ค่าเฉลี่ยความหมายแบบมีเงื่อนไขหมายถึงความเป็นกลางและความสอดคล้องของตัวประมาณค่า OLS

พิจารณาโมเดลการถดถอยหลายแบบต่อไปนี้:

\begin{matrix} (1) & Y = X β + Z δ + U . \end{matrix}

$Y=X\beta+Z\delta+U.\tag{1}$

นี่คือคือคอลัมน์เวกเตอร์ aเมทริกซ์ ; aคอลัมน์เวกเตอร์ aเมทริกซ์; aเวกเตอร์คอลัมน์; และ , ข้อผิดพลาด, เวกเตอร์คอลัมน์ $Y$ $n\times 1$ $X$ $n\times (k+1)$ $\beta$ $(k+1)\times 1$ $Z$ $n\times l$ $\delta$ $l\times 1$ $U$ $n\times1$

คำถาม

อาจารย์ของฉันหนังสือแนะนำเศรษฐมิติฉบับที่ 3 โดย James H. Stock and Mark W. Watson, p. 281 และเศรษฐมิติ: Honor's Exam Review Session (PDF) , p. 7 ได้แสดงต่อไปนี้กับฉัน

หากเราถือว่าสิ่งที่เรียกว่าความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขซึ่งตามคำจำกัดความหมายความว่า $\begin{matrix} (2) & E (U | X, Z) = E (U | Z), \end{matrix}$ $E(U|X,Z)=E(U|Z),\tag{2}$
และถ้าการสันนิษฐานของสี่เหลี่ยมจัตุรัสน้อยที่สุดเป็นไปตามเงื่อนไขยกเว้นค่าศูนย์ที่เป็นเงื่อนไข (ดังนั้นเราจึงถือว่า ) (ดู 1 -3 ด้านล่าง), $E(U|X,Z)=0$ $E(U|X,Z)=E(U|Z) \neq 0$
จากนั้นตัวประมาณ OLSของในจะยังคงความเป็นกลางและสอดคล้องกันภายใต้สมมติฐานที่อ่อนแอกว่านี้ $\hat{\beta}$ $\beta$ $(1)$

ฉันจะพิสูจน์ข้อเสนอนี้ได้อย่างไร นั่นคือที่ 1 และ 2 ข้างต้นบอกเป็นนัยว่าการประมาณ OLS ของทำให้เรามีตัวประมาณค่าที่เป็นกลางและสม่ำเสมอสำหรับ ? มีบทความวิจัยใดที่พิสูจน์ข้อเสนอนี้ได้หรือไม่? $\beta$ $\beta$

แสดงความคิดเห็น

กรณีที่ง่ายที่สุดคือการพิจารณาจากรูปแบบการถดถอยเชิงเส้นและพิสูจน์ว่า OLS ประมาณของเป็นกลางถ้าสำหรับแต่ละฉัน

Y_{i} = β_{0} + β_{1} X_{i} + β_{2} Z_{i} + u_{i}, i = 1, 2, \dots, n,

$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\beta_2Z_i+u_i,\quad i=1,2,\ldots,n,$

{\hat{β}}_{1}

$\hat{\beta}_1$

β_{1}

$\beta_1$

E (u_{i} | X_{i}, Z_{i}) = E (u_{i} | Z_{i})

$E(u_i|X_i,Z_i)=E(u_i|Z_i)$

i

$i$

หลักฐานของความไม่แน่นอนที่สันนิษฐานว่าและกระจายโดยไม่ได้ตั้งใจเป็นปกติ $U_i$ $Z_i$

กำหนดจากนั้นและดังนั้นอาจถูกเขียนใหม่เป็นโดยจากนั้นตามด้วยทีนี้เนื่องจากและมีการกระจายกันตามปกติทฤษฏีการแจกแจงปกติ cf อันเกิดการกระจายตามเงื่อนไขของการกระจายปกติหลายตัวแปรกล่าวว่า (ที่จริงเราไม่จำเป็นที่จะถือว่าปกติร่วมกัน แต่ตัวตนนี้)สำหรับบางโดยเวกเตอร์ $V=U-E(U|X,Z)$ $U=V+E(U|X,Z)$

\begin{matrix} (*) & E (V | X, Z) = 0 . \end{matrix}

$E(V|X,Z)=0\tag{*}.$

(1)

