เราจะรู้ได้อย่างไรว่าความน่าจะเป็นของการหมุน 1 และ 2 เป็น 1/18?

ตั้งแต่ชั้นความน่าจะเป็นครั้งแรกของฉันฉันสงสัยเกี่ยวกับสิ่งต่อไปนี้

การคำนวณความน่าจะเป็นมักจะแนะนำผ่านอัตราส่วนของ "เหตุการณ์ที่โปรดปราน" ต่อเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ในกรณีของการกลิ้งลูกเต๋า 6 ด้านสองลูกเต๋าจำนวนของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้คือดังที่แสดงในตารางด้านล่าง$36$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

หากเราสนใจที่จะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A "การหมุนและ " เราจะเห็นว่ามี "เหตุการณ์ที่โปรดปราน" สองรายการและคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็น{18}2 $1$$2$$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

ตอนนี้สิ่งที่ทำให้ฉันสงสัยอยู่เสมอคือ: สมมติว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกแยะระหว่างลูกเต๋าสองชิ้นและเราจะสังเกตพวกเขาหลังจากที่พวกมันกลิ้งเท่านั้นดังนั้นตัวอย่างเช่นเราจะสังเกตเห็น "ใครบางคนให้กล่องฉันเปิดกล่อง มีและ " ในสถานการณ์สมมุตินี้เราจะไม่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างสองลูกเต๋าดังนั้นเราจะไม่ทราบว่ามีสองเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่นำไปสู่การสังเกตนี้ จากนั้นกิจกรรมที่เป็นไปได้ของเราจะเป็นเช่นนั้น:$1$$2$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline & & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline & & & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline & & & & (5,5) & (5,6) \\ \hline & & & & & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

และเราจะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็น{21}$\frac{1}{21}$

อีกครั้งฉันตระหนักถึงความจริงที่ว่าวิธีแรกจะนำเราไปสู่คำตอบที่ถูกต้อง คำถามที่ฉันถามตัวเองคือ:

เราจะรู้ได้อย่างไรว่า$\frac{1}{18}$ถูกต้อง?

คำตอบสองข้อที่ฉันคิดไว้คือ:

• เราสามารถตรวจสอบสังเกตุได้ เท่าที่ฉันสนใจสิ่งนี้ฉันต้องยอมรับว่าฉันไม่ได้ทำสิ่งนี้ด้วยตนเอง แต่ฉันเชื่อว่ามันจะเป็นอย่างนั้น
• ในความเป็นจริงเราสามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างลูกเต๋าเช่นหนึ่งเป็นสีดำและสีฟ้าอื่น ๆ หรือโยนหนึ่งก่อนที่อื่น ๆ หรือเพียงแค่รู้เกี่ยวกับเหตุการณ์ที่เป็นไปได้และจากนั้นทฤษฎีมาตรฐานทั้งหมดทำงาน$36$

คำถามของฉันกับคุณคือ:

• มีเหตุผลอื่นอีกไหมที่เราจะรู้ว่านั้นถูกต้อง? (ฉันค่อนข้างมั่นใจว่าจะต้องมีเหตุผล (อย่างน้อยเทคนิค) น้อยและนี่คือเหตุผลที่ฉันโพสต์คำถามนี้)$\frac{1}{18}$
• มีการโต้แย้งขั้นพื้นฐานบางอย่างกับการสมมติว่าเราไม่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างลูกเต๋าได้หรือไม่?
• หากเราคิดว่าเราไม่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างลูกเต๋าและไม่มีทางที่จะตรวจสอบความน่าจะเป็นสังเกตุได้ถูกต้องหรือไม่$P(A) = \frac{1}{21}$

ขอบคุณที่สละเวลาอ่านคำถามของฉันและฉันหวังว่ามันจะเฉพาะเจาะจง

ลองนึกภาพว่าคุณโยนหกเหลี่ยมที่ยุติธรรมของคุณและคุณได้⚀ ผลที่ได้นั้นช่างน่าดึงดูดจนคุณเรียกว่าเพื่อนของคุณ Dave และบอกเขาเกี่ยวกับมัน เนื่องจากเขาอยากรู้ว่าสิ่งที่เขาได้รับเมื่อขว้างปาหกเหลี่ยมที่ยุติธรรมเขาก็โยนมันและได้ got

