ชุดค่าผสม / คำถามความน่าจะเป็นแบบง่ายโดยพิจารณาจากความยาวสตริงและอักขระที่เป็นไปได้

สมมติว่า "การสุ่มเสร็จสมบูรณ์" และกำหนดสตริงที่มีความยาว 20 อักขระซึ่งแต่ละอักขระอาจเป็นหนึ่งใน 62 ตัวอักษรที่เป็นไปได้:

• จำนวนชุดค่าผสมทั้งหมดเป็นไปได้เท่าใด (การคาดเดา 20 ต่ออำนาจ 62)
• นอกจากนี้หากมีการเลือกสตริงใหม่แบบสุ่มหลังจากนั้นอีกหนึ่งรายการและเพิ่มลงในรายการของสตริงที่เลือกไว้จำนวนสตริงที่ต้องเลือกก่อนที่โอกาสในการเลือกสตริงที่เลือกไว้จะต่ำกว่า 1-in-100000 ( )?$10^{-5}$

หมายเหตุ: 62 มาจาก: ตัวเลขตัวเลข (0-9), ตัวพิมพ์ใหญ่ (AZ) และตัวอักษรตัวเล็ก (az)

จำนวนความเป็นไปได้ทั้งหมด

1) ปิด! คุณมีตัวเลือกทั้งหมด 62 ตัวเลือกสำหรับตัวละครตัวแรก 62 ตัวที่ 2 และอื่น ๆ ดังนั้นคุณจะจบลงด้วย$62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot \cdots 62 = 62^{20}$ซึ่งเป็นจำนวนมหาศาลอย่างไร้เหตุผล

การชนกับสตริง "เป้าหมาย"

2) ในขณะที่เราจัดตั้งขึ้นข้างต้นมี $62^{20}$สตริงที่อาจเกิดขึ้น คุณต้องการที่จะรู้ว่าคุณต้องคาดเดาว่าจะมีดีกว่า 1 ใน 100,000 อัตราต่อรองในการคาดเดาสตริง "เป้าหมาย" โดยพื้นฐานแล้วคุณกำลังถามอะไร

$$\frac{x}{62^{20}} \ge \frac{1}{10^5}$$ เพื่อให้ได้จุดคุณจะต้องปัดเศษ x ขึ้น (หรือเพิ่มถ้ามันเท่ากันอย่างแม่นยำ) แต่เมื่อคุณเห็นในวินาทีมันไม่สำคัญ

ผ่านพีชคณิตพื้นฐานเราสามารถจัดเรียงใหม่เป็น

$$\begin{aligned} 10^5x &\ge 62^{20}\\ 10^5{x} &\ge (6.2 \cdot 10)^{20}\\ 10^5x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{20}\\ x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{15} \end{aligned}$$

ทำคณิตศาสตร์ $6.2^{20}$ เกี่ยวกับ $7 \cdot 10^{15}$ดังนั้นเรามาเรียกมันทั้งหมด $7 \cdot 10^{30}$ หรือรวบรัดมากขึ้นทั้งห่ามาก

แน่นอนว่าทำไมรหัสผ่านที่ยาวทำงานได้ดีจริง ๆ :-) สำหรับรหัสผ่านจริง ๆ คุณต้องกังวลเกี่ยวกับสตริงที่มีความยาวน้อยกว่าหรือเท่ากับยี่สิบซึ่งเพิ่มจำนวนความเป็นไปได้มากขึ้น

ทำซ้ำในรายการ

ตอนนี้ลองพิจารณาสถานการณ์อื่น ๆ สตริงถูกสร้างขึ้นแบบสุ่มและเราต้องการที่จะกำหนดจำนวนที่สามารถสร้างได้ก่อนที่จะมีโอกาส 1: 100,000 ของการจับคู่สตริงสองอัน ปัญหาคลาสสิกของรุ่นนี้เรียกว่าปัญหาวันเกิด (หรือ 'Paradox') และถามว่าความน่าจะเป็นที่คนสองคนมีวันคล้ายวันเกิดเท่าไหร่ บทความวิกิพีเดีย [1] ดูดีและมีบางตารางที่คุณอาจพบว่ามีประโยชน์ อย่างไรก็ตามฉันจะพยายามให้คุณได้คำตอบที่นี่ด้วย

สิ่งที่ควรทราบ:

- ความน่าจะเป็นของการแข่งขันและไม่มีการแข่งขันจะต้องรวมเป็น 1 ดังนั้น $P(\textrm{match}) = 1 - P(\textrm{no match})$ และในทางกลับกัน.

- สำหรับสองเหตุการณ์อิสระ $A$ และ $B$ความน่าจะเป็นของ $P(A \& B) = P(A) \cdot P(B)$.

