ฟังก์ชั่นการสร้างช่วงเวลา (MGF) คืออะไร?

คุณช่วยอธิบายมันด้วยคำพูดของคนธรรมดาและเป็นตัวอย่างง่าย ๆ ได้ไหม?

กรุณา จำกัด การใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เท่าที่จะทำได้

สมมติว่าสัญชาตญาณสมฟรีเป็นไปไม่ได้และยังคงยืนยันในการต้มลงคณิตศาสตร์ที่จะจำเป็นมากที่จะได้รับความคิดของสิ่งที่เกิดบน: เรากำลังพยายามที่จะได้รับช่วงเวลาสถิติซึ่งหลังจากการอ้างอิงหน้าที่ที่จะฟิสิกส์เรากำหนดเป็นค่าที่คาดหวังของพลังของตัวแปรสุ่ม สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องช่วงเวลาraw $k$ -th นั้นคือLOTUS :

$$\begin{align}\large \color{red}{\mathbb{E}\left[{X^k}\right]} &= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{X^k}\,\,\color{green}{\text{pdf}}\,\,\,dx\tag{1}\end{align}$$

ฟังก์ชั่นช่วงเวลาที่ก่อให้เกิด ,

$$M_X(t):=\mathbb E\big[e^{tX}\big],$$ เป็นวิธีการที่จะเดินไปรอบ ๆ หนึ่งนี้ (Eq.1)โดยแทนการดำเนินการ:

$$\begin{align} \large \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]}&=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{e^{tX}}\,\color{green}{\text{pdf}}\, dx\tag{2}\end{align}$$

ทำไม? เพราะมันง่ายกว่าและมีคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมของ MGF ที่สามารถมองเห็นได้ด้วยการขยายซีรี่ส์eของMaclaurin$\color{blue}{e^{\,tX}}$

$$e^{tX}=1+\frac{ X }{1!}\, t +\frac{ X^{2} }{2!}t^{2} +\frac{ X^{3} }{3!} t^{3} +\cdots$$

การคาดหวังทั้งสองด้านของซีรีย์พาวเวอร์:

$$\begin{align} M_X(t) &= \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]} \\[1.5ex] &=1 + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X\right]}}{1!} \, t \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^2\right]}}{2!} \, t^2 \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^3\right]}}{3!} \, t^3 \, + \cdots\tag{3} \end{align}$$

$k$

$k$

$$M_X^{(k)}(0)=\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\Bigr|_{t=0}$$

ความจริงที่ว่าในที่สุดก็มีความจำเป็นที่จะต้องแยกความแตกต่างทำให้มันไม่ใช่อาหารกลางวันฟรี - ในที่สุดมันเป็นการแปลง Laplace สองด้านของ pdf ด้วยเครื่องหมายที่เปลี่ยนไปในเลขชี้กำลัง:

$$\mathcal L \{\text{pdf}(x)\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-sx}\text{pdf}(x) dx$$

$$M_X(t)=\mathcal L\{\text{pdf}(x)\}(-s)\tag 4.$$

$\color{green}{\text{pdf}}$$e^{-st}$$s=\sigma + i\,\omega$

---

[ จากนักวิทยาศาสตร์และวิศวกรของคู่มือสู่การประมวลผลสัญญาณโดย Steven W. Smith ]

---

$M_X(t)$$\text{pdf}$$\sigma=0.$

$$\begin{align}\require{cancel} M_X(t)&=\mathbb E\big[e^{-sX}\big]\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-sx}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-(\sigma+i\omega)x}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cancel{e^{-\sigma x}}\,\color{red}{e^{-i\omega x}\,\text{pdf}(x)\, dx} \end{align}$$

ซึ่งทำให้เรามีส่วนที่ไม่เหมาะสมของการแสดงออกเป็นสีแดงซึ่งสอดคล้องกับการแปลงฟูริเยร์ของ pdf

โดยทั่วไปแล้วสัญชาตญาณของ Laplace transform polesของฟังก์ชั่นจะให้ข้อมูลของ exponential (decay) และส่วนประกอบความถี่ของฟังก์ชัน (ในกรณีนี้คือ pdf)

