การสร้างแบบจำลองคริกเก็ตเลอร์สรับ batsmen ออก

ฉันมีชุดข้อมูลที่มีรายละเอียดของเกมคริกเกตจำนวนมาก (ไม่กี่พันรายการ) ในคริกเก็ต "เลอร์ส" โยนลูกบอลซ้ำ ๆ อย่างต่อเนื่องของ "batsmen" คนขว้างลูกพยายามเอาลูกบอลออกไป ในแง่นี้มันค่อนข้างคล้ายกับเหยือกและแป้งในเบสบอล

ถ้าฉันใช้ชุดข้อมูลทั้งหมดและหารจำนวนลูกบอลที่ได้ลูกบอลออกมาด้วยจำนวนลูกบอลทั้งหมดที่กลิ้งไปฉันจะเห็นว่าฉันมีความน่าจะเป็นเฉลี่ยที่นักขว้างลูกบอลจะได้ประมาณ 0.03 ( หวังว่าฉันจะไม่ผิดพลาดไปแล้ว?)

สิ่งที่ฉันสนใจคือสิ่งที่ฉันสามารถทำได้เพื่อลองและคำนวณความน่าจะเป็นของผู้ตีลูกที่เฉพาะเจาะจงที่ถูกโยนออกโดยผู้เล่นลูกที่เฉพาะเจาะจงในลูกบอลหน้า

ชุดข้อมูลมีขนาดใหญ่พอที่ผู้ขว้างลูกใดก็ตามจะมีลูกบอลหลายพันลูกไปยังลูกบอลหลากหลายรูปแบบ ดังนั้นฉันเชื่อว่าฉันสามารถแบ่งจำนวนของนักเล่นโบว์ลิ่งที่ทำได้สำเร็จตามจำนวนลูกบอลที่เขาได้คลำเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นใหม่สำหรับผู้เล่นที่เฉพาะเจาะจงนั้นที่ได้ออกมาจากลูกบอลถัดไป

ปัญหาของฉันคือชุดข้อมูลไม่ใหญ่พอที่จะรับประกันได้ว่าคนขว้างลูกที่ได้รับมีจำนวนลูกบอลที่มีนัยสำคัญทางสถิติที่ลูกบอลใดก็ตาม ดังนั้นหากฉันสนใจที่จะคำนวณความน่าจะเป็นของผู้ขว้างลูกที่เฉพาะเจาะจงหันหน้าไปทางลูกบอลที่เฉพาะเจาะจงฉันไม่คิดว่ามันจะไม่สามารถทำได้ในลักษณะที่เรียบง่ายแบบเดียวกัน

คำถามของฉันคือว่าวิธีการต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่:

ทั่วทั้งชุดข้อมูลความน่าจะเป็นของลูกบอลที่จะออกมาเป็น 0.03
หากฉันคำนวณว่าโดยเฉลี่ยคนขว้างลูก A มีความน่าจะเป็นที่จะออกจาก 0.06 (เช่นสองเท่าน่าจะเป็นกะลาเฉลี่ย)
และโดยเฉลี่ยแล้วลูก B มีความน่าจะเป็นที่จะออกจาก 0.01 (หนึ่งในสามที่น่าจะเป็นลูกบอลเฉลี่ย)
ถ้าเช่นนั้นถูกต้องหรือไม่ที่จะบอกว่าความน่าจะเป็นของลูกบอลที่เฉพาะเจาะจงนั้นออกไปในลูกบอลลูกถัดไปที่ลูกโบว์ลิ่งนั้นจะเท่ากับ 0.06 * (0.01 / 0.03) = 0.02?

probability modeling games

— ราวี
แหล่งที่มา

หากผู้ขว้างลูกเลือกที่จะโยนลูกบอลซ้ำ ๆพวกเขาจะพบว่าตัวเองถูกถอดออกจากการแข่งขันอีกครั้งในเกม

— Glen_b -Reinstate Monica

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}$

ถ้าฉันเอาชุดข้อมูลทั้งหมดและหารจำนวนลูกบอลที่ได้ลูกบอลออกมาตามจำนวนลูกบอลที่กลิ้งไปฉันจะเห็นว่าฉันมีความน่าจะเป็นเฉลี่ยที่นักโบว์ลิ่งจะได้ลูกบอลออกมา - จะอยู่ที่ประมาณ 0.03 (หวังว่า ฉันไม่ได้ผิดไปแล้ว?)

