บางคนสามารถช่วยอธิบายความแตกต่างระหว่างอิสระกับการสุ่มได้ไหม

ในสถิติอิสระและการสุ่มอธิบายลักษณะที่เหมือนกันหรือไม่ ความแตกต่างระหว่างพวกเขาคืออะไร เรามักจะเจอคำอธิบายเช่น "ตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว" หรือ "สุ่มตัวอย่างแบบสุ่ม" ฉันสงสัยว่าอะไรคือความแตกต่างที่แน่นอนระหว่างพวกเขา ใครสามารถอธิบายสิ่งนี้และยกตัวอย่างได้บ้าง เช่นกระบวนการไม่อิสระ แต่สุ่ม

ฉันจะพยายามอธิบายในแง่ที่ไม่ใช่ด้านเทคนิค: ตัวแปรสุ่มอธิบายผลลัพธ์ของการทดสอบ คุณไม่สามารถทราบล่วงหน้าว่าผลลัพธ์ที่แน่นอนจะเป็นอย่างไร แต่คุณมีข้อมูลบางอย่าง: คุณรู้ว่าผลลัพธ์ใดที่เป็นไปได้และคุณรู้ว่าสำหรับแต่ละผลลัพธ์ความน่าจะเป็น

ตัวอย่างเช่นหากคุณโยนเหรียญยุติธรรมคุณไม่ทราบล่วงหน้าว่าคุณจะได้หัวหรือก้อย แต่คุณรู้ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้และคุณรู้ว่าแต่ละคนมีโอกาสเกิดขึ้น 50%

เพื่ออธิบายความเป็นอิสระคุณต้องโยนเหรียญที่ยุติธรรมสองเหรียญ หลังจากโยนเหรียญแรกคุณรู้ว่าสำหรับการโยนครั้งที่สองความน่าจะเป็นของหัวยังคงเป็น 50% และสำหรับหาง ถ้าการโยนครั้งแรกไม่มีผลต่อความน่าจะเป็นของการโยนครั้งที่สองการทอยทั้งสองนั้นจะเป็นอิสระ หากการโยนครั้งแรกมีผลต่อความน่าจะเป็นของการโยนครั้งที่สอง

ตัวอย่างของการทอยขึ้นกับการโยนคือเมื่อคุณกาวสองเหรียญเข้าด้วยกัน

Randomเกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่มและอิสระเกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นอิสระ โดยความเป็นอิสระเราหมายถึงว่าการสังเกตตัวแปรหนึ่งไม่ได้บอกอะไรเราเกี่ยวกับตัวแปรอื่นหรือในเงื่อนไขที่เป็นทางการมากขึ้นถ้าและYเป็นตัวแปรสุ่มสองตัวจากนั้นเราบอกว่ามันเป็นอิสระถ้า$X$$Y$

ยิ่งไปกว่านั้น

และความแปรปรวนร่วมของพวกเขาเป็นศูนย์ ตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับXหากสามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของ$Y$$X$$X$

ดังนั้นในกรณีนี้เป็นแบบสุ่มและขึ้นอยู่บนX$Y$$X$

ขั้นตอนการโทร "ไม่เป็นอิสระ" นั้นค่อนข้างทำให้เข้าใจผิด - เป็นอิสระจากอะไร ฉันเดาว่าคุณหมายถึงว่ามีอิสระและตัวแปรสุ่มแบบกระจาย (ตรวจสอบที่นี่หรือที่นี่ ) ที่มาจากกระบวนการบางอย่าง โดยอิสระเราจะหมายถึงที่นี่ว่าพวกเขาเป็นอิสระจากกัน มีกระบวนการผลิตตัวแปรสุ่มตามเช่น$X_1,\dots,X_k$

เมื่อมีเสียงรบกวนแบบสุ่ม เห็นได้ชัดว่าในกรณีเช่นนี้X iนั้นขึ้นอยู่กับX i - 1แต่ก็เป็นแบบสุ่ม$\varepsilon$$X_i$$X_{i-1}$

ตัวแปรถูกใช้ในทุกสาขาของคณิตศาสตร์ คำจำกัดความของความเป็นอิสระและความไม่แน่นอนของตัวแปรถูกนำไปใช้กับคณิตศาสตร์ทุกรูปแบบไม่ใช่เฉพาะกับสถิติ

ตัวอย่างเช่นแกน X และ Y ในเรขาคณิตแบบยุคลิดแบบ 2 มิติแสดงถึงตัวแปรอิสระอย่างไรก็ตามค่าเหล่านั้นไม่ได้รับมอบหมาย (โดยปกติ) โดยการสุ่ม

ตัวแปรที่กำหนดสองตัวสามารถสุ่มหรือเป็นอิสระ (ของตัวแปรอื่น) หรือทั้งสองอย่างหรือทั้งสองอย่าง สถิติมีแนวโน้มที่จะมุ่งเน้นไปที่การสุ่ม (อย่างถูกต้องมากขึ้นในความน่าจะเป็น) และหรือไม่ว่าตัวแปรสองตัวที่เป็นอิสระสามารถมีผลกระทบมากมายสำหรับความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ได้รับการสังเกต

คุณมักจะเห็นคุณสมบัติทั้งสองนี้ (ความเป็นอิสระและการสุ่ม) อธิบายไว้ด้วยกันเมื่อศึกษาสถิติเพราะทั้งคู่มีความสำคัญต่อการรู้และสามารถมีอิทธิพลต่อคำตอบของคำถามในมือ อย่างไรก็ตามคุณสมบัติเหล่านี้ไม่ได้มีความหมายเหมือนกันและในสาขาคณิตศาสตร์อื่น ๆ ที่พวกเขาไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นพร้อมกัน

