ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงเลขชี้กำลังผกผัน

ให้ตัวแปรสุ่มค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของG = $Y = Exp(\lambda)$ไหม$G=\dfrac{1}{Y}$

ฉันดูการแจกแจงผกผันแกมม่า แต่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนถูกกำหนดเฉพาะสำหรับและα > 2ตามลำดับ ...$\alpha>1$$\alpha>2$

ระบุว่าการกระจายชี้แจงผกผันมีคุณได้สะดุดเข้ากับความจริงที่ว่าค่าเฉลี่ยของผกผันชี้แจงมี∞ ดังนั้นความแปรปรวนของเลขชี้กำลังผกผันจึงไม่ได้ถูกกำหนด$\alpha = 1$$\infty$

หากเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกระจายชี้แจงE ( G R )มีอยู่และเป็นที่แน่นอนสำหรับR < 1และ= ∞สำหรับR = 1$G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

ฉันจะแสดงการคำนวณหาค่าเฉลี่ยของการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลเพื่อให้คุณนึกถึงวิธีการ จากนั้นฉันจะไปหาเอ็กซ์โพเนนเชียลผกผันด้วยวิธีการเดียวกัน

รับ$f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

การบูรณาการโดยส่วน (ละเว้นหน้าอินทิกรัลสำหรับช่วงเวลา)$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่รู้จัก

$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

ความแตกต่างที่สำคัญคือการรวมเข้าด้วยกัน

$u = y^{-1}$

และ

$du = -1y^{-2}$

$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

หลังจากการจำลองแบบรวดเร็ว (ใน R) ดูเหมือนว่าไม่มีค่าเฉลี่ย:

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

เพื่อการเปรียบเทียบนี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นกับตัวแปรสุ่มเลขชี้กำลังของแท้