เพื่อให้ได้คำตอบเราจะเริ่มต้นด้วยการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะไม่เห็นการจับคู่สำหรับจำนวนสตริงที่แน่นอน $k$. เมื่อเรารู้วิธีการทำเช่นนั้นเราสามารถกำหนดสมการนั้นให้เท่ากับขีด จำกัด (1 / 100,000) และแก้หา$k$. เพื่อความสะดวกขอเรียก$N$ จำนวนของสตริงที่เป็นไปได้ ($62^{20}$)

เราจะ 'เดิน' รายการและคำนวณความน่าจะเป็นที่ $k$^ {th} สตริงตรงกับสตริงใด ๆ "เหนือ" ในรายการ สำหรับสตริงแรกเรามี$N$ สตริงทั้งหมดและไม่มีอะไรในรายการดังนั้น $P_{k=1}(\textrm{no match}) = \frac{N}{N} = 1$. สำหรับสตริงที่สองยังคงมี$N$ ความเป็นไปได้ทั้งหมด แต่หนึ่งในนั้นถูก "หมด" โดยสตริงแรกดังนั้นความน่าจะเป็นของการจับคู่สำหรับสตริงนี้คือ $P_{k=2}(\textrm{no match}) = \frac{N-1}{N}$ สำหรับสตริงที่สามมีสองวิธีในการจับคู่ดังนั้น $N-2$ วิธีที่จะไม่ดังนั้น $P_{k=3}(\textrm{no match}) = \frac{N-2}{N}$และอื่น ๆ โดยทั่วไปความน่าจะเป็นของ$k$ข้อความที่ไม่ตรงกับที่อื่นคือ

$$P_{k}(\textrm{no match})= \frac{N-k+1}{N}$$

อย่างไรก็ตามเราต้องการความน่าจะเป็นที่ไม่มีสิ่งใดตรงกันระหว่าง $k$เงื่อนไข เนื่องจากกิจกรรมทั้งหมดมีความเป็นอิสระ (ตามคำถาม) เราจึงสามารถคูณความน่าจะเป็นเหล่านี้เข้าด้วยกันดังนี้:

$$P(\textrm{No Matches}) = \frac{N}{N} \cdot \frac{N-1}{N} \cdot \frac{N-2}{N} \cdots \frac{N-k+1}{N}$$ ที่สามารถลดความซับซ้อนได้เล็กน้อย: $$\begin{aligned} P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots (N-k+1)}{N^k} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N!}{N^k \cdot (N-k)!} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{k! \cdot \binom{N}{k}}{N^k} \\ \end{aligned}$$ ขั้นตอนแรกเพียงแค่คูณเศษส่วนเข้าด้วยกันส่วนที่สองใช้นิยามของแฟคทอเรียล ($k! = (k) \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdots 1$) เพื่อแทนที่ผลิตภัณฑ์ของ $N-k+1 \cdots N$ด้วยบางสิ่งที่จัดการได้ง่ายขึ้นเล็กน้อยและขั้นตอนสุดท้ายสลับเป็นสัมประสิทธิ์ทวินาม สิ่งนี้ทำให้เรามีสมการสำหรับความน่าจะเป็นที่ไม่มีการแข่งขันเลยหลังจากการสร้าง$k$เงื่อนไข ในทางทฤษฎีคุณสามารถตั้งค่านั้นให้เท่ากับ$\frac{1}{100,000}$ และแก้ให้ $k$. ในทางปฏิบัติมันจะเป็นเรื่องยากที่จะตอบเพราะคุณจะทวีคูณ / หารด้วยจำนวนมาก - แฟคทอเรียลเติบโตอย่างรวดเร็วจริงๆ ($100!$ มีความยาวมากกว่า 150 หลัก)

อย่างไรก็ตามมีการประมาณทั้งในการคำนวณปัจจัยและสำหรับปัญหาทั้งหมด บทความนี้แนะนำ [2]

$$k = 0.5 + \sqrt{0.25 - 2N\ln(p)}$$ โดยที่ p คือความน่าจะเป็นที่จะไม่เห็นการแข่งขัน การทดสอบของเขาสูงสุดที่$N=48,000$แต่มันก็ค่อนข้างแม่นยำ ฉันได้รับประมาณ$3.7 \cdot 10^{15}$.

อ้างอิง

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

[2] Mathis, Frank H. (มิถุนายน 1991) "ปัญหาวันเกิดทั่วไป" SIAM Review (สมาคมเพื่ออุตสาหกรรมและคณิตศาสตร์ประยุกต์) 33 (2): 265–270 ลิงก์ JSTOR