แนวคิดเรื่องความเป็นอิสระนั้นสัมพันธ์กันในขณะที่คุณสามารถสุ่มได้ด้วยตัวเอง ในตัวอย่างของคุณคุณมี "ตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว" และไม่จำเป็นต้องพูดถึง "สุ่มตัวอย่างแบบสุ่ม" หลายอย่าง

สมมติว่าคุณหล่อ Die ที่สมบูรณ์แบบหลายต่อหลายครั้ง ผลลัพธ์ที่เป็นการสุ่มล่วงหน้า รู้ว่าที่ผ่านมาคุณไม่สามารถคาดการณ์จำนวนดังต่อไปนี้ 4. สมมติว่าฉันสร้างลำดับจากด้านอื่น ๆ ของตาย: 6 → 1 , 3 → 4 ฉันได้1 , 2 , 4 , 2 , 3 … . มันเป็นแบบสุ่มเหมือนกับอันแรก คุณไม่สามารถคาดเดาสิ่งที่เกิดขึ้นหลังจากที่3 แต่ลำดับที่สองนั้นขึ้นอยู่กับอย่างสมบูรณ์$6,5,3,5, 4\ldots$$6\to1$$3\to4$$1,2,4,2, 3\ldots$$3$

หากมีใครโยนลูกเต๋าสองลูกขนาน (โดยไม่มีการโต้ตอบระหว่างกัน) ลำดับของพวกเขาจะสุ่มและเป็นอิสระ

เมื่อคุณมีคู่ของค่าเมื่อมีการสร้างแบบสุ่มและที่สองมีการพึ่งพาใด ๆ กับคนแรก เช่นความสูงและน้ำหนักของผู้ชาย มีความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขา แต่พวกเขาทั้งคู่สุ่ม

ตัวอย่างเหรียญเป็นตัวอย่างที่ดีของตัวแปรแบบสุ่มและอิสระวิธีที่ดีในการคิดว่าตัวแปรแบบสุ่ม แต่ขึ้นอยู่กับจะเป็นไพ่ใบถัดไปที่ดึงมาจากไพ่สำรับไพ่เจ็ดใบในการเล่นไพ่ การเปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับไพ่ที่แจกก่อนหน้านี้ แต่จนกว่าจะมีเพียงหนึ่งมูลค่าของการ์ดที่ยังคงอยู่ในรองเท้ามูลค่าของการ์ดที่จะมาต่อไปจะยังคงสุ่ม

David Bohm ในงานเวรกรรมและโอกาสในฟิสิกส์ยุคใหม่ (ลอนดอน: เลดจ์, 1957/1984) อธิบายถึงเวรกรรมโอกาสแบบสุ่มและความเป็นอิสระ:

"ในธรรมชาติไม่มีอะไรคงที่ทุกอย่างอยู่ในสถานะของการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนไหวและการเปลี่ยนแปลงตลอดกาลอย่างไรก็ตามเราค้นพบว่าไม่มีอะไรเกิดขึ้นโดยไม่มีสิ่งใดเกิดขึ้นมาก่อนเช่นเดียวกันไม่มีสิ่งใดหายไปอย่างไร้ร่องรอย ความรู้สึกว่ามันก่อให้เกิด absolutley ไม่มีอะไรที่มีอยู่ในเวลาต่อมา .... ทุกอย่างมาจากสิ่งอื่น ๆ และก่อให้เกิดสิ่งอื่น ๆ หลักการนี้ยังไม่ได้เป็นคำสั่งของการดำรงอยู่ของความเป็นเหตุเป็นผลในธรรมชาติ ขั้นตอนต่อไปคือการสังเกตว่าเมื่อเราศึกษากระบวนการที่เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่หลากหลายเราค้นพบว่าภายในความซับซ้อนทั้งหมดของการเปลี่ยนแปลงและการเปลี่ยนแปลงมีความสัมพันธ์ที่ยังคงอยู่อย่างมีประสิทธิภาพ .... ณ จุดนี้เราพบปัญหาใหม่ สำหรับความจำเป็นของกฎหมายสาเหตุไม่เคยสมบูรณ์ ดังนั้นเราจะเห็นว่าเราต้องเข้าใจกฎแห่งธรรมชาติเท่าที่จำเป็นหากมีบทคัดย่อจากเหตุฉุกเฉินซึ่งแสดงถึงปัจจัยอิสระที่สำคัญซึ่งอาจมีอยู่นอกขอบเขตของสิ่งต่าง ๆ ที่สามารถปฏิบัติตามกฎหมายภายใต้การพิจารณาและไม่จำเป็นต้องปฏิบัติตาม จากสิ่งใดก็ตามที่อาจระบุได้ภายใต้บริบทของกฎหมายเหล่านี้ ภาระผูกพันดังกล่าวนำไปสู่โอกาส "(pp.1-2)

“ แนวโน้มของการเกิดภาระผูกพันที่อยู่นอกบริบทที่กำหนดให้ผันผวนอย่างอิสระจากเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นภายในบริบทนั้นได้แสดงให้เห็นว่ามันแพร่หลายอย่างกว้างขวางจนคน ๆ หนึ่งอาจประกาศว่ามันเป็นหลักการ; นั่นคือหลักการของการสุ่ม เพื่อผันผวนของภาระผูกพันเหล่านี้ในวิธีที่ซับซ้อนมากในช่วงกว้างของความเป็นไปได้ แต่ในลักษณะที่ค่าเฉลี่ยทางสถิติมีพฤติกรรมปกติและคาดการณ์ได้โดยประมาณ " (หน้า 22)