น่าเสียดายที่นี่อาจไม่ตรงกับที่คุณต้องการ

สมมติว่าเรามีกะลาเดียวและสอง batsmen: Don Bradmanและฉัน (ฉันรู้น้อยมากเกี่ยวกับคริกเก็ตดังนั้นถ้าฉันกำลังทำอะไรบางอย่างที่นี่แจ้งให้ฉันทราบ) เกมไปบางอย่างเช่น:

ดอนไปค้างคาวและออกไปบนชามที่ 99
ฉันไปที่แบ็ตและออกไปทันที
ดอนไปค้างคาวและออกไปบนชามที่ 99
ฉันไปที่แบ็ตและออกไปทันที

ในกรณีนี้มีสี่ลึกจาก 200 โบลิ่งดังนั้นความน่าจะเป็นเล็กน้อยของผู้ขว้างลูกออกลูกอยู่ที่ประมาณ 4/200 = 2% แต่ที่จริงแล้วความน่าจะเป็นของดอนอยู่ที่มากกว่า 1% ในขณะที่ของฉันเป็น 100% ดังนั้นถ้าคุณเลือกคนตีลูกและคนขว้างลูกโดยบังเอิญความน่าจะเป็นที่คนขว้างลูกคนนี้รับลูกบอลออกไปในครั้งนี้จะเป็นเหมือนมากขึ้น (โอกาส 50% ที่คุณเลือกดอน) * (โอกาส 1% ที่เขาจะออก) + (โอกาส 50% ที่คุณเลือก ฉัน) * (โอกาสที่ฉันจะออกไป 100%) = 50.05% แต่ถ้าคุณเลือกระดับเสียงโดยการสุ่มมันมีโอกาส 2% ที่มันจะออกมา ดังนั้นคุณต้องคิดให้รอบคอบเกี่ยวกับแบบจำลองตัวอย่างที่คุณกำลังคิด

อย่างไรก็ตามข้อเสนอของคุณไม่ได้บ้า เพิ่มเติมสัญลักษณ์ให้เป็นกะลาและลูก; ให้จะเป็นไปได้ว่าได้รับออก ถ้าอย่างนั้นคุณจะพูดว่า: $b$ $m$ $f(b, m)$ $b$ $m$

f (b, m) = \frac{E_{m^{'}} [f (b, m^{'})] E_{b^{'}} [f (b^{'}, m)]}{E_{b^{'}, m^{'}} [f (b^{'}, m^{'})]} .

$f(b, m) = \frac{\E_{m'}[ f(b, m') ] \E_{b'}[ f(b', m) ]}{\E_{b', m'}[ f(b', m') ]} .$

สิ่งนี้มีคุณสมบัติที่ต้องการที่: มันก็คงที่กันถ้าคุณใช้ความหมายมากกว่าหรือเท่านั้น

E_{b, m} [f (b, m)] = \frac{E_{b, m^{'}} [f (b, m^{'})] E_{b^{'}, m} [f (b^{'}, m)]}{E_{b^{'}, m^{'}} [f (b^{'}, m^{'})]} = E_{b, m} [f (b, m)];

$\E_{b,m}[f(b, m)] = \frac{\E_{b,m'}[ f(b, m') ] \E_{b',m}[ f(b', m) ]}{\E_{b',m'}[ f(b', m') ]} = \E_{b,m}[ f(b, m) ] ;$

b

$b$

m

$m$

โปรดทราบว่าในกรณีนี้เราสามารถกำหนด ข้อสันนิษฐานของคุณคือคุณสามารถสังเกตเห็นและได้ดีพอสมควรจากข้อมูล ตราบใดที่ (a) คุณมีเกมมากพอ (ซึ่งคุณเล่น) และ (b) ผู้เล่นทุกคนเล่นซึ่งกันและกันด้วยความถี่ที่คล้ายกันพอสมควร

\begin{matrix} C := E_{b, m} [f (b, m)] \\ g (b) := E_{m} [f (b, m)] / \sqrt{C} \\ h (m) := E_{b} [f (b, m)] / \sqrt{C} \\ so that f (b, m) = g (b) h (m) . \end{matrix}

$\begin{gather} C := \E_{b, m}[f(b, m)] \\ g(b) := \E_{m}[f(b, m)] / \sqrt{C} \\ h(m) := \E_{b}[f(b, m)] / \sqrt{C} \\ \text{so that } f(b, m) = g(b) \, h(m) .\end{gather}$

g (b)

$g(b)$

h (m)

