หมายความว่าโหมด = แปลว่าการกระจายแบบสมมาตรหรือไม่?

ฉันรู้ว่าคำถามนี้ถูกถามด้วย case Mean = มัธยฐาน แต่ฉันไม่พบสิ่งใดที่เกี่ยวข้องกับโหมด Mean =

หากโหมดเท่ากับค่าเฉลี่ยฉันสามารถสรุปได้ว่านี่คือการแจกแจงแบบสมมาตรหรือไม่? ฉันจะถูกบังคับให้รู้ค่ามัธยฐานด้วยวิธีนี้หรือไม่?

โหมด Mean = ไม่ได้หมายความถึงความสมมาตร

แม้ว่าโหมดเฉลี่ย = มัธยฐาน = คุณยังไม่จำเป็นต้องมีความสมมาตร

และในความคาดหมายของการติดตามที่เป็นไปได้ - แม้ว่าค่าเฉลี่ย = มัธยฐาน = โหมดและช่วงเวลากลางที่สามคือศูนย์ (ดังนั้นช่วงความเบ้เท่ากับ 0) คุณยังไม่จำเป็นต้องมีความสมมาตร

... แต่มีการติดตามผลของสิ่งนั้น NickT ถามในความคิดเห็นว่าการมีช่วงเวลาที่ผิดปกติทั้งหมดศูนย์นั้นเพียงพอที่จะต้องการความสมมาตรหรือไม่ คำตอบก็คือยังไม่มี [ดูการสนทนาในตอนท้าย ]$^\dagger$

สิ่งต่าง ๆ เหล่านั้นล้วน แต่เป็นนัยโดยสมมาตร (สมมติว่าช่วงเวลาที่เกี่ยวข้องนั้นมี จำกัด ) แต่ความหมายไม่ได้ไปในทางอื่น - แม้ว่าจะมีข้อความเบื้องต้นหลายข้อความที่พูดอย่างชัดเจนเกี่ยวกับเรื่องใดเรื่องหนึ่ง

ตัวอย่างที่ค่อนข้างซับซ้อนในการสร้าง

พิจารณาการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องดังนี้

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

มันมีค่าเฉลี่ยมัธยฐานโหมดและโมเมนต์กลางที่สาม (และโมเมนต์ความเบ้) ทั้งหมด 0 แต่มันไม่สมมาตร

ตัวอย่างประเภทนี้สามารถทำได้ด้วยการกระจายอย่างต่อเนื่องอย่างหมดจดเช่นกัน ตัวอย่างเช่นนี่คือความหนาแน่นพร้อมคุณสมบัติเดียวกัน:

นี่คือส่วนผสมของความหนาแน่นรูปสามเหลี่ยมสมมาตร (แต่ละช่วงที่มี 2) ด้วยวิธีการที่ -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 และน้ำหนักผสม 0.08, 0.08, 0.12, 0.08, 0.28, 0.08 , 0.08, 0.20 ตามลำดับ ความจริงที่ฉันเพิ่งทำตอนนี้ - ไม่เคยเห็นมาก่อน - แนะนำว่ากรณีเหล่านี้ง่ายต่อการสร้าง

[ฉันเลือกองค์ประกอบผสมรูปสามเหลี่ยมเพื่อให้โหมดนั้นไม่ชัดเจนในสายตา - สามารถใช้การกระจายที่ราบรื่นยิ่งขึ้น]

ต่อไปนี้เป็นอีกตัวอย่างที่ไม่ต่อเนื่องเพื่อตอบคำถามของ Hong Ooi เกี่ยวกับความสมมาตรของเงื่อนไขเหล่านี้ที่ทำให้คุณได้รับ นี่ไม่ใช่กรณี จำกัด มันแค่แสดงให้เห็นว่ามันง่ายที่จะทำให้ตัวอย่างดูสมมาตรน้อยลง:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

สไปค์ที่ 0 สามารถทำได้ค่อนข้างสูงหรือต่ำกว่าโดยไม่ต้องเปลี่ยนเงื่อนไข ในทำนองเดียวกันจุดที่อยู่ทางด้านขวาสามารถวางไกลออกไป (ด้วยการลดความน่าจะเป็น) โดยไม่ต้องเปลี่ยนความสูงสัมพัทธ์ที่ 1 และ -2 โดยมาก (เช่นความน่าจะเป็นสัมพัทธ์ของพวกมันจะอยู่ใกล้กับอัตราส่วน 2: 1 เมื่อคุณเลื่อนไปทางขวาสุด องค์ประกอบเกี่ยวกับ)

รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการตอบคำถามของ NickT

$\dagger$

ฉันจะไม่เรียกมันว่าการกระจายแบบสมมาตร

เลขที่

ให้เป็นตัวแปรสุ่มแบบแยกโดยมีp ( X = - 2 $X$ ,p(X=0$p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$และp(X=1$p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$ . เห็นได้ชัดว่า$p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$$X$

เพื่อทำซ้ำคำตอบที่ฉันให้ ที่อื่นแต่พอดีที่นี่ด้วย:

ซึ่งไม่เพียง แต่มีค่าเฉลี่ยค่ามัธยฐานและโหมดเท่ากันทั้งหมด แต่ยังมีค่าความเบ้เป็นศูนย์ รุ่นอื่น ๆ ที่เป็นไปได้