ตายมาตรฐานมีหกด้าน หากคุณไม่ได้โกงก็จะมีความน่าจะเป็นเท่ากับแต่ละด้านเช่นในครั้ง น่าจะเป็นที่ที่คุณโยน⚀เช่นเดียวกับด้านอื่น ๆ ที่เป็น{6} ความน่าจะเป็นที่คุณโยน⚀ และเพื่อนของคุณโยน⚁คือเนื่องจากเหตุการณ์สองเหตุการณ์นั้นเป็นอิสระและเราทวีคูณ ความน่าจะเป็นอิสระ บอกว่ามันแตกต่างกันมีการจัดการคู่ที่สามารถจดทะเบียนได้ง่าย (เหมือนที่คุณทำ) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม (คุณโยน⚁และเพื่อนของคุณโยน⚀) ก็เป็น6 $1$$6$$\tfrac{1}{6}$ 36$\tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$$36$$\tfrac{1}{36}$. ความน่าจะเป็นที่คุณโยน⚀ และเพื่อนของคุณโยน⚁ หรือว่าคุณโยน⚁ และเพื่อนของคุณโยน⚀นั้นไม่เหมือนใครเราจึงเพิ่ม{36} ในบรรดาข้อตกลงที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะมีการประชุมสองเงื่อนไข$\tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36}$

เราจะรู้ทั้งหมดนี้ได้อย่างไร ดีบนพื้นฐานของความน่าจะเป็น , combinatorics และตรรกะ แต่ทั้งสามจำเป็นต้องมีความรู้ที่เป็นข้อเท็จจริงที่จะพึ่งพา เรารู้บนพื้นฐานของประสบการณ์ของนักการพนันหลายพันคนและฟิสิกส์บางอย่างว่าไม่มีเหตุผลที่จะเชื่อว่าการตายแบบหกเหลี่ยมที่ยุติธรรมนั้นนอกเหนือไปจากโอกาสที่จะลงจอดในแต่ละด้าน ในทำนองเดียวกันเราไม่มีเหตุผลที่จะสงสัยว่าการโยนอิสระสองครั้งนั้นเกี่ยวข้องกันและมีอิทธิพลต่อกัน

คุณสามารถจินตนาการกล่องที่มีตั๋วที่มีป้ายกำกับใช้ทั้งหมด -combinations (ด้วยซ้ำ) ของตัวเลขจากที่จะ6ที่จะ จำกัด จำนวนของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ถึงและเปลี่ยนความน่าจะเป็น อย่างไรก็ตามหากคุณคิดถึงคำจำกัดความดังกล่าวในแง่ของลูกเต๋าคุณจะต้องนึกภาพสองลูกเต๋าที่ติดกาวเข้าด้วยกัน นี่เป็นสิ่งที่แตกต่างจากลูกเต๋าสองตัวที่สามารถทำงานได้อย่างอิสระและสามารถโยนลงจอดคนเดียวในแต่ละด้านด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากันโดยไม่มีผลกระทบต่อกัน1 6 $2$$1$$6$$21$

จากทั้งหมดที่กล่าวมาเราต้องแสดงความคิดเห็นว่าโมเดลดังกล่าวเป็นไปได้ แต่ไม่ใช่สำหรับสิ่งที่เหมือนกับลูกเต๋า ยกตัวอย่างเช่นในฟิสิกส์ของอนุภาคจากการสังเกตเชิงประจักษ์ปรากฏว่าสถิติ Bose-Einsteinของอนุภาคที่ไม่สามารถแยกแยะได้ (ดูปัญหาของดาวและบาร์ ) มีความเหมาะสมมากกว่าแบบจำลองอนุภาคที่แยกได้ คุณสามารถหาข้อสังเกตเกี่ยวกับแบบจำลองเหล่านั้นในความน่าจะเป็นหรือความน่าจะเป็นผ่านความคาดหวังโดย Peter Whittle หรือในเล่มที่หนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้โดย William Feller

ฉันคิดว่าคุณกำลังมองเห็นความจริงที่ว่ามันไม่สำคัญว่า "เรา" สามารถแยกแยะลูกเต๋าได้หรือไม่ แต่มันสำคัญที่ลูกเต๋านั้นมีความเป็นเอกลักษณ์และชัดเจนและดำเนินการด้วยตนเอง

