ตัวแปรสุ่มที่ Markov, อสมการ Chebyshev แน่น

ฉันสนใจที่จะสร้างตัวแปรสุ่มซึ่งความไม่เท่าเทียมกันของ Markov หรือ Chebyshev แน่น

ตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ คือตัวแปรสุ่มต่อไปนี้

$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$0.5 ค่าเฉลี่ยของมันคือศูนย์แปรปรวนคือ 1 และ1 สำหรับตัวแปรสุ่ม chebyshev นี้จะแน่น (ถือด้วยความเสมอภาค)$P(|X| \ge 1) = 1$

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

มีตัวแปรสุ่มที่น่าสนใจ (ไม่เหมือนกัน) ที่ Markov และ Chebyshev แน่นกว่านี้หรือไม่? ตัวอย่างบางส่วนจะดี

คลาสของการแจกแจงที่กรณี จำกัด ของ Chebyshev ที่ถูก จำกัด นั้นเป็นที่รู้จักกันดี (และไม่ใช่เรื่องยากที่จะคาดเดา) ปกติสำหรับสถานที่และขนาดมันเป็น

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

นี่คือ (ขึ้นอยู่กับขนาด) การแก้ปัญหาให้ที่หน้าวิกิพีเดียสำหรับความไม่เท่าเทียมกันเซฟ

[คุณสามารถเขียนลำดับการแจกแจง (โดยการวาง $\epsilon>0$ ความน่าจะเป็นที่จุดศูนย์กลางมากขึ้นซึ่งมีการลบแบบเดียวกันเท่า ๆ กันจากจุดปลาย) ซึ่งตอบสนองความไม่เท่าเทียมและวิธีการที่ จำกัด กรณีอย่างใกล้ชิดตามที่ต้องการ]

โซลูชันอื่น ๆ สามารถหาได้จากตำแหน่งและสเกลกะของสิ่งนี้: อนุญาต $X=\mu+\sigma Z$.

สำหรับความไม่เท่าเทียมกันของมาร์คอฟ $Y=|Z|$ ดังนั้นคุณมีความน่าจะเป็น $1-1/k^2$ ที่ 0 และ $1/k^2$ ที่ $k$. (หนึ่งสามารถแนะนำพารามิเตอร์ขนาดได้ที่นี่ แต่ไม่ใช่พารามิเตอร์ตำแหน่ง)

ความไม่เท่าเทียมกันในช่วงเวลา - และความไม่เท่าเทียมที่คล้ายคลึงกันอื่น ๆ อีกมากมาย - มักจะมีการแจกแจงแบบแยกส่วนเป็นกรณี จำกัด ของพวกเขา

ฉันเชื่อว่าการได้รับการกระจายอย่างต่อเนื่องทั่วทั้งแกนจริงทั้งหมดซึ่งเป็นไปตามขอบเขตของ Chebyshev อาจเป็นไปไม่ได้แน่นอน

สมมติว่าค่าเฉลี่ยการกระจายอย่างต่อเนื่องและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 0 และ 1 หรือทำให้ผ่านการลดขนาด จากนั้นก็ต้อง$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$. เพื่อความง่ายพิจารณา$x>0$; ค่าลบจะถูกกำหนดแบบสมมาตร จากนั้น CDF ของการแจกแจงคือ$1-1/x^2$. แล้วอนุพันธ์ของ cdf ก็คือ pdf$2/x^3$. เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้จะต้องกำหนดไว้สำหรับ$x>0$เพราะความไม่ต่อเนื่อง ในความเป็นจริงมันไม่สามารถเป็นจริงได้ทุกที่ไม่เช่นนั้นไฟล์ PDF จะไม่ จำกัด แต่หากจะต้องหลีกเลี่ยงความไม่ต่อเนื่อง (เช่น PDF cat เท่ากับ 0$\mid x \mid <\alpha$) ไฟล์ PDF จะต้องเป็นจำนวนเต็มเท่ากับ $\mid x \mid^3$ สำหรับ $\mid x\mid \geq \alpha$.

อย่างไรก็ตามการแจกแจงนี้ล้มเหลวสมมติฐาน - มันไม่มีความแปรปรวนแน่นอน ในการรับการกระจายอย่างต่อเนื่องเหนือแกนจริงด้วยค่าความแปรปรวน จำกัด ค่าที่ต้องการ$x$ และ $x^2$จะต้องมีข้อ จำกัด การตรวจพหุนามพหุนามผกผันที่เป็นไปตามนั้น$x^{-3}$ นำไปสู่การ จำกัด $E[x]$แต่ไม่ได้กำหนด $E[x^2]$ เพราะสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับอินทิกรัลกับพฤติกรรมลอการิทึมเชิงเส้นกำกับ

ดังนั้นขอบเขตของ Chebychev จึงไม่สามารถสร้างความพึงพอใจได้อย่างแน่นอน คุณสามารถกำหนด$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$ สำหรับขนาดเล็กโดยพลการ $\epsilon$อย่างไรก็ตาม ส่วนท้ายของไฟล์ PDF เป็นเช่นนั้น$x^{-(3+\epsilon)}$ และมีความแปรปรวนที่กำหนดไว้ในคำสั่งของ $1/\epsilon$.

หากคุณยินดีที่จะให้การกระจายนั้นอยู่ในส่วนใดส่วนหนึ่งของบรรทัดจริง แต่ยังคงต่อเนื่องให้กำหนด $pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$ สำหรับ $\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$ ใช้งานได้สำหรับ

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ และ $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ หรือการขยายเชิงเส้นใด ๆ - แต่นี่เป็นพื้น $0.887 < |x| < 1.39$ซึ่งไม่มากนัก และไม่แน่ใจว่าข้อ จำกัด นี้ยังคงเป็นไปตามแรงจูงใจดั้งเดิม