$(1)$

\begin{matrix} (3) & Y = X β + Z δ + E (U | X, Z) + V . \end{matrix}

$Y=X\beta+Z\delta+E(U|X,Z)+V.\tag{3}$

(2)

$(2)$

\begin{matrix} (4) & Y = X β + Z δ + E (U | Z) + V . \end{matrix}

$Y=X\beta+Z\delta+E(U|Z)+V.\tag{4}$

U_{i}

$U_i$

Z_{i}

$Z_i$

\begin{matrix} (**) & E (U | Z) = Z γ \end{matrix}

$E(U|Z)=Z\gamma\tag{**}$

l

$l$

1

$1$

γ \neq 0

$\gamma\neq\textbf{0}$ {0}

ตอนนี้กลายเป็นสำหรับแบบจำลองทั้งหมดที่เป็นไปตามสมมติฐานกำลังสองน้อยที่สุดเป็นข้อผิดพลาดเป็นไปตามสมมติฐานของเงื่อนไข หมายถึงศูนย์ นี่ก็หมายความว่า OLS ประมาณของจะไม่เอนเอียงเพราะถ้าเราปล่อยให้และให้เป็นโดย matrix ประกอบด้วยและดังนั้น OLS จะประมาณในโดยพิจารณาจากสิ่งต่อไปนี้: $(4)$

\begin{matrix} (5) & Y = X β + Z (δ + γ) + V . \end{matrix}

$Y=X\beta+Z(\delta+\gamma)+V.\tag{5}$

(5)

$(5)$

V

$V$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

β

$\beta$

ρ = δ + γ

$\rho=\delta+\gamma$

W = (X, Z)

$W=(X,Z)$

n

$n$

(k + 1) + l

$(k+1)+l$

X

$X$

Z

$Z$

β

$\beta$

(5)

$(5)$

\begin{aligned} ({\hat{β}}^{T}, {\hat{ρ}}^{T})^{T} & = (W^{T} W)^{- 1} W^{T} Y \\ = (W^{T} W)^{- 1} W^{T} (W (β^{T}, ρ^{T})^{T} + V) \\ = (β^{T}, ρ^{T})^{T} + (W^{T} W)^{- 1} W^{T} V \end{aligned}

$\begin{align}(\hat{\beta}^T,\hat{\rho}^T)^T &=(W^TW)^{-1}W^TY\\ &=(W^TW)^{-1}W^T(W(\beta^T,\rho^T)^T+V)\\ &=(\beta^T,\rho^T)^T+(W^TW)^{-1}W^TV\end{align}$

และที่บรรทัดที่สองตามด้วย(*)ดังนั้นเป็นประมาณการที่เป็นกลางตามเงื่อนไขของตั้งแต่ OLS ประมาณการที่กำหนดสำหรับรูปแบบ coinicides กับที่ได้รับสำหรับรูปแบบ(5)ตอนนี้ตามกฎหมายของความคาดหวังทั้งหมดและทำให้เป็นประมาณการที่เป็นกลางสำหรับ\

\begin{aligned} E (({\hat{β}}^{T}, {\hat{ρ}}^{T})^{T} | W) & = (β^{T}, ρ^{T})^{T} + (W^{T} W)^{- 1} W s^{T} E (V | W) \\ = (β^{T}, ρ^{T})^{T} + (W^{T} W)^{- 1} W^{T} 0 \\ = (β^{T}, ρ^{T})^{T}, \end{aligned}

$\begin{align}E((\hat{\beta}^T,\hat{\rho}^T)^T|W)&=(\beta^T,\rho^T)^T+(W^TW)^{-1}Ws^TE(V|W)\\&=(\beta^T,\rho^T)^T+(W^TW)^{-1}W^T\textbf{0}\\&=(\beta^T,\rho^T)^T,\end{align}$

