คุณสมบัติของการกระจายครึ่ง Cauchy คืออะไร?

ขณะนี้ฉันกำลังทำงานกับปัญหาซึ่งฉันจำเป็นต้องพัฒนาอัลกอริทึมMarkov chain Monte Carlo (MCMC) สำหรับแบบจำลองพื้นที่ของรัฐ

เพื่อให้สามารถแก้ปัญหาได้ฉันได้รับความน่าจะเป็น : p ( ) = 2I ( > 0) / (1+ ) เป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของx $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau^2$ $\tau$ $x$

ตอนนี้ฉันรู้แล้วว่ามันคือการแจกแจงครึ่งโคชีเพราะฉันจำได้จากการดูตัวอย่างและเพราะฉันถูกบอกอย่างนั้น แต่ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมมันถึงเป็นการกระจาย "Half-Cauchy" และคุณสมบัติที่มาพร้อมกับมัน

ในแง่ของคุณสมบัติฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่ฉันต้องการ ฉันค่อนข้างใหม่สำหรับทฤษฎีเศรษฐมิติประเภทนี้ ดังนั้นฉันจึงเข้าใจการกระจายตัวและวิธีที่เราใช้ในบริบทของแบบจำลองพื้นที่ของรัฐ ตัวแบบมีลักษณะดังนี้:

\begin{aligned} Y_{เสื้อ} & = x_{เสื้อ} + {อี}_{เสื้อ} \\ x_{เสื้อ + 1} & = x_{เสื้อ} + a_{เสื้อ + 1} \\ a_{เสื้อ + 1} & ~ ยังไม่มีข้อความ (0, τ^{2}) \\ พี (σ^{2}) & α 1 / σ^{2} \\ พี (τ) & = \frac{2 ผม (τ > 0)}{π (1 + τ^{2})} \end{aligned}

$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$

แก้ไข: ฉันรวมใน p ( ) ขอบคุณที่ชี้นำสิ่งนี้ $\pi$ $\tau$

— คริสโต
แหล่งที่มา

โปรดระบุคุณสมบัติที่คุณสนใจ: หลังจากนั้นมีหลายสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้

— whuber

Half-การกระจายของการกระจายสมมาตรมีสองเท่าของความสูงของพื้นที่ทำงานสำหรับช่วงของพวกเขาซึ่งเป็นช่วงครึ่งช่วงมักจะ แต่ไม่จำเป็นต้องเริ่มต้นที่ศูนย์0

x \geq 0

$x\geq 0$

— คาร์ล

ครึ่ง Cauchy เป็นครึ่งหนึ่งของสมมาตรของการแจกแจง Cauchy (หากไม่ได้ระบุไว้จะเป็นครึ่งขวาที่ตั้งใจ):

เนื่องจากพื้นที่ด้านขวาของ Cauchy คือความหนาแน่นจึงต้องเพิ่มเป็นสองเท่า ดังนั้น 2 ในไฟล์ PDF ของคุณ (แม้ว่าจะไม่มีตามที่บันทึกไว้ในความคิดเห็น) $\frac12$ $\frac{1}{\pi}$

ครึ่ง Cauchy มีคุณสมบัติมากมาย; บางคุณสมบัติเป็นประโยชน์ที่เราอาจต้องการในก่อน

ตัวเลือกทั่วไปสำหรับพารามิเตอร์พารามิเตอร์ก่อนหน้าคือแกมมาผกผัน (ไม่น้อยกว่าเพราะมันจะเชื่อมต่อกันในบางกรณีที่คุ้นเคย) เมื่อต้องการข้อมูลที่อ่อนแอก่อนหน้านี้จะใช้ค่าพารามิเตอร์ที่น้อยมาก

ครึ่ง Cauchy นั้นค่อนข้างหนักและมันก็อาจถูกมองว่าเป็นข้อมูลที่ค่อนข้างอ่อนแอในบางสถานการณ์ Gelman ([1] ตัวอย่าง) สนับสนุนสำหรับนักบวชครึ่งตัว (รวมถึง half-Cauchy) เหนือแกมมาผกผันเนื่องจากพวกมันมีพฤติกรรมที่ดีกว่าสำหรับค่าพารามิเตอร์ขนาดเล็ก แต่ถือว่าเป็นข้อมูลที่ดี เมื่อใช้พารามิเตอร์ขนาดใหญ่ * Gelman ให้ความสำคัญกับครึ่ง Cauchy ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา กระดาษโดย Polson และ Scott [2] ให้เหตุผลเพิ่มเติมสำหรับการเลือกครึ่ง Cauchy โดยเฉพาะ

* โพสต์ของคุณแสดงครึ่งมาตรฐาน Cauchy Gelman อาจจะไม่เลือกก่อนหน้านี้ หากคุณไม่มีความรู้สึกในทุกระดับมันสอดคล้องกับการบอกว่าสเกลนั้นมีแนวโน้มที่จะสูงกว่า 1 เป็นต่ำกว่า 1 (ซึ่งอาจเป็นสิ่งที่คุณต้องการ) แต่ก็ไม่เหมาะกับบางสิ่งที่เจลแมนโต้เถียง สำหรับ.

[1] A. Gelman (2006),
"การแจกแจงก่อนหน้าสำหรับพารามิเตอร์ความแปรปรวนในตัวแบบลำดับชั้น"
การวิเคราะห์แบบเบส์ , ฉบับที่ 1, N. 3, pp. 515–533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NG Polson และ JG Scott (2012),
"ในเรื่อง Half-Cauchy ก่อนหน้านี้สำหรับพารามิเตอร์ระดับโลก"
การวิเคราะห์แบบเบส์ , เล่มที่ 7, หมายเลข 4, pp. 887-902
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

1 / π

$1/\pi$

@Glen_b ตำแหน่งครึ่งตัวในคำตอบของคุณคืออะไร

— rnorouzian

@morouzian คุณสนใจสถานที่วัดใด ถือว่าเป็นสมาชิกของครอบครัวระดับตำแหน่งแบบฟอร์มมาตรฐานที่กล่าวถึงมีตำแหน่ง 0 และมาตราส่วน 1 แต่ฉันไม่แน่ใจว่าเป็นสิ่งที่คุณถามหรือไม่ (ค่ามัธยฐานของมันคือ 1 ตามคำแนะนำที่ใกล้ถึงจุดสิ้นสุดของคำตอบของฉันถ้ามันช่วยได้)

— Glen_b