การถดถอยของดิสก์ยูนิตเริ่มต้นจากตัวอย่าง "เว้นระยะสม่ำเสมอ"

ฉันต้องแก้ปัญหาการถดถอยที่ซับซ้อนบนดิสก์ยูนิต คำถามดั้งเดิมดึงดูดความคิดเห็นที่น่าสนใจ แต่ไม่มีคำตอบที่น่าเสียดาย ในขณะเดียวกันฉันได้เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับปัญหานี้ดังนั้นฉันจะพยายามแยกปัญหาดั้งเดิมออกเป็นปัญหาย่อยและดูว่าฉันโชคดีขึ้นในครั้งนี้หรือไม่

ฉันมีเซ็นเซอร์อุณหภูมิ 40 ตัวอยู่ในวงแหวนแคบ ๆ ภายในดิสก์ยูนิตเป็นประจำ:

เซ็นเซอร์เหล่านี้รับอุณหภูมิในเวลา อย่างไรก็ตามเนื่องจากความแปรปรวนของเวลามีขนาดเล็กกว่าการแปรผันของอวกาศเรามาทำให้ปัญหาง่ายขึ้นโดยไม่สนใจความแปรปรวนของเวลาและสมมติว่าเซ็นเซอร์แต่ละตัวให้เวลาฉันโดยเฉลี่ยเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าฉันมี 40 ตัวอย่าง (หนึ่งตัวสำหรับเซ็นเซอร์แต่ละตัว) และฉันไม่มีตัวอย่างซ้ำ

ฉันต้องการสร้างพื้นผิวการถดถอยจากข้อมูลเซ็นเซอร์ การถดถอยมีสองเป้าหมาย:$T=f(\rho,\theta)+\epsilon$

1. ฉันต้องการที่จะประเมินค่าเฉลี่ยรัศมีอุณหภูมิT_ด้วยการถดถอยเชิงเส้นฉันได้ประมาณพื้นผิวซึ่งเป็นพื้นผิวอุณหภูมิเฉลี่ยแล้วดังนั้นฉันจึงต้องรวมพื้นผิวของฉันกับใช่ไหม? ถ้าฉันใช้พหุนามเพื่อการถดถอยขั้นตอนนี้ควรเป็นเค้กชิ้นหนึ่ง$T_{mean}=g_1(\rho)+\epsilon$$\theta$
2. ฉันต้องการที่จะประเมินโปรไฟล์อุณหภูมิรัศมีเช่นว่าในแต่ละตำแหน่งรัศมีP$T_{95}=g_2(\rho)+\epsilon$$P(T(\rho)<T_{95}(\rho))=.95$

ด้วยสองเป้าหมายนี้ฉันควรใช้เทคนิคใดในการถดถอยของดิสก์ยูนิต แน่นอนกระบวนการแบบเกาส์มักใช้สำหรับการถดถอยเชิงพื้นที่ อย่างไรก็ตามคำจำกัดความของเคอร์เนลที่ดีสำหรับดิสก์ยูนิตนั้นไม่สำคัญดังนั้นฉันต้องการให้สิ่งต่าง ๆ เรียบง่ายและใช้พหุนามยกเว้นว่าคุณรู้สึกว่ามันเป็นกลยุทธ์ที่สูญเสียไป ฉันได้อ่านเกี่ยวกับพหุนาม Zernike ชื่อที่ประกอบด้วยหลาย Zernike ดูเหมือนจะเป็นที่เหมาะสมสำหรับการถดถอยมากกว่าดิสก์หน่วยเนื่องจากพวกเขากำลังอยู่ในระยะ\$\theta$

เมื่อเลือกรุ่นแล้วฉันต้องเลือกขั้นตอนการประมาณค่า เนื่องจากนี่เป็นปัญหาการถดถอยเชิงพื้นที่จึงควรมีความสัมพันธ์ของข้อผิดพลาดในสถานที่ต่างกัน สแควร์สเตอร์ธรรมดาถือว่าข้อผิดพลาดที่ไม่เกี่ยวข้องดังนั้นฉันคิดว่าสแควร์สทั่วไปทั่วไปจะเหมาะสมกว่า GLS ดูเหมือนว่าเป็นเทคนิคทางสถิติที่ใช้กันทั่วไปเนื่องจากมีglsฟังก์ชั่นในการกระจาย R มาตรฐาน อย่างไรก็ตามฉันไม่เคยใช้ GLS และฉันมีข้อสงสัย ตัวอย่างเช่นฉันจะประเมินเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมได้อย่างไร ตัวอย่างจากการทำงานถึงแม้จะใช้เซ็นเซอร์เพียงไม่กี่เซ็นเซอร์ก็ถือว่ายอดเยี่ยม