(*)

$(*)$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

β

$\beta$

(1)

$(1)$

(5)

$(5)$

\begin{aligned} E (\hat{β}) & = E (E (\hat{β} | W)) \\ = E (β) \\ = β, \end{aligned}

$\begin{align}E(\hat{\beta})&=E(E(\hat{\beta}|W))\\ &=E(\beta)\\ &=\beta,\end{align}$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

β

$\beta$

(อาจสังเกตได้ว่าดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของไม่จำเป็นต้องเป็นกลาง) $E(\hat{\rho})=\rho=\delta+\gamma\neq\delta$ $Z$

อย่างไรก็ตามกรณีพิเศษข้างต้นถือว่าและมีการกระจายกันตามปกติฉันจะพิสูจน์ข้อเสนอได้อย่างไรโดยไม่มีข้อสันนิษฐานนี้ $U_i$ $Z_i$

สมมติว่าเพียงพอเสมอแน่นอน (cf. ) แต่ฉันควรจะได้รับผลลัพธ์ที่ใช้เพียงแค่และสมมุติฐานกำลังสองน้อยที่สุดซึ่งไม่รวมถึงสมมุติฐานค่าเฉลี่ยศูนย์เงื่อนไข ( ดูด้านล่าง) $E(U|Z)=Z\gamma$ $(**)$ $(2)$

การพิจารณาความสอดคล้อง

ฉันคิดว่าหนึ่งยังสามารถดูว่าประมาณการเป็นที่สอดคล้องกันสำหรับโดยการสังเกตว่าในรูปแบบการถดถอยสมมติฐานสี่เหลี่ยมน้อยทั้งหมดมีความพึงพอใจรวมทั้งสมมติฐานที่ว่า (ใหม่) ระยะผิดพลาดพึงพอใจ เงื่อนไข Mean Zero สมมติฐาน (cf.และดูด้านล่าง) $\hat{\beta}$ $\beta$ $(5)$ $V$ $(*)$

ฉันอาจเพิ่มหลักฐานยืนยันความมั่นคงในภายหลังซึ่งอ้างอิงจากชุดของแบบฝึกหัดในIntroduction to Econometrics, 3rd ed โดย James H. Stock and Mark W. Watson, ch. 18. อย่างไรก็ตามหลักฐานนี้ค่อนข้างยาว แต่ประเด็นตรงนี้คือหลักฐานที่ให้ไว้ในแบบฝึกหัดจะถือว่าดังนั้นฉันจึงยังสงสัยว่าสมมติฐานเพียงพอหรือไม่ $(**)$ $(2)$

ส่วนย่อย 1

ในบทนำสู่เศรษฐมิติ 3 โดย James H. Stock และ Mark W. Watson ได้มีการกล่าวไว้ที่หน้า 300 ว่าสมมติฐานสามารถ "ผ่อนคลาย" โดยใช้ทฤษฎีการถดถอยแบบไม่เชิงเส้น สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร $(**)$

ข้อสันนิษฐานน้อยที่สุด

นี่ฉันยกเว้นเงื่อนไขหมายถึงศูนย์สมมติฐานที่ว่าตั้งแต่เรื่องที่เราพยายามที่จะพิสูจน์ได้ว่าที่นี่จะช่วยให้การกรณีที่0 เหล่านี้จะถูกเช่นกรณีเมื่อมีความสัมพันธ์กับUcf เลย เศรษฐมิติ: การทบทวนการสอบของ Honor (Session) , p. 7 $E(U|X,Z)=0$ $E(U|X,Z)\neq 0$ $Z$ $U$