$(1,2)$$(2,1)$$(1,2)$$(2,1)$

$$\dfrac{\text{Number of outcomes for the event}}{\text{Number of total possible outcomes}}.$$

แต่สูตรนี้เท่านั้นถือสำหรับเมื่อแต่ละผลมีโอกาสที่เท่าเทียมกัน ในตารางแรกแต่ละคู่เหล่านั้นมีโอกาสเท่ากันดังนั้นสูตรถือ ในตารางที่สองของคุณผลลัพธ์แต่ละรายการไม่น่าเท่ากันดังนั้นสูตรจะไม่ทำงาน วิธีที่คุณค้นหาคำตอบโดยใช้ตารางของคุณคือ

$(1,2)$$(2,1)$$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{18}$

อีกวิธีในการคิดเกี่ยวกับสิ่งนี้คือการทดลองนี้เหมือนกับการหมุนแต่ละอันแยกกันโดยที่คุณสามารถมองเห็น Die 1 และ Die 2 ดังนั้นผลลัพธ์และความน่าจะเป็นของพวกเขาจะตรงกับการทดลองแบบปิดกล่อง

ให้จินตนาการว่าสถานการณ์แรกนั้นเกี่ยวข้องกับการทอยลูกเต๋าสีแดงหนึ่งตัวและแม่พิมพ์สีน้ำเงินหนึ่งตัวในขณะที่ฉากที่สองเกี่ยวข้องกับคุณที่จะกลิ้งลูกเต๋าสีขาวคู่หนึ่ง

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \frac{\textrm{Blue}}{\textrm{Red}}&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & \mathbf{(1,2)} & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & \mathbf{(2,1)} & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$ $\frac{2}{36}$$\frac{1}{18}.$

$(n,n)$

คำถามต่อไปคือ "ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าเหตุการณ์นั้นไม่น่าจะเท่ากัน?" วิธีหนึ่งในการคิดเกี่ยวกับสิ่งนี้คือการจินตนาการว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณสามารถแยกแยะลูกเต๋าทั้งสองได้ บางทีคุณอาจใส่รอยเล็ก ๆ ลงบนแม่พิมพ์แต่ละอัน สิ่งนี้ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ได้ แต่จะลดปัญหาที่เกิดขึ้นก่อนหน้านี้ อีกวิธีหนึ่งสมมติว่าคุณเขียนแผนภูมิเพื่อแทนที่สีน้ำเงิน / แดงมันจะอ่าน Left Die / Right Die

สำหรับการออกกำลังกายต่อไปให้คิดเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างการเห็นผลลัพธ์ที่ได้รับคำสั่ง (สีแดง = 1, สีน้ำเงิน = 2) กับหนึ่งที่ไม่ได้เรียงลำดับ (หนึ่งตายแสดง 1, หนึ่งตายแสดง 2)

แนวคิดหลักคือถ้าคุณแสดงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 36 รายการของลูกเต๋าสองลูกที่แยกได้คุณกำลังแสดงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน สิ่งนี้ไม่ชัดเจนหรือเป็นจริง มันเป็นจริงเฉพาะในกรณีที่ลูกเต๋าของคุณมีความยุติธรรมและไม่ได้เชื่อมต่อกัน หากคุณระบุผลลัพธ์ของลูกเต๋าที่แยกไม่ออกพวกเขาจะไม่น่าจะเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกันเพราะเหตุใดพวกเขาจึงควรได้ผลลัพธ์ที่มากกว่า "ชนะลอตเตอรี่" และ "ไม่ชนะลอตเตอรี่" เท่ากัน

เพื่อให้ได้ข้อสรุปคุณต้อง:

• เรากำลังทำงานกับลูกเต๋าที่ยุติธรรมซึ่งตัวเลขทั้งหกนั้นมีความเป็นไปได้เท่าเทียมกัน
• ลูกเต๋าสองลูกนั้นมีความเป็นอิสระดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะตายของหมายเลขสองที่ได้รับหมายเลขเฉพาะนั้นมักจะเป็นอิสระจากหมายเลขตายที่หมายเลขหนึ่งมอบให้เสมอ (ลองจินตนาการว่าจะกลิ้งดายชิ้นเดียวกันสองครั้งแทนบนพื้นผิวเหนียว ๆ ที่ทำให้ม้วนที่สองออกมาต่างกัน)