ป.ล. ฉันเลือกใช้พหุนาม Zernike และ GLS เพราะฉันคิดว่ามันเป็นสิ่งที่สมเหตุสมผลที่จะทำที่นี่ อย่างไรก็ตามฉันไม่มีความเชี่ยวชาญและถ้าคุณรู้สึกว่าฉันกำลังไปในทิศทางที่ผิดรู้สึกฟรีที่จะใช้วิธีการที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง

ผมคิดว่าคุณจะอยู่บนเส้นทางที่ถูกต้องในการคิดเกี่ยวกับบางสิ่งบางอย่างเช่นพหุนาม Zernike ดังที่ระบุไว้ในคำตอบโดย jwimberly เหล่านี้เป็นตัวอย่างของระบบฟังก์ชั่นพื้นฐานมุมฉากบนดิสก์ ผมไม่คุ้นเคยกับพหุนาม Zernike แต่หลายครอบครัวอื่น ๆ ของฟังก์ชั่นตั้งฉาก (รวมถึงฟังก์ชั่น Bessel) เกิดขึ้นตามธรรมชาติในฟิสิกส์คณิตศาสตร์คลาสสิกเป็นeigenfunctionsสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์บางอย่าง (ในขณะที่เขียนนี้, นิเมชั่นที่ด้านบนของการเชื่อมโยงว่าแม้ แสดงตัวอย่างของหัวกลองแบบสั่น)

คำถามสองข้ออยู่ในใจของฉัน ก่อนอื่นถ้าทั้งหมดที่คุณมีคือโปรไฟล์เรเดียล (เฉลี่ย) ดังนั้นคุณจำเป็นต้องมีข้อ จำกัด เกี่ยวกับรูปแบบเชิงพื้นที่มากน้อยเพียงใด? ประการที่สองประเภทของความแปรปรวนที่เกิดขึ้นในข้อมูลเชิงพื้นที่?$\theta$

ในแง่ของคำถามแรกมีข้อกังวลสองประการที่อยู่ในใจ เนื่องจากพิกัดเชิงขั้วการสนับสนุนพื้นที่สำหรับแต่ละเซ็นเซอร์มีแนวโน้มที่มีRข้อกังวลประการที่สองคือความเป็นไปได้ของการใช้นามแฝงโดยพื้นฐานแล้วการจัดตำแหน่งเซ็นเซอร์ของคุณไม่ถูกต้องเมื่อเทียบกับเฟสของรูปแบบ (เพื่อใช้การเปรียบเทียบ Fourier / Bessel) โปรดทราบว่าการใช้ชื่อแทนอาจเป็นความไม่แน่นอนหลักในการควบคุมอุณหภูมิสูงสุด (เช่น )$r$$T_{95}$

ในแง่ของคำถามที่สองความแปรปรวนของข้อมูลสามารถช่วยแก้ปัญหานามแฝงได้จริง ๆ แล้วโดยทั่วไปแล้วการปรับตำแหน่งผิดพลาดนั้นจะทำให้ค่าเฉลี่ยของการวัดต่างกัน (สมมติว่าไม่มีอคติอย่างเป็นระบบ ... แต่นั่นจะเป็นปัญหาสำหรับวิธีการใด ๆ โดยไม่ต้องเช่นแบบจำลองทางกายภาพเพื่อให้ข้อมูลเพิ่มเติม)

ดังนั้นความเป็นไปได้อย่างหนึ่งก็คือการกำหนดฟังก์ชั่น orthogonal เชิงพื้นที่ของคุณที่ตำแหน่งเซ็นเซอร์อย่างหมดจด "ฟังก์ชั่นมุมฉากเชิงประจักษ์"เหล่านี้สามารถคำนวณได้ผ่านPCAในเมทริกซ์ข้อมูลเชิงพื้นที่ของคุณ (อาจเป็นไปได้ว่าคุณสามารถใช้การถ่วงน้ำหนักเพื่อพิจารณาพื้นที่สนับสนุนเซนเซอร์แบบปรับได้ แต่เนื่องจากกริดขั้วแบบเดียวและเป้าหมายของค่าเฉลี่ยเรเดียลอาจไม่จำเป็นต้องทำ)

