ค่าที่คาดหวังเกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยมัธยฐาน ฯลฯ อย่างไรในการแจกแจงแบบไม่ปกติ

9

ค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตค่ามัธยฐาน ฯลฯ อย่างไรในการแจกแจงแบบไม่ปกติ (เช่น. เอียงปกติ) ฉันสนใจในการแจกแจงทั่วไป / ที่น่าสนใจใด ๆ (เช่นบันทึกปกติ, การแจกแจงแบบทวิภาค / แบบง่าย, อะไรก็ได้ที่แปลกและมหัศจรรย์)

ฉันกำลังมองหาคำตอบเชิงคุณภาพเป็นส่วนใหญ่ แต่คำตอบเชิงปริมาณหรือเชิงสูตรก็ยินดีต้อนรับเช่นกัน ฉันต้องการเห็นภาพที่ทำให้ชัดเจนยิ่งขึ้น

mean expected-value median

— naught101
แหล่งที่มา

คุณชัดเจนขึ้นหน่อยได้ไหม? ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่ามัธยฐานเป็นฟังก์ชันที่เราใช้กับข้อมูลไม่ใช่สิ่งที่อยู่ภายในการแจกแจงแบบพิเศษ ... ตัวอย่างเช่นข้อมูลไม่จำเป็นต้องเป็นปกติเพื่อให้คุณสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

— แขกรับเชิญ

ตกลงดังนั้นคำถามทางเทคนิคควรเป็น "ค่าที่คาดหวังเกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยค่ามัธยฐาน ฯลฯของข้อมูลที่สุ่มมาจากการแจกแจงความน่าจะเป็นโดยเฉพาะอย่างไร" ฉันกำลังมองหาความเข้าใจที่เรียบง่ายและใช้งานง่ายคล้ายกับวิธีที่คุณสามารถบอกได้อย่างชัดเจนว่าเมื่อการแจกแจงเบ้มากขึ้นค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ยจะอยู่ห่างกันมากขึ้นและค่ามัธยฐานอาจบ่งชี้ได้ดีกว่า

— naught101

หึ ขอบคุณมาร์โก ฉันอ่านสิ่งผิดไปชัดเจน อาจเขียนว่าเป็นคำตอบฉันจะเลือกที่เขาตอบที่ดีที่สุด

— naught101

8

(แปลงบางส่วนจากความคิดเห็นที่ถูกลบตอนนี้ด้านบน)

ค่าที่คาดหวังและค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นสิ่งเดียวกัน ค่ามัธยฐานเกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยในทางที่ไม่สำคัญ แต่คุณสามารถพูดบางสิ่งเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของพวกเขา:

เมื่อการแจกแจงสมมาตรค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานจะเท่ากัน
เมื่อการแจกแจงเบ้เป็นลบค่ามัธยฐานมักจะมากกว่าค่าเฉลี่ย
เมื่อการแจกแจงเบ้บวกค่ามัธยฐานมักจะน้อยกว่าค่าเฉลี่ย

— มาโคร
แหล่งที่มา

น่าสนใจ มีตัวอย่างอะไรบ้างที่มีพฤติกรรมผิดปกติของการแจกแจงแบบเบ้เชิงลบที่ค่าเฉลี่ยมากกว่าค่ามัธยฐาน?

— naught101

@ naught101: นี่คือการพิมพ์ผิดหรือเปล่า? การแจกแจงแบบเบ้เชิงลบคือผลลัพธ์ที่เกิดจากด้านซ้ายของศูนย์เกิดขึ้นบ่อยกว่าผลลัพธ์ด้านขวาของศูนย์ดังนั้น "หาง" ของผลลัพธ์ความถี่ต่ำออกไปทางขวา ในสถานการณ์เช่นนี้โคกด้านซ้ายจะดึง (เลขคณิต) หมายถึงด้านซ้ายของศูนย์เสมอในขณะที่หางด้านขวาจะให้ค่ามัธยฐานมากกว่าค่าเฉลี่ย

— Assad Ebrahim

@ AssadEbrahim: ไม่มันเป็นการอ้างอิงถึงความคิดเห็นของมาโคร"ค่าเฉลี่ยมักจะสูงกว่าค่าเฉลี่ย" - ฉันกำลังขอตัวอย่างเคาน์เตอร์

— naught101

@ naught101: ตัวอย่างการนับในกรณีของการกระจาย unimodal เป็นบรรทัดถัดไปของเขา: เมื่อโคกอยู่ทางขวาแล้วหางไปทางซ้ายดึงค่ามัธยฐานต่ำกว่าค่าเฉลี่ย ยิ่งหางยาวยิ่งมีช่องว่างระหว่างมัธยฐานกับค่าเฉลี่ยมากขึ้น

— Assad Ebrahim

1

อะไรคือสถานการณ์จริงที่เราจะใช้ค่ามัธยฐานมากกว่าค่าเฉลี่ยหรือกลับกัน? ตัวอย่างเช่นในการวิเคราะห์การเอาชีวิตรอดที่อายุการใช้งานเป็นไปตามการแจกแจงแบบเลขชี้กำลังฉันควรใช้ค่ามัธยฐาน (ดังนั้นครึ่งหนึ่งของสิ่งที่อยู่อีกต่อไปนานกว่าครึ่งสุดท้ายน้อยกว่า) หรือค่าเฉลี่ย (อายุการใช้งาน ผล?