สมมติฐานกำลังสองน้อยที่สุดมีดังนี้

การกระจายร่วมกันของ ,จะ IID ที่เป็น : องค์ประกอบใน THและสถานที่ที่และเป็น : TH เวกเตอร์แถวในและZ $(Y_i,X_i,Z_i)$ $i=1,2,\ldots,n,$ $Y_i$ $i$ $Y$ $X_i$ $Z_i$ $i$ $X$ $Z$
ค่าผิดปกติที่มีขนาดใหญ่จะมีโอกาสเช่นกันสำหรับแต่ละ ,และมีช่วงเวลาสี่ จำกัด ที่เป็น : องค์ประกอบในลำดับU $i$ $X_i, Z_i$ $U_i$ $U_i$ $i$ $U$
$(X,Z)$ มีการจัดอันดับคอลัมน์แบบเต็ม (กล่าวคือไม่มีความสัมพันธ์แบบหลายค่าที่สมบูรณ์แบบซึ่งช่วยให้มั่นใจได้ว่าการกลับเป็น ) $W^TW$
( ขยายกรอบกำลังสองน้อยที่สุด : ในขณะที่ฉันไม่คิดว่านี่เป็นสิ่งจำเป็น (และมีการพูดกับฉันว่ามันไม่ได้เป็น) เราอาจสันนิษฐานได้ว่ากระเทยคือสำหรับแต่ละและการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของระบุเป็นเรื่องปกติสำหรับแต่ละ (เช่นเรามีข้อผิดพลาดตามปกติ)) $\text{Var}(U_i|X_i,Z_i)=\sigma^2_U$ $i$ $U_i$ $(X_i,Z_i)$ $i$

หมายเหตุเกี่ยวกับคำศัพท์

ในสมมติฐานเงื่อนไข Mean ศูนย์เป็นสมมติฐานที่ว่า 0 สมมติฐานเงื่อนไขหมายถึงอิสรภาพ แต่เป็นสมมติฐานที่ว่าZ) $(1)$ $E(U|X,Z)=0$ $E(U|X,Z)=E(U|Z)$

คำศัพท์นี้ใช้ในคำนำเช่นเศรษฐมิติเบื้องต้น โดย James H. Stock and Mark W. Watson, p. 281; และการวิเคราะห์เศรษฐมิติของข้อมูลส่วนและข้อมูลบัญชี โดย Jeffrey M. Wooldridge, p. 607. ดูข้อ จำกัด ความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขเพิ่มเติม: การทดสอบและการประมาณค่าสำหรับการสนทนาที่คล้ายกัน

ความคิดเพิ่มเติมและย่อย 2

ผมคิดว่าขัดกับเจมส์เอชต็อกและ Mark W. วัตสันที่มีเงื่อนไขอิสระหมายถึงไม่แน่ใจว่า OLS เป็นกลางของประมาณการ\นี่เป็นเพราะอาจใช้รูปแบบไม่เชิงเส้นเช่นโดยที่คือพหุนามในหรือโดยที่เป็นพารามิเตอร์บางตัวที่ยังต้องประมาณ (ที่นี่ฉันกำลังใช้เมทริกซ์เลขชี้กำลัง ) และจากนั้นฉันคิดว่าจะต้องใช้การถดถอยแบบไม่เชิงเส้นซึ่งโดยทั่วไปจะทำให้เราประมาณค่าอคติ นอกจากนี้ค่าประมาณ OLS ใน (1) ของอาจไม่ตรงกับประมาณการ OLS ของ $\beta$ $E(U|Z)$ $E(U|Z)=p(Z)$ $p(Z)$ $Z$ $E(U|Z)=\exp( Z\gamma)$ $\gamma$ $\beta$ $\beta$ ในถ้ามีรูปแบบไม่เชิงเส้นบางรูปแบบ (ในทางจิตวิทยาฉันยังรู้สึกว่าคำแถลงในหนังสือของ Stock & Watson นั้นดีเกินกว่าที่จะเป็นจริงได้) $(4)$ $E(U|Z)$

ดังนั้นคำถามเพิ่มเติมคือถ้ามีตัวอย่างบางส่วนของข้อเสนอที่ว่าค่าเฉลี่ยความเป็นอิสระตามเงื่อนไขนำไปสู่การประมาณค่า OLS ที่ไม่มีอคติหรือไม่