$h(m)$

หากต้องการอธิบายอย่างละเอียดเกี่ยวกับ (b) เล็กน้อย: ลองจินตนาการว่าคุณมีข้อมูลจากเกมระดับมืออาชีพและเกมที่ฉันเล่นกับเพื่อน ๆ หากไม่มีการเหลื่อมกันฉันอาจดูดีมากเมื่อเทียบกับเพื่อนของฉันดังนั้นคุณอาจคิดว่าฉันดีกว่าผู้เล่นมืออาชีพที่แย่ที่สุด เห็นได้ชัดว่าเป็นเท็จ แต่คุณไม่มีข้อมูลที่จะปฏิเสธ หากคุณมีการเหลื่อมกันเล็กน้อยที่ฉันเล่นกับผู้เล่นมืออาชีพหนึ่งครั้งและถูกทำลายข้อมูลก็จะสนับสนุนการจัดอันดับฉันและเพื่อน ๆ ของฉันในทางที่แย่กว่ามืออาชีพ แต่วิธีการของคุณจะไม่คำนึงถึงมัน ในทางเทคนิคปัญหาที่นี่คือคุณกำลังสมมติว่าคุณมีตัวอย่างที่ดีสำหรับแต่การกระจายของคุณมีความลำเอียง $\E_{b'}[f(b', m)]$ $b'$

แน่นอนว่าข้อมูลของคุณจะไม่ดูแย่ขนาดนี้ แต่ขึ้นอยู่กับโครงสร้างลีกหรืออะไรก็ตามมันอาจมีองค์ประกอบบางอย่างของปัญหานั้น

คุณสามารถลองใช้วิธีอื่นได้ รูปแบบที่นำเสนอสำหรับเป็นจริงตัวอย่างของรุ่นต่ำยศเมทริกซ์ตัวประกอบที่พบบ่อยในการกรองการทำงานร่วมกันในขณะที่ปัญหา Netflix มีให้คุณเลือกฟังก์ชั่นและจะเป็นมิติ , และเป็นตัวแทนของ(เมตร) คุณสามารถตีความเป็นการทำให้โมเดลของคุณมีความซับซ้อนจากคะแนน "คุณภาพ" เดี่ยวไปจนถึงการมีคะแนนในหลายมิติ: บางทีเลอร์สบางตัวอาจทำได้ดีกว่ากับแบตเมนบางประเภท (สิ่งนี้ทำเช่นสำหรับเกม NBA ) $f$ $g(b)$ $h(m)$ $r$ $f(b, m) = g(b)^T h(m)$ $r>1$

เหตุผลที่พวกเขาเรียกว่าเมทริกซ์การแยกตัวประกอบเป็นเพราะถ้าคุณสร้างเมทริกซ์มีแถวมากเท่าเลอร์สและคอลัมน์มากเท่ากับแบตเมนคุณสามารถเขียนสิ่งนี้ได้ $F$

\underset{F}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} ฉ (ข_{1}, {ม.}_{1}) & ฉ (ข_{1}, {ม.}_{2}) & ... & ฉ (ข_{1}, {ม.}_{M}) \\ ฉ (ข_{2}, {ม.}_{1}) & ฉ (ข_{2}, {ม.}_{2}) & ... & ฉ (ข_{2}, {ม.}_{M}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ฉ (ข_{ยังไม่มีข้อความ}, {ม.}_{1}) & ฉ (ข_{ยังไม่มีข้อความ}, {ม.}_{2}) & ... & ฉ (ข_{ยังไม่มีข้อความ}, {ม.}_{M}) \end{matrix}]}} = \underset{G}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} ก. (ข_{1}) \\ ⋮ \\ ก. (ข_{ยังไม่มีข้อความ}) \end{matrix}]}} \underset{H^{T}}{\underset{⏟}{{[\begin{matrix} ชั่วโมง ({ม.}_{1}) \\ ⋮ \\ ชั่วโมง ({ม.}_{M}) \end{matrix}]}^{T}}}

$\underbrace{\begin{bmatrix} f(b_1, m_1) & f(b_1, m_2) & \dots & f(b_1, m_M) \\ f(b_2, m_1) & f(b_2, m_2) & \dots & f(b_2, m_M) \\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ f(b_N, m_1) & f(b_N, m_2) & \dots & f(b_N, m_M) \end{bmatrix}}_{F} = \underbrace{\begin{bmatrix} g(b_1) \\ \vdots \\ g(b_N) \end{bmatrix}}_{G} \underbrace{\begin{bmatrix} h(m_1) \\ \vdots \\ h(m_M) \end{bmatrix}^T}_{H^T}$ ที่ซึ่งคุณได้รับสมการคูณเมทริกซ์เป็นคูณหนึ่งและคูณหนึ่ง .