— drevicko

5

มีความสัมพันธ์ที่ดีระหว่างฮาร์มอนิกเรขาคณิตและค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรสุ่มที่กระจายแบบบันทึกโดยทั่วไป $X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$ . ปล่อย

$\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$ (ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก)
$\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$ (เฉลี่ยเรขาคณิต),
$\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$ (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต)

ไม่ยากที่จะเห็นว่าผลิตภัณฑ์ของฮาร์มอนิกและค่าเฉลี่ยเลขคณิตให้ค่ากำลังสองของค่าเฉลี่ยเรขาคณิตนั่นคือ

$H M (X) \cdot A M (X) = {G M}^{2} (X) .$ $\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$

เนื่องจากค่าทั้งหมดเป็นค่าบวกเราสามารถนำค่าสแควร์รูทและพบว่าค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของ $X$ เป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ $X$ และค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ $X$ เช่น

$G M (X) = \sqrt{H M (X) \cdot A M (X)} .$ $\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$

นอกจากนี้ความไม่เท่าเทียมกันที่รู้จักกันดีของ HM-GM-AM

$H M (X) \leq G M (X) \leq A M (X)$ $\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$

สามารถแสดงเป็น

$H M (X) \cdot \sqrt{G V a R (X)} = G M (X) = \frac{A M (X)}{\sqrt{G V a R (X)}},$ $\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$

ที่ไหน $\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$ คือความแปรปรวนทางเรขาคณิต

— Björnฟรีดริช
แหล่งที่มา

1

เพื่อความสมบูรณ์นอกจากนี้ยังมีการแจกแจงซึ่งค่าเฉลี่ยไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจน ตัวอย่างคลาสสิกคือการกระจาย Cauchy ( คำตอบนี้มีคำอธิบายที่ดีว่าทำไม) อีกตัวอย่างที่สำคัญคือการแจกแจงพาเรโตที่มีเลขชี้กำลังน้อยกว่า 2

— drevicko
แหล่งที่มา

1

หลาย iff's กฎหมายพลังงานไม่ใช่การกระจาย แต่การกระจาย Pareto เป็นกฎหมายพลังงาน สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความไม่เข้ากันของฟังก์ชั่นพาวเวอร์แบบ log-convex ที่

x = 0

$x=0$ . สำหรับกฎหมายพลังงานคุณหมายถึงน้อยกว่า 2 ไม่มากกว่า 2

— Carl

@ คะแนนคาร์ลดี - ฉันแก้ไขคำตอบตามนั้น ขอบคุณมาก (:

— drevicko

0

ในขณะที่มันถูกต้องว่าความหมายทางคณิตศาสตร์และค่าความคาดหวังมีการกำหนดเหมือนกันสำหรับการกระจายเบ้แบบแผนการตั้งชื่อนี้จะทำให้เข้าใจผิด

ลองนึกภาพคุณกำลังถามเพื่อนเกี่ยวกับราคาที่อยู่อาศัยในเมืองของเธอเพราะคุณชอบที่นั่นและคิดที่จะย้ายไปที่เมืองนั้น

หากการกระจายของรางวัลที่อยู่อาศัยนั้นไม่เหมือนกันและสมมาตรเพื่อนของคุณสามารถบอกคุณได้ว่าราคาบ้านเฉลี่ยและแน่นอนคุณสามารถคาดหวังที่จะหาบ้านส่วนใหญ่ในตลาดโดยรอบค่าเฉลี่ยนั้น

อย่างไรก็ตามหากการกระจายของราคาที่อยู่อาศัยเป็นแบบ unimodal และเบ้เช่นขวาเอียงกับบ้านส่วนใหญ่ในช่วงราคาที่ต่ำกว่าไปทางซ้ายและมีเพียงบ้านที่สูงเกินไปทางขวาค่าเฉลี่ยจะ "เบ้" ในราคาสูง ทางขวา.

สำหรับรูปแบบเดียวกระจายราคาบ้านหลังนี้เบ้คุณสามารถคาดหวังที่จะหาบ้านมากที่สุดในตลาดรอบแบ่ง

— โซลเฮเตอร์
แหล่งที่มา

1

ยังไม่ชัดเจนว่าคุณหมายถึงอะไรเมื่อคุณพูดถึงการแจกแจงแบบ unimodal ที่บิดเบือนการกระจายของราคาบ้านมีราคาอยู่ที่ค่ามัธยฐาน สิ่งที่สามารถกล่าวได้ก็คือครึ่งหนึ่งของค่าจะอยู่ที่หรือต่ำกว่าค่ามัธยฐานและครึ่งหนึ่งจะอยู่ที่หรือสูงกว่าค่ามัธยฐาน ไม่ได้ระบุว่าค่าเหล่านี้ใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยมากแค่ไหน

— Michael R. Chernick

ฉันคิดว่าประโยคสุดท้ายของคุณควรจะจบด้วย "ค่ามัธยฐาน" หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันคิดว่ามันชัดเจนว่าค่ามัธยฐานจะต้องมีค่า (เข้าถึงได้) ใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ย (ซึ่งอาจไม่สามารถเข้าถึงได้เช่นไม่ใช่ราคาที่อยู่อาศัย) ของตัวอย่างที่สุ่มมาจากประชากรที่อธิบายไว้ข้างต้น นั่นคือค่ามัธยฐานใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยตัวอย่างนั้นโดยเฉลี่ย หากไม่เป็นเช่นนั้นฉันไม่ได้อ้างสิทธิ์ว่าค่าเหล่านี้ใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยเท่าใด ฉันเรียกร้องเกี่ยวกับระยะทางของพวกเขาไปยังค่ามัธยฐาน

— Sol Hator