ส่วนย่อย 3

ในเศรษฐเศรษฐ Angrist & Pischke ที่ไม่เป็นอันตรายส่วนใหญ่ให้เหตุผลในหัวข้อย่อย 3.3, p. 68--91 ว่าภายใต้เงื่อนไขความเป็นอิสระ (CI) คือเป็นอิสระจากให้ (ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่แข็งแกร่งฉันเดาว่ากว่าสมมติฐานค่าเฉลี่ยความเป็นอิสระตามเงื่อนไขที่กำหนดข้างต้น) มีการเชื่อมต่อที่แน่นหนาระหว่างค่าประมาณที่ตรงกันของ ผลกระทบของต่อและสัมประสิทธิ์ต่อในการถดถอยของต่อและซึ่งเป็นแรงกระตุ้นที่อยู่ภายใต้ CI การประมาณค่า OLS ของสัมประสิทธิ์ต่อใน $Y$ $X$ $W$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $W$ $X$ $(1)$ มีอคติน้อยกว่าถ้า CI ไม่ได้ถือครองไว้ (เท่าเทียมกันทั้งหมด)

ตอนนี้ความคิดนี้สามารถใช้เพื่อตอบคำถามหลักของฉันได้ที่นี่

— อีเลียส
แหล่งที่มา

@ Xi'an คุณหมายถึงอะไร นั่นคือความหมายของความเป็นอิสระหมายถึงตามเงื่อนไขที่กำหนดไว้ในตำราเรียนของฉัน: ถ้าเราในการถดถอยเชิงเส้นมีแล้วเราบอกว่า เรามีความเป็นอิสระหมายถึงเงื่อนไข ฉันแค่คิดว่าวิธีการเขียนของฉันมันเป็นเรื่องทั่วไปมากขึ้น

Y_{i} = β_{0} + β_{1} X_{i} + β_{2} Z_{i} + u_{i}

$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\beta_2Z_i+u_i$

E (u_{i} | X_{i}, Z_{i}) = E (u_{i} | Z_{i})

$E(u_i|X_i,Z_i)=E(u_i|Z_i)$

— อีเลียส

@ ซีอานคุณจะกำหนด "อิสระเงื่อนไข $ ce" ในกรณีนี้ได้อย่างไร? อย่างที่ฉันคิด "ความเป็นอิสระตามเงื่อนไข" เป็นแนวคิดที่แตกต่างจาก อาจเชื่อมโยงกับแนวคิดหรือไม่ก็ได้

— อีเลียส

@ ซีอานนี่คือวิธีที่ฉันเข้าใจแนวคิด: ความเป็นอิสระตามเงื่อนไขเป็นเพียงแต่ความเป็นอิสระหมายถึงเงื่อนไขคือC)

P (A \cap B | C) = P (A | C) P (B | C)

$P(A\cap B|C)=P(A|C)P(B|C)$

E (A | B, C) = E (A | C)

$E(A|B,C)=E(A|C)$

— อีเลียส

ความคิดเห็นซีอานอยู่ที่ไหน

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick ความคิดเห็นของเขาเป็นคนแรก ฉันเดาว่าเขาจะต้องลบมัน อย่างที่ฉันจำได้เขาบอกว่าไม่ได้หมายความถึงความเป็นอิสระตามเงื่อนไขและฉันก็ตอบกลับ

E (U | X, Z) = E (U | Z)

$E(U|X,Z)=E(U|Z)$

— อีเลียส

คำตอบ:

มันผิด ในขณะที่คุณสังเกตถ้าคุณอ่าน Stock และ Watson อย่างใกล้ชิดพวกเขาไม่รับรองการอ้างสิทธิ์ที่ OLS จะไม่ฝักใฝ่ฝ่ายใดสำหรับภายใต้ความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไข พวกเขาสนับสนุนการเรียกร้องปรับตัวลดลงมากว่า OLS เป็นกลางสำหรับถ้าEจากนั้นพวกเขาพูดบางสิ่งที่คลุมเครือเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่ใช่เชิงเส้น $\beta$ $\beta$ $E(u|x,z)=z\gamma$

