกแบบไม่สมมาตรดูเหมือนว่าจะมีอคติต่อตัวเลือกผิดทาง 1/2 เวลา

ดังนั้นมีวิธีเลือกช่วงและการกระจายสำหรับ d เช่นที่สมการนี้ถือ?