การพูดว่าเหตุการณ์“ เกิดขึ้นในที่สุด” หมายความว่าอะไร?

พิจารณาการเดินสุ่ม 1 มิติบนจำนวนเต็ม $\mathbb{Z}$ ด้วยสถานะเริ่มต้น $x\in\mathbb{Z}$ :

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

ที่เพิ่มขึ้นทีละมี IID ดังกล่าวว่า{2} $\xi_i$ $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$

หนึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่า (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

โดยตัวห้อยหมายถึงตำแหน่งเริ่มต้น

Letเป็นครั้งแรกที่ทางรัฐ+1ในคำอื่น ๆ\} หนึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่า (2) $\tau$ $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

พิสูจน์ทั้งสองสามารถพบได้ในhttp://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf ผ่านการอ่านบทความฉันจะเข้าใจทั้งสองพิสูจน์

อย่างไรก็ตามคำถามของฉันคือสิ่งที่ความหมายของ "ในที่สุด" ในคำสั่งแรกเช่นเดียวกับโดยทั่วไป หากสิ่งที่เกิดขึ้น "ในที่สุด" มันไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นในเวลา จำกัด มันได้หรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นอะไรคือความแตกต่างระหว่างสิ่งที่ไม่เกิดขึ้นกับสิ่งที่ไม่เกิดขึ้น "ในที่สุด"? ข้อความบางข้อ (1) และ (2) ขัดแย้งกับตัวฉัน มีตัวอย่างอื่น ๆ เช่นนี้อีกไหม?

แก้ไข

เพียงแค่ต้องการเพิ่มแรงจูงใจให้กับคำถามเช่นเป็นตัวอย่างที่ตรงไปตรงมาของสิ่งที่เกิดขึ้น "ในที่สุด" แต่ด้วยระยะเวลารอคอยที่จำกัด

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

ดังนั้นเราจึงรู้ว่าวอล์คเกอร์จะ "ในที่สุด" ย้ายไปทางซ้ายและรอเวลาที่คาดว่าก่อนที่จะทำเช่นนั้น (เช่นย้ายซ้าย) เป็น 2 $1/(1/2)=2$

การได้เห็นบางสิ่งที่เกิดขึ้น "ในที่สุด" แต่ด้วยระยะเวลารอคอย "ที่คาดไม่ถึงนั้นค่อนข้างยืดออกไปสำหรับจินตนาการของฉัน ช่วงครึ่งหลังของการตอบกลับของ @ whuber เป็นอีกตัวอย่างที่ยอดเยี่ยม

— เย่เทียน
แหล่งที่มา

ในที่สุดก็ไม่มีความหมายในเวลา จำกัด นั่นคือสิ่งที่จะถูกเปรียบเทียบ: P มี จำกัด ในขณะที่ความคาดหวังของเอกภาพนั้นไม่มีที่สิ้นสุด

— seanv507

ดีมีตัวอย่างที่เป็นที่ยอมรับของ Cauchy กระจายen.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution

— seanv507

@ seanv507 - ใช่แม้ว่าค่าเฉลี่ยของการแจกแจง Cauchy นั้นไม่ได้ถูกนิยามไว้มากกว่าอนันต์ (ค่าเฉลี่ยตัวอย่างจาก Cauchy dbn จะกระโดดไปรอบ ๆ เมื่อเข้าหาอนันต์แทนที่จะเข้าหา + อนันต์อย่างต่อเนื่อง) ฉันคิดถึงการกระจาย Pareto ( en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution ) ซึ่งมีค่าเฉลี่ย = Infinity เมื่อพารามิเตอร์รูปร่างและยังมีฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้ชัดเจน

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

— RobertF

@RobertF ขอบคุณ - ฉันควรจะพูด Pareto

— seanv507

มีความสะดวกสบายในเรื่องนี้ทั้งหมด: ถ้าดังนั้นแต่ไม่ใช่วิธีอื่น

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

— Alex R.

คำตอบ:

คุณจะสาธิตเหตุการณ์ "ในที่สุดเกิดขึ้น" ได้อย่างไร คุณจะทำการทดลองทางความคิดกับคู่ต่อสู้สมมุติ ฝ่ายตรงข้ามของคุณอาจท้าให้คุณกับจำนวนบวกพีหากคุณสามารถหา (ซึ่งส่วนใหญ่น่าจะขึ้นอยู่กับ ) ซึ่งโอกาสของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นตามเวลาอย่างน้อยคุณจะเป็นผู้ชนะ $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

ในตัวอย่าง " " เป็นสัญลักษณ์ที่ทำให้เข้าใจผิดเนื่องจากคุณใช้ทั้งสองเพื่ออ้างถึงสถานะหนึ่งของการเดินแบบสุ่มเช่นเดียวกับการเดินแบบสุ่มทั้งหมด เรามาทำความรู้จักกับความแตกต่างกันเถอะ "ถึงในที่สุด" หมายถึงชุดย่อยของชุดสุ่มเดินทั้งหมด การเดินแต่ละครั้งมีหลายขั้นตอนอย่างไม่ จำกัด ค่าของในเวลาเป็นS_n"ถึงครั้งโดย " หมายถึงส่วนย่อยของ of Walk ที่มาถึงสถานะตามเวลา $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ $n$ . อย่างจริงจังมันเป็นชุด

