เอกลักษณ์ของฟังก์ชันสร้างโมเมนต์

มีการแจกแจงที่ไม่เหมือนกันหรือไม่ซึ่งมีฟังก์ชันสร้างช่วงเวลาเหมือนกันหรือไม่?

ใช่.

ในการออกกำลังกายจวร์ตและ Ord ( เคนดอลทฤษฎีขั้นสูงสถิติ .. 5 เอ็ด Ex 3.12) พูด 1918 ผลจากการ TJ Stieltjes (ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเขาปรากฏในOeuvres เสร็จสิ้น , ):

หากเป็นฟังก์ชันแปลกของคาบเวลาแสดงว่า$f$$\frac{1}{2}$

$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$

สำหรับค่าที่สำคัญทั้งหมดของRดังนั้นแสดงว่าการแจกแจง$r$

$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$

มีช่วงเวลาเดียวกันสิ่งที่คุ้มค่าของ\$\lambda$

(ในต้นฉบับปรากฏเป็นเท่านั้นการ จำกัด ขนาดของเกิดขึ้นจากข้อกำหนดเพื่อให้ค่าทั้งหมดของฟังก์ชันความหนาแน่นไม่เป็นลบ) การออกกำลังกายนั้นง่ายต่อการแก้ไขผ่านการเปลี่ยนตัวและเติมสี่เหลี่ยม กรณีเป็นที่รู้จักกันดีกระจาย lognormalλ λ d F x = ประสบการณ์( Y ) λ = $|\lambda|$$\lambda$$\lambda$$dF$$x = \exp(y)$$\lambda=0$

เส้นโค้งสีน้ำเงินสอดคล้องกับซึ่งเป็นการกระจายแบบปกติ สำหรับเส้นโค้งสีแดง,และโค้งทอง1/2λ = - 1 / 4 λ = 1 /$\lambda=0$$\lambda = -1/4$$\lambda = 1/2$