สมการของคุณ (4) มีสิ่งที่คุณต้องดูว่าการอ้างสิทธิ์เป็นเท็จ การประมาณสมการ (4) โดย OLS ขณะที่ละเว้นตัวแปรจะนำไปสู่การละเว้นตัวแปรอคติ ดังที่คุณอาจจำได้คำว่าไบอัสจากตัวแปรที่ละเว้น (เมื่อตัวแปรที่ละเว้นมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1) ถูกควบคุมโดยค่าสัมประสิทธิ์จากการถดถอยเสริมต่อไปนี้: อคติในการถดถอยเดิมเป็นจากการถดถอยนี้และอคติในมี\ถ้ามีความสัมพันธ์กับหลังจากควบคุมเชิงเส้นสำหรับ $E(u|x,z)$

\begin{aligned} E (u | z) = x α_{1} + z α_{2} + ν \end{aligned}

$\begin{align} E(u|z) = x\alpha_1 + z\alpha_2 + \nu \end{align}$

β

$\beta$

α_{1}

$\alpha_1$

γ

$\gamma$

α_{2}

$\alpha_2$

x

$x$

E (u | z)

$E(u|z)$

z

$z$ ดังนั้นจะไม่เป็นศูนย์และค่าสัมประสิทธิ์ OLS จะถูกทำให้ลำเอียง

α_{1}

$\alpha_1$

นี่คือตัวอย่างเพื่อพิสูจน์จุด:

\begin{aligned} ξ & \sim F (), ζ \sim G (), ν \sim H () all independent \\ z & = ξ \\ x & = z^{2} + ζ \\ u & = z + z^{2} - E (z + z^{2}) + ν \end{aligned}

$\begin{align} \xi &\sim F(), \; \zeta \sim G(), \; \nu \sim H()\quad \text{all independent}\\ z &=\xi\\ x &= z^2 + \zeta\\ u &= z+z^2-E(z+z^2)+\nu \end{align}$

มองสูตรของมันชัดเจนว่า ดูที่การถดถอยเสริมมันชัดเจน นั่น (ไม่มีทางเลือกโดยบังเอิญของ )จะไม่เป็นศูนย์ $u$ $E(u|x,z)=E(u|z)=z+z^2-E(z+z^2)$ $F,G,H$ $\alpha_1$

นี่คือตัวอย่างง่ายๆRที่แสดงให้เห็นถึงจุด:

set.seed(12344321)
z <- runif(n=100000,min=0,max=10)
x <- z^2 + runif(n=100000,min=0,max=20)
u <- z + z^2 - mean(z+z^2) + rnorm(n=100000,mean=0,sd=20)
y <- x + z + u

summary(lm(y~x+z))

# auxiliary regression
summary(lm(z+z^2~x+z))

สังเกตว่าการถดถอยครั้งแรกที่ช่วยให้คุณมีค่าสัมประสิทธิ์บนซึ่งจะลำเอียงขึ้น 0.63 สะท้อนให้เห็นถึงความจริงที่ว่า "มีบางส่วนในนั้น" เช่นเดียวกับz) โปรดสังเกตว่าการถดถอยเสริมช่วยให้คุณประเมินอคติประมาณ 0.63 $x$ $x$ $z^2$ $E(u|z)$

แล้ว Stock and Watson (และอาจารย์ของคุณ) พูดถึงอะไร? กลับไปที่สมการของคุณ (4):

\begin{aligned} y = x β + z γ + E (u | z) + v \end{aligned}

$\begin{align} y = x\beta + z\gamma + E(u|z) + v \end{align}$

มันเป็นความจริงที่สำคัญว่าตัวแปรที่ถูกตัดออกเป็นเพียงการทำงานของZดูเหมือนว่าถ้าเราสามารถควบคุมดีจริงๆที่จะเพียงพอที่จะล้างอคติจากการถดถอยแม้ว่าอาจจะมีความสัมพันธ์กับยู $z$ $z$ $x$ $u$