โปรดทราบว่าถ้ามีเป็นข้อมูลการสร้างแบบจำลองทางกายภาพใด ๆ ที่มีอยู่สำหรับ "คาดว่า" การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิที่มีอยู่บนหนาแน่นตารางคำนวณ spatiotemporal แล้วขั้นตอน PCA เดียวกันสามารถนำไปใช้ว่าข้อมูลไปยังฟังก์ชั่นการสืบทอดมามุมฉาก (โดยทั่วไปจะเรียกว่า "การสลายตัวของมุมฉากที่เหมาะสม " ในงานวิศวกรรมซึ่งจะใช้สำหรับการลดแบบจำลองเช่นแบบจำลองพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณที่มีราคาแพงสามารถถูกกลั่นเพื่อใช้ในกิจกรรมการออกแบบเพิ่มเติม)

ความคิดเห็นสุดท้ายถ้าคุณมีน้ำหนักข้อมูลเซ็นเซอร์โดยพื้นที่การสนับสนุน (เช่นขนาดของเซลล์ขั้วโลก) นี้จะเป็นประเภทของความแปรปรวนในแนวทแยงในกรอบของGLS (นั่นจะนำไปใช้กับปัญหาการทำนายของคุณมากขึ้นแม้ว่า PCA ที่มีน้ำหนักจะเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด)

ฉันหวังว่านี่จะช่วยได้!

อัปเดต:แผนภาพใหม่ของการแจกจ่ายเซ็นเซอร์เปลี่ยนแปลงสิ่งต่าง ๆ ในมุมมองของฉัน หากคุณต้องการประมาณอุณหภูมิภายในแผ่นดิสก์คุณจะต้องมีข้อมูลมากขึ้นกว่าเพียงแค่ "ชุดฟังก์ชั่นมุมฉากบนดิสก์ยูนิต" มีข้อมูลน้อยเกินไปในข้อมูลเซ็นเซอร์

หากคุณต้องการที่แน่นอนในการประมาณการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิเชิงพื้นที่กว่าดิสก์วิธีเดียวที่เหมาะสมฉันสามารถดูจะรักษาปัญหาเป็นหนึ่งในการดูดซึมข้อมูล อย่างน้อยคุณจะต้อง จำกัด รูปแบบพารามิเตอร์ของการแจกแจงเชิงพื้นที่ตามการพิจารณาเชิงฟิสิกส์บางอย่าง (ซึ่งอาจมาจากการจำลองหรืออาจมาจากข้อมูลที่เกี่ยวข้องในระบบที่มีพลวัตคล้ายกัน)

ฉันไม่รู้จักแอปพลิเคชันของคุณโดยเฉพาะ แต่ถ้าเป็นเช่นนี้ฉันจะจินตนาการว่ามีวรรณคดีทางวิศวกรรมมากมายที่คุณสามารถนำมาใช้เพื่อเลือกข้อ จำกัด ที่เหมาะสมก่อนหน้านี้ (สำหรับการเรียงลำดับของความรู้โดเมนแบบละเอียดนี่อาจไม่ใช่ไซต์ StackExchange ที่ดีที่สุดที่จะถาม)

ชื่อที่ประกอบด้วยหลาย Zernlike ไม่ได้เสียงเหมือนทางเลือกที่ดีเพราะพวกเขามีอยู่แล้วและพึ่งพาอาศัยกันและตั้งฉากปรุงสุกใน. แต่เนื่องจากคุณกำลังศึกษาอุณหภูมิการเลือกเนื้อหาอื่น ๆ ที่เหมาะสมและเป็นที่รู้จักกันดีกว่าจะเป็นหน้าที่ Bessel สิ่งเหล่านี้เกิดขึ้นในการศึกษาการไหลของความร้อนในวัตถุทรงกระบอก / ระบบพิกัดดังนั้นจึงมีโอกาสที่พวกมันจะมีความเหมาะสมทางร่างกายมากกว่า ฟังก์ชัน Bessel n-th จะให้การพึ่งพารัศมีที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สอดคล้องกันสำหรับการพึ่งพาขั้ว คุณสามารถหารายละเอียดได้ในหนังสือเรียนฟิสิกส์และ PDE$r$$\theta$