การได้มาของการเปลี่ยนแปลงตัวแปรของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

ในการจดจำรูปแบบหนังสือและการเรียนรู้ของเครื่อง (สูตร 1.27) มันให้

{พี}_{Y} (Y) = {พี}_{x} (x) | \frac{d x}{d Y} | = {พี}_{x} (ก. (Y)) | {ก.}^{'} (Y) |

$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$ โดยที่ ,เป็น PDF ที่สอดคล้องกับตามการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

x = g (y)

$x=g(y)$

p_{x} (x)

$p_x(x)$

p_{y} (y)

$p_y(y)$

หนังสือบอกว่ามันเป็นเพราะสังเกตว่าตกอยู่ในช่วงจะค่าเล็ก ๆ ของ , จะกลายเป็นช่วงy) $(x, x + \delta x)$ $\delta x$ $(y, y + \delta y)$

นี่เป็นวิธีที่ได้มาอย่างเป็นทางการ?

อัปเดตจาก Dilip Sarwate

ผลที่ได้ก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันเพิ่มและลดเสียงเดียวอย่างเคร่งครัด $g$

การแก้ไขเล็กน้อยสำหรับคำตอบของ LV Rao ดังนั้นหากเพิ่มขึ้นแบบ monotonically ถ้า monotonically ลดลง

P (Y \leq Y) = P (ก. (X) \leq Y) = {\begin{cases} P (X \leq {ก.}^{- 1} (Y)), & ถ้า ก. เพิ่มขึ้น monotonically \\ P (X \geq {ก.}^{- 1} (Y)), & ถ้า ก. ลดลง monotonically \end{cases}

$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$

g

$g$

F_{Y} (Y) = F_{X} ({ก.}^{- 1} (Y))

$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$

ฉ_{Y} (Y) = ฉ_{X} ({ก.}^{- 1} (Y)) \cdot \frac{d}{d Y} {ก.}^{- 1} (Y)

$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$

F_{Y} (Y) = 1 - F_{X} ({ก.}^{- 1} (Y))

$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$

f_{Y} (y) = - f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$

∴ f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) |

$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$

— dontloo
แหล่งที่มา

ผลที่ได้ก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันเพิ่มและลดเสียงเดียวอย่างเคร่งครัด วาดกราฟของและไขปริศนาโดยใช้แนวคิดพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังคำจำกัดความของอนุพันธ์ (ไม่ใช่คำจำกัดความอย่างเป็นทางการกับ epsilon และ delta) นอกจากนี้ยังมีคำตอบโดย @whuber บนเว็บไซต์นี้ซึ่งจะอธิบายรายละเอียด นั่นคือสิ่งนี้ควรถูกปิดเหมือนซ้ำ

g

$g$

g

$g$

— Dilip Sarwate

คำอธิบายของหนังสือของคุณเป็นที่ระลึกหนึ่งที่ผมนำเสนอในstats.stackexchange.com/a/14490/919 ฉันยังโพสต์วิธีพีชคณิตทั่วไปในstats.stackexchange.com/a/101298/919และคำอธิบายรูปทรงเรขาคณิตที่stats.stackexchange.com/a/4223/919

— whuber

ขอบคุณ @DilipSarwate สำหรับคำอธิบายของคุณผมคิดว่าผมเข้าใจสัญชาตญาณ แต่ฉันสนใจมากขึ้นในวิธีที่จะสามารถมาใช้กฎที่มีอยู่และทฤษฎีบท :)

— dontloo

สมมติว่าเป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องที่มีf (x) หากเรากำหนดโดยที่ g () เป็นฟังก์ชั่นเสียงเดียวดังนั้นของ จะได้รับดังต่อไปนี้: โดยความแตกต่าง CDFS ทั้งสองด้าน WRTที่เราได้รับไฟล์ PDF ของYฟังก์ชั่น g () สามารถเพิ่มได้ทั้งแบบจำเจและซ้ำซาก หากฟังก์ชัน g () เพิ่มขึ้นแบบ monotonically ดังนั้นไฟล์ PDF ของจะถูกกำหนดโดย $X$ pdf $Y=g(X)$ pdf $Y$

\begin{array}{rcl} P (Y \leq Y) & = & P (ก. (X) \leq Y) \\ = & P (X \leq {ก.}^{- 1} (Y)) \\ โอ R F_{Y} (Y) & = & F_{X} ({ก.}^{- 1} (Y)), โดยคำจำกัดความของ CDF \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$

y

$y$

Y

$Y$

Y

$Y$

ฉ_{Y} (Y) = ฉ_{X} ({ก.}^{- 1} (Y)) \cdot \frac{d}{d Y} {ก.}^{- 1} (Y)

$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$ และอีกด้านหนึ่งหากลดความซ้ำซากจำเจรูปแบบไฟล์ PDF ของถูกกำหนดโดย สมการสองสมการข้างบนสามารถรวมกันเป็นสมการเดียว:

Y

$Y$

ฉ_{Y} (Y) = - ฉ_{X} ({ก.}^{- 1} (Y)) \cdot \frac{d}{d Y} {ก.}^{- 1} (Y)

$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$

∴ ฉ_{Y} (Y) = ฉ_{X} ({ก.}^{- 1} (Y)) \cdot | \frac{d}{d Y} {ก.}^{- 1} (Y) |

$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$

— LVRao
แหล่งที่มา

แต่เนื่องจากอินทิกรัลสำหรับ fx ต้องรวมเป็น 1 และ fy เป็นรุ่นที่ปรับขนาดของ fx นั่นไม่ได้หมายความว่า fy ไม่ใช่ไฟล์ PDF ที่เหมาะสมเว้นแต่ว่าจาโคเบียนใน abs () คือ 1 หรือ -1?

— Chris

@Chris Jacobian แห่งไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันที่คงที่ดังนั้นจึงสามารถเป็น 1 ในบางแห่งและ <1 ในที่อื่น ๆ

g^{- 1}

$g^{-1}$

— Yatharth Agarwal