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

ในการตอบสนองต่อคู่ต่อสู้ในจินตนาการคุณกำลังแสดงบางส่วนพร้อมคุณสมบัติ $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

เนื่องจากเป็นกฎเกณฑ์คุณจึงมีองค์ประกอบทั้งหมดของชุด $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

(จำได้ว่าถ้าหากว่ามีจำนวน จำกัดที่จึงไม่มี จำนวนอนันต์ใด ๆ ที่เกี่ยวข้องในสหภาพนี้) $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

ความสามารถในการชนะเกมของคุณแสดงให้เห็นว่าการรวมกันนี้มีความน่าจะเป็นสูงกว่าค่าทั้งหมดของแบบฟอร์มไม่ว่าจะเล็กเพียงใด ดังนั้นความน่าจะเป็นที่มีอย่างน้อย --and จึงเท่ากับ1คุณจะได้แสดงให้เห็นแล้วว่า $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

วิธีง่าย ๆ อย่างหนึ่งในการชื่นชมความแตกต่างระหว่าง "สิ่งที่เกิดขึ้นในที่สุด" และการมีช่วงเวลาที่ไม่คาดคิดเป็นครั้งแรกคือการพิจารณาสถานการณ์ที่ง่ายขึ้น สำหรับจำนวนธรรมชาติใด ๆ ให้เป็นลำดับ $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

ที่เลขศูนย์จะตามด้วยสตริงที่ไม่มีที่สิ้นสุด กล่าวอีกนัยหนึ่งเหล่านี้คือการเดินที่อยู่ที่จุดกำเนิดและในบางช่วงเวลา (จำกัด ) ไปยังจุดที่จากนั้นพักที่นั่นตลอดไป $n$ $1$

ให้เป็นเซตของพร้อมพีชคณิตซิกม่าแบบไม่ต่อเนื่อง กำหนดมาตรการความน่าจะเป็นผ่าน $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

นี้ได้รับการออกแบบมาเพื่อให้มีโอกาสของการกระโดดไปตามเวลาที่เท่ากับซึ่งเห็นได้ชัดว่าวิธีการโดยพลการอย่างใกล้ชิดกับ1คุณจะชนะเกม การกระโดดเกิดขึ้นในที่สุดและเมื่อใดจะมีเวลา จำกัด อย่างไรก็ตามเวลาที่คาดหวังเมื่อมันเกิดขึ้นคือผลรวมของฟังก์ชั่นการเอาชีวิตรอด (ซึ่งทำให้มีโอกาสที่จะไม่กระโดดในเวลา ) $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

ซึ่ง diverges นั่นเป็นเพราะมีความเป็นไปได้ค่อนข้างมากที่จะรอเป็นเวลานานก่อนที่จะกระโดด

— whuber
แหล่งที่มา

ฉันเข้าใจผิดหรือเปล่าถ้าฉันอ่านส่วนแรกของคุณว่าเดือดไปที่การโต้แย้ง epsilon / delta และโดยทั่วไปก็แค่พูดว่า (ที่คือความน่าจะเป็นของบางเหตุการณ์หลังจากขั้นตอน ) ?

lim_{n \to \infty} P_{n} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

— jpmc26

@jpm มันไม่ใช่แค่ต้มลงไปมันเป็นอาร์กิวเมนต์ epsilon-delta ในกรณีนี้ "เดลต้า" คือ " " และ "epsilon" เขียนเป็น " " เพื่อเตือนว่าเป็นความน่าจะเป็น การเน้นที่นี่อยู่ที่ความละเอียดของ : ขีด จำกัด ถูกกำหนดไว้ในแง่ของค่า จำกัด และการดำเนินการแน่นอนไม่ใช่จำนวนอนันต์

n

$n$

p

$p$

n

$n$

— whuber

ผมขอขอบคุณผู้ใช้ที่ไม่ระบุชื่อสำหรับการแนะนำการใช้งานของunderbraceในคำอธิบายของ{(n)}

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$

— whuber

บางสิ่งบางอย่างที่เกิดขึ้นในที่สุดก็หมายความว่ามีบางจุดในเวลาที่มันเกิดขึ้น แต่มีความหมายแฝงที่หนึ่งไม่ได้หมายถึงเวลาที่ระบุใด ๆ ก่อนที่มันจะเกิดขึ้น หากคุณพูดอะไรบางอย่างที่จะเกิดขึ้นภายในสามสัปดาห์นั่นเป็นแถลงการณ์ที่แข็งแกร่งกว่าในที่สุด ว่ามันจะเกิดขึ้นในที่สุดก็ไม่ได้ระบุเวลาเช่น "สามสัปดาห์" หรือ "สามสิบพันล้านปี" หรือ "หนึ่งนาที"

— Michael Hardy
แหล่งที่มา