N \times M

$N \times M$

F

$F$

N \times r

$N \times r$

G

$G$

M \times r

$M \times r$

H

$H$

แน่นอนว่าคุณจะไม่ได้สังเกตโดยตรง รูปแบบปกติคือคุณจะต้องสังเกตการณ์รายการที่มีเสียงดังของโดยการสุ่ม ในกรณีของคุณคุณจะได้รับที่จะสังเกตวาดจากการกระจายทวินามกับจำนวนของการทดลองสุ่มสำหรับรายการของแต่ละF $F$ $F$ $F$

คุณสามารถสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นเช่น:

\begin{matrix} G_{ผม k} ~ ยังไม่มีข้อความ (0, σ_{G}^{2}) \\ H_{J k} ~ ยังไม่มีข้อความ (0, σ_{H}^{2}) \\ F_{ผม J} = G_{ผม}^{T} H_{J} \\ R_{ผม J} ~ B ผม n โอ ม. ผม a ล. (n_{ผม J}, F_{ผม J}) \end{matrix}

$\begin{gather} G_{ik} \sim \mathcal{N}(0, \sigma_G^2) \\ H_{jk} \sim \mathcal{N}(0, \sigma_H^2) \\ F_{ij} = G_i^T H_j \\ R_{ij} \sim \mathcal{Binomial}(n_{ij}, F_{ij}) \end{gather}$ ที่และจะสังเกตเห็นและ คุณอาจต้องการใส่ hyperpriors บางกว่า /และทำอนุมานเช่นในสแตน

n_{i j}

$n_{ij}$

R_{i j}

$R_{ij}$

σ_{G}

$\sigma_G$

σ_{H}

$\sigma_H$

นี่ไม่ใช่รูปแบบที่สมบูรณ์แบบ: สำหรับข้อใดข้อหนึ่งมันไม่สนใจว่ามีความสัมพันธ์กับคะแนน (ดังที่ฉันได้กล่าวถึงในส่วนแรก) และที่สำคัญกว่านั้นมันไม่ได้ จำกัดให้อยู่ใน (คุณอาจใช้ sigmoid โลจิสติกส์หรือคล้ายกันเพื่อให้บรรลุ) บทความที่เกี่ยวข้องกับนักบวชที่ซับซ้อนมากขึ้นสำหรับและ (แต่ที่ไม่ได้ใช้ความน่าจะเป็นทวินาม) คือ: Salakhutdinov และ Mnih, ตัวประกอบเมทริกซ์ความน่าจะเป็นแบบ Bayesian โดยใช้ Markov chain Monte Carlo , ICML 2008 ( PDF ของ doi / ผู้เขียน ) $n$ $F_{ij}$ $[0, 1]$ $G$ $H$

— Dougal
แหล่งที่มา

@Ravi นี่เป็นเวลานานอาจไม่ได้อธิบายอย่างชัดเจนและฉันไม่ทราบระดับพื้นหลังของคุณด้วยปัญหาประเภทนี้ แต่อย่าลังเลที่จะถามคำถามเกี่ยวกับส่วนต่าง ๆ ที่ไม่ชัดเจน นอกจากนี้เนื่องจากข้อมูลของคุณเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งคุณสามารถพิจารณาใช้Eloพูดได้

— Dougal

ขอบคุณที่สละเวลาเขียนคำตอบที่มีคุณภาพสูงมากนี้ เป็นที่ยอมรับฉันเพิ่งรู้สถิติพื้นฐานในขณะนี้ดังนั้นสิ่งนี้เป็นเรื่องใหม่สำหรับฉัน อย่างไรก็ตามมันแสดงให้ฉันเห็นอย่างชัดเจนว่าควรอ่านอะไรเพื่อทำความเข้าใจปัญหานี้อย่างถูกต้องซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันต้องการ หวังว่าหลังจากศึกษามาหลายวัน (หรือหลายปี!) ฉันจะสามารถเข้าใจคำตอบของคุณได้ดีขึ้น

— Ravi

ขอบคุณ. ฉันมีคำถามเกี่ยวกับ Elo มันค่อนข้างนานแล้วที่ฉันเปิดคำถามใหม่ [ที่นี่] :( stats.stackexchange.com/questions/230518/ ...... )

— Ravi

คุณไม่สามารถอนุมานความน่าจะเป็นที่ถูกต้องที่ B จะได้รับเนื่องจาก A เป็นผู้ขว้างถ้า A และ B ไม่เคยพบกันในสนามโดยยึดตามค่าเฉลี่ยกับผู้เล่นคนอื่น

— โอ๊ย_
แหล่งที่มา

แม้ว่าคุณอาจถูกต้องเกี่ยวกับคริกเก็ต แต่ความสามารถของระบบการให้คะแนนในเกมที่มีความสามารถเช่นหมากรุกเพื่อทำนายผลการแข่งขันระหว่างผู้ที่ไม่เคยเข้าร่วมการแข่งขันจะแนะนำอย่างอื่น

— whuber

@whuber เห็นด้วย - ฉันคิดว่ามันจะเป็นจริงเกี่ยวกับคริกเก็ตเป็นเกือบทุกการแข่งขันอื่น ๆ คริกเก็ตไม่ได้ว่าแตกต่างกัน

— Glen_b -Reinstate Monica