$(a,b)$$a$$b$$(a,b)$$(b,a)$$a \neq b$$(a,b)$$(b,a)$

ความคิดที่ว่าคุณจะได้รับความน่าจะเป็นโดยการนับความเป็นไปได้นั้นขึ้นอยู่กับสมมติฐานของความน่าจะเป็นและความเป็นอิสระที่เท่ากัน สมมติฐานเหล่านี้ไม่ค่อยได้รับการพิสูจน์ในความเป็นจริง แต่มักจะพบปัญหาในห้องเรียน

หากคุณแปลสิ่งนี้เป็นเงื่อนไขของเหรียญ - พูดการพลิกเหรียญเพนนีที่แยกไม่ออกสองใบ - มันกลายเป็นคำถามที่มีผลลัพธ์เพียงสามข้อเท่านั้น: 2 หัว, 2 ก้อย, 1 ในแต่ละอันและปัญหาง่ายกว่าที่จะมองเห็น ใช้ตรรกะเดียวกันและเราเห็นว่ามันมีแนวโน้มที่จะได้รับ 1 ในแต่ละส่วนมากกว่าที่จะได้ 2 หัวหรือ 2 ก้อย

นั่นคือความลื่นของตารางที่สองของคุณ - มันแสดงถึงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดแม้ว่ามันจะไม่ได้มีความน่าจะเป็นในการถ่วงน้ำหนักเท่า ๆ กันเช่นเดียวกับในตารางแรก มันจะถูกกำหนดอย่างไม่ดีหากพยายามสะกดว่าแต่ละแถวและคอลัมน์ในตารางที่สองนั้นหมายความว่าอย่างไรพวกมันมีความหมายเฉพาะในตารางรวมซึ่งแต่ละผลลัพธ์มี 1 กล่องโดยไม่คำนึงถึงความเป็นไปได้ในขณะที่ตารางแรกแสดง ผลลัพธ์ที่น่าจะเท่ากันของการตาย 1 แต่ละคนมีแถวของตัวเอง "และคล้ายกันสำหรับคอลัมน์และตาย 2

เริ่มต้นด้วยการระบุข้อสันนิษฐาน: ลูกเต๋าที่แยกไม่ออกจะหมุนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียง 21 อย่างเท่านั้นในขณะที่ลูกเต๋าที่แยกแยะได้จะหมุน 36 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้

เพื่อทดสอบความแตกต่างให้ได้ลูกเต๋าสีขาวคู่หนึ่ง เคลือบหนึ่งในวัสดุที่ดูดซับ UV เช่นครีมกันแดดซึ่งมองไม่เห็นด้วยตาเปล่า ลูกเต๋ายังคงมองไม่เห็นจนกว่าคุณจะมองพวกเขาภายใต้แสงสีดำเมื่อแม่พิมพ์ที่เคลือบปรากฏเป็นสีดำในขณะที่แม่พิมพ์ที่สะอาดเปล่งประกาย

ปกปิดลูกเต๋าคู่หนึ่งในกล่องแล้วเขย่า อัตราต่อรองอะไรที่คุณจะได้รับ 2 และ 1 เมื่อคุณเปิดกล่อง โดยสังหรณ์ใจคุณอาจคิดว่า "การหมุน 1 และ 2" เป็นเพียง 1 ใน 21 ของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพราะคุณไม่สามารถแยกลูกเต๋าออกจากกันได้ แต่ถ้าคุณเปิดกล่องภายใต้แสงสีดำคุณสามารถแยกพวกมันออกจากกันได้ เมื่อคุณสามารถบอกลูกเต๋าแยก "การกลิ้ง 1 และ 2" คือ 2 จาก 36 ชุดที่เป็นไปได้

นั่นหมายความว่าแสงสีดำมีอำนาจที่จะเปลี่ยนความน่าจะเป็นของการได้รับผลลัพธ์ที่แน่นอนแม้ว่าลูกเต๋าจะสัมผัสกับแสงและสังเกตหลังจากที่พวกมันกลิ้งไปแล้วเท่านั้น? ไม่แน่นอน ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงลูกเต๋าหลังจากที่คุณหยุดเขย่ากล่อง ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่กำหนดไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้

เนื่องจากสมมติฐานเดิมขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงที่ไม่มีอยู่จึงมีเหตุผลที่จะสรุปได้ว่าสมมติฐานเดิมไม่ถูกต้อง แต่สิ่งที่เกี่ยวกับการสันนิษฐานเดิมไม่ถูกต้อง - ลูกเต๋าที่ไม่สามารถแยกแยะได้เพียงแค่หมุน 21 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หรือลูกเต๋าที่แยกแยะได้ 36 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้?

เห็นได้ชัดว่าการทดลองแสงสีดำแสดงให้เห็นว่าการสังเกตไม่มีผลกระทบต่อความน่าจะเป็น (อย่างน้อยในระดับนี้ - ความน่าจะเป็นควอนตัมเป็นเรื่องที่แตกต่าง) หรือความแตกต่างของวัตถุ คำว่า "แยกไม่ออก" เพียงอธิบายสิ่งที่การสังเกตไม่สามารถแยกความแตกต่างจากสิ่งอื่น กล่าวอีกนัยหนึ่งความจริงที่ว่าลูกเต๋าปรากฏเหมือนกันภายใต้สถานการณ์บางอย่าง (นั่นคือพวกเขาไม่ได้อยู่ภายใต้แสงสีดำ) และไม่ใช่คนอื่นไม่มีความจริงที่ว่าพวกเขาเป็นสองวัตถุที่แตกต่างกันอย่างแท้จริง สิ่งนี้จะเป็นจริงแม้ว่าสถานการณ์ที่คุณสามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างสิ่งเหล่านั้นจะไม่ถูกค้นพบ

กล่าวโดยย่อ: ความสามารถของคุณในการแยกแยะระหว่างลูกเต๋าที่กำลังหมุนนั้นไม่เกี่ยวข้องเมื่อวิเคราะห์ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เฉพาะ ความตายแต่ละครั้งนั้นแตกต่างกันอย่างชัดเจน ผลลัพธ์ทั้งหมดขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ไม่ใช่ในมุมมองของผู้สังเกตการณ์

เราสามารถอนุมานได้ว่าตารางที่สองของคุณไม่ได้เป็นตัวแทนของสถานการณ์อย่างถูกต้อง

คุณได้กำจัดเซลล์ทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างและด้านซ้ายของเส้นทแยงมุมตาม (1, 2) และ (2, 1) ที่สอดคล้องกันและผลลัพธ์ซ้ำซ้อน

แต่สมมติว่าคุณกลิ้งหนึ่งตายสองครั้งในแถว มันถูกต้องหรือไม่ที่จะนับ 1-then-2 เป็นผลลัพธ์ที่เหมือนกันเป็น 2-then-1 ไม่ชัดเจน แม้ว่าผลลัพธ์การหมุนรอบที่สองจะไม่ขึ้นอยู่กับการหมุนครั้งแรก แต่ก็ยังคงผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน คุณไม่สามารถกำจัดการจัดเรียงใหม่เป็นรายการซ้ำได้ ทีนี้การทอยลูกเต๋าสองลูกพร้อมกันก็เหมือนกันเพื่อจุดประสงค์นี้เมื่อกลิ้งลูกเต๋าหนึ่งลูกตายสองครั้งติดต่อกัน คุณจึงไม่สามารถกำจัดการจัดเรียงใหม่ได้

(ยังไม่เชื่อหรือไม่นี่คือการเปรียบเทียบแปลก ๆ คุณเดินจากบ้านของคุณไปที่ด้านบนของภูเขาพรุ่งนี้คุณเดินกลับมีจุดใดในเวลาทั้งสองวันเมื่อคุณอยู่ในสถานที่เดียวกันหรือไม่บางทีตอนนี้จินตนาการ คุณเดินจากบ้านของคุณไปยังด้านบนของภูเขาและในวันเดียวกันนั้นมีอีกคนหนึ่งเดินจากด้านบนของภูเขาไปยังบ้านของคุณคุณมีเวลาในวันนั้นเมื่อคุณพบกันหรือไม่ใช่แน่นอนพวกเขาเป็นคำถามเดียวกัน ในช่วงเวลาของการแกะเหตุการณ์ไม่เปลี่ยนแปลงการหักเงินที่สามารถทำจากเหตุการณ์เหล่านั้น.)