สมมติว่าเราประมาณสมการดังต่อไปนี้โดยใช้วิธีการที่ไม่ใช่ตัวแปรในการประมาณฟังก์ชันหรือการใช้ที่ถูกต้องทำงานแบบz) ถ้าเราใช้รูปแบบการทำงานที่ถูกต้องเราจะประมาณมันด้วยกำลังสองน้อยที่สุดที่ไม่ใช่เชิงเส้น (อธิบายความคิดเห็นที่คลุมเครือเกี่ยวกับ NLS): นั่นจะให้ค่าประมาณที่สอดคล้องกันสำหรับเพราะไม่มีปัญหาตัวแปรที่ถูกตัดอีกต่อไป $f()$ $f(z)=z\gamma+E(u|z)$

\begin{aligned} y = x β + f (z) + v \end{aligned}

$\begin{align} y = x\beta + f(z) + v \end{align}$

β

$\beta$

หรือถ้าเรามีข้อมูลเพียงพอที่เราจะได้ไป `` ทุกทาง '' ในการควบคุมสำหรับZเราสามารถดูเซตย่อยของข้อมูลที่ , และเรียกใช้การถดถอย: สิ่งนี้จะให้ค่าประมาณที่เป็นกลางและเป็นอิสระสำหรับยกเว้น สกัดแน่นอนซึ่งจะถูกปนเปื้อนด้วย(1) เห็นได้ชัดว่าคุณยังจะได้รับ (แตกต่างกัน) สอดคล้องประมาณการเป็นกลางโดยการทำงานถดถอยที่เฉพาะในจุดข้อมูลที่ 2 และอีกคนหนึ่งสำหรับจุดที่ 3 เป็นต้นจากนั้นคุณจะมีกลุ่มประมาณที่ดีซึ่งคุณสามารถสร้างตัวประมาณที่ดีโดยพูดโดยเฉลี่ยพวกเขาทั้งหมดเข้าด้วยกันอย่างใด $z$ $z=1$

\begin{aligned} y = x β + v \end{aligned}

$\begin{align} y = x\beta + v \end{align}$

β

$\beta$

f (1)

$f(1)$

z = 2

$z=2$

z = 3

$z=3$

ความคิดหลังนี้เป็นแรงบันดาลใจในการประมาณค่าการจับคู่ เนื่องจากโดยปกติเราไม่มีข้อมูลเพียงพอที่จะเรียกใช้การถดถอยเท่านั้นสำหรับหรือแม้กระทั่งสำหรับจุดคู่ที่เหมือนกันเราจึงเรียกใช้การถดถอยสำหรับจุดที่อยู่ใกล้พอที่จะเป็นเหมือนกัน $z=1$ $z$ $z$

— บิล
แหล่งที่มา

คุณไม่สามารถพิสูจน์ผลลัพธ์นี้ได้เพราะมันไม่เป็นความจริงในแถลงการณ์ทั่วไป เริ่มด้วยโมเดลใน eq ของคุณ $(4)$

Y = X β + Z δ + (E (U | Z) + V)

$Y=X\beta+Z\delta+\Big(E(U|Z)+V\Big)$

โดยที่วงเล็บใหญ่แสดงถึงข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นจริง (ยังไม่มีข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับการคาดการณ์ตามเงื่อนไข) กําหนดการที่เหลือชงหรือสังหารเมทริกซ์ ซึ่งเป็นสมมาตร idempotent และเรายังมี0 $M_Z = I - Z(Z'Z)^{-1}Z'$ $M_ZZ = \mathbf 0$

โดย "ผลลัพธ์การถดถอยแบบแบ่งส่วน" เรามีสิ่งนั้น

{\hat{β}}_{O L S} - β = (X^{'} M_{Z} X)^{- 1} X^{'} M_{Z} Z δ + (X^{'} M_{Z} X)^{- 1} X^{'} M_{Z} E (U ∣ Z) + (X^{'} M_{Z} X)^{- 1} X^{'} M_{Z} V

