ทฤษฎีขีด จำกัด กลางกับกฎหมายจำนวนมาก

ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางระบุว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปร iid เมื่อไปไม่มีที่สิ้นสุดจะแจกแจงแบบปกติ$N$

สิ่งนี้ทำให้เกิดคำถามสองข้อ:

1. เราสามารถอนุมานกฎของคนจำนวนมากได้หรือไม่? หากกฎหมายจำนวนมากกล่าวว่าค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างของค่าตัวแปรสุ่มที่เท่ากับที่แท้จริงหมายถึงเป็นไปที่อินฟินิตี้แล้วมันดูเหมือนว่าแข็งแกร่งยิ่งขึ้นที่จะบอกว่า (ขณะที่เซ็นทรัล จำกัด กล่าวว่า) ว่าค่าที่จะกลายเป็นโดยที่คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มันยุติธรรมแล้วหรือที่จะบอกว่าขีด จำกัด กลางแสดงถึงกฎหมายจำนวนมาก?$\mu$$N$$\mathcal N(\mu, \sigma)$$\sigma$
2. ทฤษฎีขีด จำกัด กลางใช้กับชุดค่าผสมเชิงเส้นของตัวแปรหรือไม่?

OP กล่าว

ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางระบุว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปร iid เมื่อ N ไปไม่มีที่สิ้นสุดจะแจกแจงแบบปกติ

ฉันจะใช้สิ่งนี้เพื่อหมายความว่ามันเป็นความเชื่อของ OP ว่าสำหรับตัวแปรสุ่ม iidมีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของ ลู่กับฟังก์ชั่นการกระจายสะสมของซึ่งเป็นตัวแปรสุ่มปกติที่มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน\หรือผู้เชื่อเชื่อว่าการจัดเรียงสูตรย่อยเช่นการกระจายของจะรวมกับการกระจายของหรือการกระจายของ$X_i$$\mu$$\sigma$$F_{Z_n}(a)$

$$Z_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$ $\mathcal N(\mu,\sigma)$$\mu$$\sigma$$Z_n - \mu$$\mathcal N(0,\sigma)$$(Z_n - \mu)/\sigma$ลู่เข้าสู่การแจกแจงซึ่งเป็นตัวแปรสุ่มมาตรฐานแบบปกติ หมายเหตุเป็นตัวอย่างที่ข้อความเหล่านี้บอกเป็นนัยว่า เป็น$\mathcal N(0,1)$ $$P\{|Z_n - \mu| > \sigma\} = 1 - F_{Z_n}(\mu + \sigma) + F_{Z_n}((\mu + \sigma)^-) \to 1-\Phi(1)+\Phi(-1) \approx 0.32$$ ∞$n \to \infty$

OP กล่าวต่อไปว่า

สิ่งนี้ทำให้เกิดคำถามสองข้อ:

1. เราสามารถอนุมานกฎของคนจำนวนมากได้หรือไม่? ถ้ากฏหมายของคนจำนวนมากบอกว่าค่าเฉลี่ยของตัวอย่างของค่าตัวแปรสุ่มเท่ากับค่าเฉลี่ยจริงμเมื่อ N ไปถึงอนันต์ดูเหมือนว่ายิ่งแข็งแกร่งกว่าที่จะบอกว่า (ตามที่ศูนย์กลาง จำกัด บอก) ว่าค่ากลายเป็น N ( μ, σ) โดยที่σคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

กฎที่อ่อนแอของคนจำนวนมากบอกว่าสำหรับตัวแปรสุ่ม iid มีค่าเฉลี่ย จำกัดμ , ได้รับϵ > 0 , P { | Z n - μ | > ε } → 0 เป็นn → ∞ โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องคิดว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้น จำกัด$X_i$$\mu$$\epsilon > 0$

$$P\{|Z_n - \mu| > \epsilon\} \to 0 ~~ \text{as}~ n \to \infty.$$

ดังนั้นเพื่อตอบคำถามของ OP

• ทฤษฎีขีด จำกัด กลางตามที่ระบุไว้โดย OP ไม่ได้หมายความถึง กฎหมายที่อ่อนแอของจำนวนมาก ในฐานะที่เป็นรุ่นของ OP ของเซ็นทรัล จำกัด กล่าวว่าทฤษฎีบท P { | Z n - μ | > σ } → 0.317 ⋯ในขณะที่กฎที่อ่อนแอบอกว่าP { | Z n - μ | > σ } → $n \to \infty$$P\{|Z_n-\mu| > \sigma\} \to 0.317\cdots$$P\{|Z_n-\mu| > \sigma\} \to 0$

• จากคำแถลงที่ถูกต้องของทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางหนึ่งสามารถอนุมานได้ดีที่สุดเพียงรูปแบบที่ จำกัด ของกฎหมายที่อ่อนแอของจำนวนมากที่ใช้กับตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แต่กฎที่อ่อนแอของคนจำนวนมากก็มีไว้สำหรับตัวแปรสุ่มเช่นตัวแปรสุ่มพาเรโตด้วยวิธี จำกัด แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ไม่มีที่สิ้นสุด

• ผมไม่เข้าใจว่าทำไมบอกว่าลู่เฉลี่ยตัวอย่างตัวแปรสุ่มปกติภัณฑ์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นคำสั่งที่แข็งแกร่งกว่าที่บอกว่าลู่เฉลี่ยตัวอย่างค่าเฉลี่ยประชากรซึ่งเป็นค่าคงที่ (หรือตัวแปรสุ่มที่มีศูนย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานถ้า คุณชอบ).

$\bar X_n$$n$$\bar X_n$$\bar X_{n+1}$, พูด. ดังนั้นไม่การรวมกันในการกระจายไม่ได้หมายความว่ากฎจำนวนมากยกเว้นว่าคุณมีพื้นที่ความน่าจะเป็นทั่วไปสำหรับตัวแปรทั้งหมด

$\sqrt{n}(\bar{X}_n-EX)$$\mathcal N(0, Var(X))$$\bar{X}$$n$$X$

$X$$Y$

$$\sqrt{n}(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n(aX_j+Y_j) - E(aX+Y)) \to \mathcal N(0, Var(aX+Y))$$ $$\sqrt{n}a(\bar{X}_n- EX)+\sqrt{n}(\bar{Y}_n -EY) \to \mathcal N(0, a^2Var(X)+Var(Y)).$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งการรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มจะไม่รวมเข้ากับการรวมเชิงเส้นของบรรทัดฐานภายใต้ CLT เพียงหนึ่งปกติ สิ่งนี้สมเหตุสมผลเนื่องจากชุดค่าผสมเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มเป็นเพียงตัวแปรสุ่มแบบอื่นที่ CLT สามารถนำไปใช้โดยตรง