$1$$2$

หากเรารู้ว่าลูกเต๋าสองลูกนั้นยุติธรรมและพวกมันถูกกลิ้งไปแล้วความน่าจะเป็นที่ 1/18 ดังที่ได้อธิบายไว้ทั้งหมด ความจริงที่เราไม่ทราบว่าการตายด้วย 1 o การตายด้วย 2 ถูกรีดก่อนไม่สำคัญเพราะเราต้องคำนึงถึงทั้งสองวิธี - ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 1/18 แทนที่จะเป็น 1/36

แต่ถ้าเราไม่ทราบว่ากระบวนการใดที่นำไปสู่การรวมกัน 1-2 เราไม่สามารถรู้อะไรเกี่ยวกับความน่าจะเป็น บางทีคนที่ส่งกล่องให้เราเพียงแค่เลือกชุดค่าผสมนี้และติดลูกเต๋าไปที่กล่อง (ความน่าจะเป็น = 1) หรือบางทีเขาใส่กุญแจมือในกล่องที่กลิ้งลูกเต๋า (ความน่าจะเป็น = 1/18) หรือเขาอาจเลือกสุ่ม ชุดค่าผสมจากชุดค่าผสม 21 ชุดในตารางที่คุณให้กับเราในคำถามและความน่าจะเป็น = 1/21

โดยสรุปเรารู้ว่าความน่าจะเป็นเพราะเรารู้ว่ากระบวนการใดที่นำไปสู่สถานการณ์สุดท้ายและเราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละสเตจ (ความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละลูกเต๋า) กระบวนการมีความสำคัญแม้ว่าเราจะไม่เห็นว่ามันเกิดขึ้น

ในการสิ้นสุดคำตอบฉันจะยกตัวอย่างสองสามขั้นตอนที่สำคัญ:

• เราพลิกสิบเหรียญ ความน่าจะเป็นที่ได้รับคือทั้งหมดสิบครั้ง คุณจะเห็นว่าความน่าจะเป็น (1/1024) นั้นเล็กกว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ 10 ถ้าเราแค่เลือกตัวเลขสุ่มระหว่าง 0 ถึง 10 (1/11)
• หากคุณมีความสุขปัญหานี้คุณสามารถลองกับปัญหามอนตี้ฮอลล์ มันเป็นปัญหาที่คล้ายกันซึ่งกระบวนการสำคัญกว่าที่เราคาดหวังไว้

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A และ B คำนวณโดยการคูณความน่าจะเป็นทั้งสองอย่าง

ความน่าจะเป็นของการหมุน 1 เมื่อมีตัวเลือกที่เป็นไปได้หกตัวคือ 1/6 ความน่าจะเป็นของการหมุน 2 เมื่อมีตัวเลือกที่เป็นไปได้หกตัวคือ 1/6

1/6 * 1/6 = 1/36

อย่างไรก็ตามเหตุการณ์ไม่ได้เกิดขึ้นตรงเวลา (กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่จำเป็นว่าเราจะต้องหมุน 1 ก่อน 2 แต่เพียงว่าเราจะหมุนทั้ง 1 และ 2 ในสองม้วน)

ดังนั้นฉันสามารถหมุน 1 และ 2 แล้วและตอบสนองเงื่อนไขของการหมุนทั้ง 1 และ 2 หรือฉันสามารถหมุน 2 และ 1 แล้ว 1 และตอบสนองเงื่อนไขการหมุนได้ทั้ง 1 และ 2

ความน่าจะเป็นของการหมุน 2 และ 1 มีการคำนวณเหมือนกัน:

1/6 * 1/6 = 1/36

ความน่าจะเป็นของ A หรือ B คือผลรวมของความน่าจะเป็น สมมุติว่าเหตุการณ์ A กำลังกลิ้ง 1 จาก 2 และกิจกรรม B กำลังกลิ้ง 2 แล้ว 1

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A: 1/36 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B: 1/36

1/36 + 1/36 = 2/36 ซึ่งลดลงเป็น 1/18