---

ในการตอบคำถามภายใต้ความคิดเห็นเกี่ยวกับการเปลี่ยนจากเป็นนี่เป็นการเคลื่อนไหวเชิงกลยุทธ์อย่างสมบูรณ์: นิพจน์หนึ่งไม่ได้ติดตามมาจากที่อื่น นี่คือการเปรียบเทียบ: เรามีรถของเราเองและเรามีอิสระที่จะขับรถเข้าเมืองทุกครั้งที่เราต้องดูแลธุรกิจบางอย่าง (อ่านการบูรณาการ Eqไม่ว่าจะยากลำบากเพียงใดในแต่ละช่วงเวลาที่แยกจากกัน . แต่เราสามารถทำสิ่งที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง: เราสามารถขับรถไปยังสถานีรถไฟใต้ดินที่ใกล้ที่สุด (อ่านแก้ Eqเพียงครั้งเดียว) และจากที่นั่นใช้ระบบขนส่งสาธารณะเพื่อไปถึงทุก ๆ ที่ที่เราต้องไป (อ่านรับใด ๆอนุพันธ์ของอินทิกรัลใน Eqเพื่อแยกว่าใด$X^k$$e^{tx}$$(1)$$(2)$$k$$(2)$$k$ช่วงเวลาที่เราต้องการรู้ (ขอบคุณ Eq ) ว่าทุกช่วงเวลานั้น "ซ่อนตัว" ในนั้นและถูกโดดเดี่ยวโดยประเมินที่ )$(3)$$0$

ในแง่คนธรรมดาที่สุดมันเป็นวิธีการเข้ารหัสลักษณะทั้งหมดของการกระจายความน่าจะเป็นวลีสั้น ๆ ตัวอย่างเช่นถ้าฉันรู้ว่า MGF ของการกระจายคือ ฉันสามารถหาค่าเฉลี่ยของการแจกแจงนี้ได้โดยใช้เทอมแรกของการขยายตัวเทย์เลอร์ : ถ้าคุณรู้ว่าสิ่งที่คุณทำมันเร็วกว่าที่คาด ของฟังก์ชันความน่าจะเป็น

$$M(t)=e^{t\mu+1/2\sigma^2t^2}$$ $$\frac d {dt}M(t)|_{t=0}=\mu+\sigma^2t|_{t=0}=\mu$$

ยิ่งกว่านั้นเนื่องจาก MGF นี้เข้ารหัสทุกอย่างเกี่ยวกับการกระจายหากคุณรู้วิธีจัดการฟังก์ชันคุณสามารถใช้การดำเนินการกับคุณลักษณะทั้งหมดของการกระจายพร้อมกัน! ทำไมเราไม่ใช้ MGF อยู่เสมอ? อย่างแรกมันไม่ได้อยู่ในทุกสถานการณ์ที่ MGF เป็นเครื่องมือที่ง่ายที่สุด ประการที่สอง MGF ไม่ได้มีอยู่เสมอ

เหนือคนธรรมดา

สมมติว่าคุณมีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน คุณสามารถแสดงทุกสิ่งที่คุณรู้เกี่ยวกับมันโดยระบุ PDF:

$$f(x)=\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$

คุณสามารถคำนวณช่วงเวลาของมันเช่นค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและใช้กับตัวแปรและฟังก์ชั่นที่ได้รับการแปลงในการสุ่มแบบปรกติเป็นต้น

คุณสามารถนึกถึง MGF ของการแจกแจงแบบปกติเป็นทางเลือกแทน PDF มันมีข้อมูลจำนวนเท่ากัน ฉันแสดงวิธีรับค่าเฉลี่ยแล้ว

ทำไมเราต้องมีทางเลือกอื่น? อย่างที่ฉันเขียนบางครั้งมันก็สะดวกกว่า ตัวอย่างเช่นลองคำนวณความแปรปรวนของมาตรฐานปกติจาก PDF: มันไม่ใช่เรื่องยาก แต่มันง่ายกว่ามากที่จะทำกับ MGF :

$$\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty x^2\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} dx=?$$ $M(t)=e^{t^2/2}$ $$\sigma^2=\frac {d^2} {dt^2}M(t)|_{t=0}=\frac d {dt} t |_{t=0}=1$$