ความน่าจะเป็นของเด็กห้าคนในชั้นเรียนเดียวกันที่มีชื่อเดียวกัน

บนกระดานสนทนาที่ตั้งชื่อทารกผู้ปกครองที่คาดหวังจะทำซ้ำความกลัวของเจนนิเฟอร์บางรุ่นตลอดเวลา: "ฉันไม่ต้องการให้ลูกของฉันเป็นหนึ่งใน 5 ในชั้นเรียนของเขาด้วยชื่อของเขา" สิ่งที่ไม่มีชื่อมาใกล้เคียงกับความนิยมแบบนั้นอีกต่อไปและแม้แต่ที่ความสูงของเจนนิเฟอร์คลั่งคุณไม่ได้รับห้าคนในชั้นเรียน ฉันต้องการคำตอบบางอย่างสำหรับผู้ปกครองเหล่านี้ถึงความซ้ำซ้อนของการซ้ำชื่อที่ไม่น่าจะเป็นไปได้

การใช้ข้อมูลชื่อทารกที่ครอบคลุมของ Social Security Administration ( https://www.ssa.gov/oact/babynames/limits.html ) มีใครช่วยบอกวิธีการหาโอกาสของชั้นประถมศึกษาในสหรัฐอเมริกาที่มีห้าคน เด็กที่มีชื่อเดียวกัน? (สำหรับความเรียบง่ายโดย "ชื่อเดียวกัน" ฉันหมายถึงการสะกดคำเดียวกันและโดย "ชั้นเรียน" ฉันหมายถึงเด็กทุกคนที่เกิดในปีเดียวกัน) ฉันไม่ได้ระบุขนาดของชั้นเรียน แต่แน่นอนควรมากกว่า 4 . :-)

ข้อมูลทั้งหมดที่สามารถพบได้ที่นี่ แต่ละค่าในตารางแสดงถึงความน่าจะเป็นที่ให้ตัวอย่าง 25 คนจากสถานที่และปีเกิด 5 คนในนั้นจะแบ่งปันชื่อ

วิธีการ : ฉันใช้Binomial PDFในแต่ละชื่อเพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่ชั้นเรียน 25 คนใดก็ตามจะมี 5 คนที่แชร์ชื่อ:

n = class size
k = 5,6,...,n 
p_i = (# of name[i]'s) / (total # of kids)

ตัวอย่างเช่นหากมีเด็กทั้งหมด 4,000,000 คนและ 21,393 คนของ Emily ความน่าจะเป็นที่มี 5 Emily ในชั้นเรียนใดก็ตามที่มีนักเรียน 25 คนคือ Binomial (25, 5, 0.0053) = 0.0000002 การสรุปชื่อทั้งหมดไม่ได้ให้คำตอบที่แน่นอนเพราะตามหลักการการรวม / ไม่รวมเราต้องคำนึงถึงความเป็นไปได้ที่จะมีคน 5 กลุ่มที่ใช้ชื่อร่วมกันหลายกลุ่ม อย่างไรก็ตามเนื่องจากความน่าจะเป็นเหล่านี้มีวัตถุประสงค์เพื่อการปฏิบัติทั้งหมดเกือบศูนย์ฉันได้สันนิษฐานว่าพวกเขาจะมีเพียงเล็กน้อยและทำให้(Ä_i)$P(\bigcup A_i) \approx \sum P(A_i)$

ปรับปรุง:ตามที่หลายคนชี้ให้เห็นมีความแตกต่างกันมากในช่วงเวลาและระหว่างรัฐ ดังนั้นฉันจึงรันโปรแกรมเดียวกันตาม STATE BY STATE และเมื่อเวลาผ่านไป นี่คือผลลัพธ์ (ความน่าจะเป็นทั่วทั้งประเทศคือสีแดงแต่ละรัฐเป็นสีดำ):

น่าสนใจเวอร์มอนต์ (รัฐบ้านเกิดของฉัน) เป็นหนึ่งในสถานที่ที่มีแนวโน้มมากที่สุดที่จะเกิดขึ้นในช่วงหลายทศวรรษที่ผ่านมา

โปรดดูสคริปต์ Python ต่อไปนี้สำหรับ Python2

คำตอบได้แรงบันดาลใจจากคำตอบของ David C

คำตอบสุดท้ายของฉันคือความน่าจะเป็นที่จะหา Jacobs อย่างน้อยห้าตัวในหนึ่งชั้นโดยที่ Jacob เป็นชื่อที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดตามข้อมูลจากhttps://www.ssa.gov/oact/babynames/limits.html "National Data "จากปี 2549

ความน่าจะเป็นคำนวณตามการแจกแจงทวินามด้วย Jacob-Probability ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นของความสำเร็จ

import pandas as pd
from scipy.stats import binom

data = pd.read_csv(r"yob2006.txt", header=None, names=["Name", "Sex", "Count"])

# count of children in the dataset:
sumCount = data.Count.sum()

# do calculation for every name:
for i, row in data.iterrows():
    # relative counts of each name being interpreted as probabily of occurrence
    data.loc[i, "probability"] = data.loc[i, "Count"]/float(sumCount)

    # Probabilites being five or more children with that name in a class of size n=25,50 or 100
    data.loc[i, "atleast5_class25"] = 1 - binom.cdf(4,25,data.loc[i, "probability"])
    data.loc[i, "atleast5_class50"] = 1 - binom.cdf(4,50,data.loc[i, "probability"])
    data.loc[i, "atleast5_class100"] = 1 - binom.cdf(4,100,data.loc[i, "probability"])

maxP25 = data["atleast5_class25"].max()
maxP50 = data["atleast5_class50"].max()
maxP100 = data["atleast5_class100"].max()

print ("""Max. probability for at least five kids with same name out of 25: {:.2} for name {}"""
   .format(maxP25, data.loc[data.atleast5_class25==maxP25,"Name"].values[0]))
print
print ("""Max. probability for at least five kids with same name out of 50: {:.2} for name {}, of course."""
   .format(maxP50, data.loc[data.atleast5_class50==maxP50,"Name"].values[0]))
print
print ("""Max. probability for at least five kids with same name out of 100: {:.2} for name {}, of course."""
   .format(maxP100, data.loc[data.atleast5_class100==maxP100,"Name"].values[0]))

แม็กซ์ ความน่าจะเป็นสำหรับเด็กอย่างน้อยห้าคนที่มีชื่อเดียวกันจาก 25: 4.7e-07 สำหรับชื่อจาค็อบ

แม็กซ์ ความน่าจะเป็นสำหรับเด็กอย่างน้อยห้าคนที่มีชื่อเดียวกันจาก 50: 1.6e-05 สำหรับชื่อจาค็อบแน่นอน

แม็กซ์ ความน่าจะเป็นสำหรับเด็กอย่างน้อยห้าคนที่มีชื่อเดียวกันจาก 100: 0.00045 สำหรับชื่อจาค็อบแน่นอน

โดยปัจจัย 10 เดียวกับผลลัพธ์ของ David C ขอบคุณ (คำตอบของฉันไม่รวมชื่อทั้งหมดอาจจะกล่าวถึง)