ผลรวมของตัวแปรสุ่ม lognormal อิสระปรากฏขึ้น lognormal?

ฉันพยายามที่จะเข้าใจว่าทำไมผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว (หรือมากกว่า) เข้าสู่การแจกแจงแบบปกติขณะที่คุณเพิ่มจำนวนการสังเกต ฉันดูออนไลน์และไม่พบผลลัพธ์ใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับสิ่งนี้

เห็นได้ชัดว่าถ้าและเป็นตัวแปร lognormal ที่เป็นอิสระจากนั้นด้วยคุณสมบัติของ exponents และตัวแปรสุ่ม gaussianก็เป็น lognormal เช่นกัน อย่างไรก็ตามไม่มีเหตุผลที่จะแนะนำว่าเป็น lognormal เช่นกันY X × Y X + $X$$Y$$X \times Y$$X+Y$

อย่างไรก็ตาม

หากคุณสร้างตัวแปรสุ่มสุ่มอิสระ lognormalและและปล่อยให้และทำซ้ำขั้นตอนนี้หลายครั้งการกระจายของจะปรากฏขึ้น lognormal ดูเหมือนว่ามันจะเข้าใกล้การแจกแจงแบบปกติมากขึ้นเมื่อคุณเพิ่มจำนวนการสังเกตY Z = X + Y $X$$Y$$Z=X+Y$$Z$

ตัวอย่างเช่น: หลังจากสร้าง 1 ล้านคู่การแจกแจงบันทึกธรรมชาติของ Zจะได้รับในฮิสโตแกรมด้านล่าง สิ่งนี้มีความคล้ายคลึงกับการแจกแจงแบบปกติมากโดยชัดแจ้งว่าเป็น lognormal แน่นอน$Z$

ใครบ้างมีความเข้าใจหรือการอ้างอิงถึงข้อความที่อาจใช้ในการทำความเข้าใจนี้

lognormality โดยประมาณนี้ของผลรวมของ lognormals เป็นกฎของหัวแม่มือที่รู้จักกันดี มันถูกกล่าวถึงในเอกสารจำนวนมาก - และในโพสต์บนเว็บไซต์จำนวนมาก

การประมาณ lognormal สำหรับผลรวมของ lognormals โดยการจับคู่สองช่วงเวลาแรกบางครั้งเรียกว่าการประมาณ Fenton-Wilkinson

คุณอาจพบว่าเอกสารนี้โดย Dufresne มีประโยชน์ (มีให้ที่นี่หรือที่นี่ )

บางครั้งฉันก็เคยชี้นำคนไปที่กระดาษของมิตเชลล์

Mitchell, RL (1968),
"ความคงทนของการแจกแจงแบบบันทึกปกติ" สังคมออปติคอลเจของอเมริกา
58: 1267-1272

แต่ตอนนี้ครอบคลุมการอ้างอิงของ Dufresne แล้ว

แต่ในขณะที่มันบรรจุอยู่ในชุดที่ค่อนข้างกว้างของกรณีที่ไม่เอียงเกินไปก็ไม่ได้ถือโดยทั่วไปแม้กระทั่งสำหรับ iid lognormals ไม่ได้เป็นก็ค่อนข้างใหญ่$n$

นี่คือฮิสโตแกรมของค่า 1,000 จำลองแต่ละล็อกของผลรวมของlognormals ห้าหมื่นไอดี :

ตามที่คุณเห็น ... บันทึกค่อนข้างเบาบางดังนั้นผลรวมจึงไม่ใกล้เคียงกับบันทึกปกติ

อันที่จริงตัวอย่างนี้จะนับเป็นตัวอย่างที่มีประโยชน์สำหรับคนที่คิด (เพราะทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง) ที่ในจำนวนหลายร้อยหรือหลายพันจะให้ค่าเฉลี่ยใกล้เคียงปกติมาก อันนี้เอียงมากจนท่อนซุงนั้นเอียงไปทางขวา แต่ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางยังคงใช้ที่นี่ จะต้องมีจำนวนล้านเป็นล้าน * ก่อนที่มันจะเริ่มมองไปที่ใดก็ได้ที่อยู่ใกล้กับสมมาตร$n$n$n$

* ฉันไม่ได้พยายามคิดออกว่ามีกี่คน แต่เนื่องจากวิธีการที่ความเบ้ของจำนวนเงิน (เท่ากันโดยเฉลี่ย) มีพฤติกรรมบางล้านคนจะไม่เพียงพออย่างชัดเจน

เนื่องจากมีการร้องขอรายละเอียดเพิ่มเติมในความคิดเห็นคุณสามารถรับผลลัพธ์ที่คล้ายกันกับตัวอย่างด้วยรหัสต่อไปนี้ซึ่งสร้าง 1,000 ซ้ำของผลรวมของ 50,000 ตัวแปรสุ่ม lognormal ด้วยพารามิเตอร์ scaleและพารามิเตอร์รูปร่าง :$\mu=0$$\sigma=4$

res <- replicate(1000,sum(rlnorm(50000,0,4)))
hist(log(res),n=100)

(ตั้งแต่ฉันได้ลองไฟล์บันทึกของมันยังเอียงไม่ถูก)$n=10^6$

มันอาจจะสายเกินไป แต่ฉันได้พบบทความต่อไปนี้เกี่ยวกับผลรวมของการแจกแจงแบบปกติซึ่งครอบคลุมหัวข้อ มันไม่ใช่ lognormal แต่มีบางอย่างที่แตกต่างและทำงานได้ยาก

กระดาษแนะนำจาก Dufresne ของ 2009 และหนึ่งนี้จาก 2004 พร้อมกับกระดาษที่มีประโยชน์นี้ ครอบคลุมประวัติในการประมาณผลรวมของการแจกแจงล็อกปกติและให้ผลทางคณิตศาสตร์ผลรวม.

$\mu$$\sigma$

บางที [กระดาษนี้] ( http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=6029348 ) ให้คุณในบางกรณีทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางสำหรับผลรวมของ log-normals แต่ยังมี ขาดทั่วไป อย่างไรก็ตามตัวอย่างที่ได้รับจาก Glen_b นั้นไม่เหมาะสมจริง ๆ เพราะเป็นกรณีที่คุณสามารถใช้ทฤษฎีขีด จำกัด กลางแบบคลาสสิกได้อย่างง่ายดายและแน่นอนในกรณีนั้นผลรวมของบันทึกปกติคือเกาส์เซียน

$n\to \infty$

กฎหมาย Lognormal มีอยู่อย่างกว้างขวางในปรากฏการณ์ทางกายภาพผลรวมของการแจกแจงตัวแปรชนิดนี้มีความจำเป็นเช่นเพื่อศึกษาพฤติกรรมการปรับขนาดของระบบ ฉันรู้ว่าบทความนี้ (ยาวมากและแข็งแกร่งมากจุดเริ่มต้นสามารถทำได้ถ้าคุณไม่ได้ specilist!), "ผลการกระจายทั่วไปในผลรวมของตัวแปรสุ่ม lognormal" ตีพิมพ์ในปี 2003 (วารสารกายภาพยุโรป B-Condensed Matter และ Complex ระบบ 32, 513) และสามารถใช้ได้https://arxiv.org/pdf/physics/0211065.pdf