$\hat \beta_{OLS} - \beta = (X'M_ZX)^{-1}X'M_ZZ\delta + (X'M_ZX)^{-1}X'M_ZE(U\mid Z) + (X'M_ZX)^{-1}X'M_ZV$

คำแรกทางด้านขวามีค่าเป็นศูนย์อยู่แล้ว นำค่าที่คาดหวังมาตลอดและจากนั้นใช้คุณสมบัติหอคอยเพื่อการคาดการณ์ตามเงื่อนไขเทอมที่สามก็จะเป็นศูนย์เช่นกัน (โดยใช้ความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขตามเงื่อนไขในรูปแบบที่อ่อนแอกว่า) แต่นี่คือเท่าที่สมมติฐานที่อ่อนแอกว่านี้พาเราไปเพราะเราจะถูกทิ้งไว้กับ

E ({\hat{β}}_{O L S}) - β = E [(X^{'} M_{Z} X)^{- 1} X^{'} M_{Z} E (U ∣ Z)]

$E\Big(\hat \beta_{OLS} \Big)- \beta = E\Big[(X'M_ZX)^{-1}X'M_ZE(U\mid Z) \Big]$

สำหรับความเป็นกลาง เราต้องการให้ด้านขวาเป็นศูนย์ นี้จะถือถ้าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ (ตามที่คุณพบยัง) เพราะเราอีกครั้งจะได้เป็นศูนย์M_ZZแต่ไม่อย่างนั้นมันจะไม่มีเหตุผลอะไรเลยที่จะสมมติว่ามูลค่าที่คาดหวังทั้งหมดนั้นเป็นศูนย์โดยตรง เราไม่จำเป็นต้องสันนิษฐานว่าข้อต่อเหนือศีรษะ แต่เราต้องสันนิษฐานว่าเป็นเส้นตรงของความคาดหวังตามเงื่อนไขนี้ (การแจกแจงอื่น ๆ ก็มีคุณสมบัตินี้ด้วย) ดังนั้นสมมติฐานที่จำเป็นสำหรับความเป็นกลางของคือ $E(U\mid Z)$ $Z$ $M_ZZ$
$\beta$

E (U ∣ X, Z) = E (U ∣ Z) = Z γ

$E(U\mid X, Z)=E(U\mid Z)=Z\gamma$

และผมก็ไม่สามารถพูดได้ว่ามันเป็นจริง "อ่อนแอ" หรือไม่เมื่อเทียบกับ exogeneity เข้มงวดของ regressors ทั้งหมด (ตั้งแต่ exogeneity เข้มงวดคือที่ระบุไว้ในแง่ของความเป็นอิสระเฉลี่ยสำหรับทุกสมมติฐานการกระจายในขณะที่นี่เรามีการ จำกัด การเรียนของการกระจายที่และติดตาม) $U$ $Z$

ไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นว่าภายใต้สมมติฐานเชิงเส้นตรงนี้ก็จะสอดคล้องกัน $\hat \beta_{OLS}$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดี! ฉันอ่านมานานแล้วและคิดว่าฉันจะคิดถึงมันในภายหลัง ฉันมีคำถาม: คุณจะพิสูจน์ผลลัพธ์การถดถอยที่แบ่งพาร์ติชันได้อย่างไร ฉันจะขอบคุณอย่างน้อยอ้างอิง นอกจากนี้ความแตกต่างระหว่างและคืออะไร?

M_{Z}

$M_Z$

M_{z}

$M_z$

— อีเลียส

@Monirและเพียงพิมพ์ผิด - ได้รับการแก้ไข สำหรับผลลัพธ์การถดถอยที่แบ่งพาร์ติชัน (ซึ่งเก่ามากและมาตรฐาน) ให้ดูตัวอย่างจากตำราเศรษฐศาสตร์ของกรีนในบทที่กล่าวถึงด้านพีชคณิตของการประมาณกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดา มันรวมถึงการพิสูจน์

Z

$Z$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos