ปัญหาวันเกิดย้อนกลับ: ไม่มีคู่คนต่างด้าว 1 ล้านคนที่แชร์วันเกิด ปีของพวกเขาคืออะไร

สมมติว่าเป็นดาวเคราะห์ที่มีปียาวมากๆ มีมนุษย์ต่างดาว 1 ล้านคนในงานปาร์ตี้ในห้องและไม่มีใครแบ่งปันวันเกิดเลย สิ่งที่สามารถอนุมานได้เกี่ยวกับขนาดของ ? $N$ $N$

(คำถามที่มีขนาดกะทัดรัดยิ่งกว่านี้ใช้แทนที่คำถามที่มีวลีสั้น ๆ นี้ )

probability birthday-paradox

— พอล Uszak
แหล่งที่มา

ปัญหาวันเกิดจะบอกคุณถึงค่าของ N ที่ความน่าจะเป็นอย่างน้อยหนึ่งการแข่งขันนั้นมากกว่าค่าที่ระบุ เมื่อ p = 1/2 เป็นที่น่าแปลกใจที่สัญชาตญาณว่าสิ่งนี้จะให้ n = 23 .. สันนิษฐานว่าแต่ละวันเกิดมีความน่าจะเป็นแบบเดียวกัน (1/365) nonuniformity ทำให้ n มีขนาดเล็กลงเท่านั้น ตอนนี้ในปัญหาของคุณดูเหมือนว่า N แทนที่ 365 และฉันถือว่าสมมติฐานที่เหมือนกันนั้นได้รับการปรับปรุง

— Michael R. Chernick

ถ้า N <= 1,000,000 การแข่งขันอย่างน้อย 1 ครั้งมีความน่าจะเป็น = 1 และ 0 การแข่งขันดังนั้นจึงมีความน่าจะเป็น = 0

— Michael R. Chernick

ดังนั้นเมื่อ N> 1,000,000 ความน่าจะเป็นของการแข่งขันอย่างน้อย 1 ครั้งมีความน่าจะเป็น <1 ดังนั้นความน่าจะเป็นของการแข่งขันจะเริ่มเพิ่มขึ้นเป็นศูนย์

— Michael R. Chernick

@Michael กรุณาจองความคิดเห็นเพื่อขอคำชี้แจงและการอภิปรายอื่น ๆ และลองโพสต์ทีละครั้ง: มีเหตุผลที่ดีสำหรับการ จำกัด ตัวละคร หากคุณพบว่าตัวเองกำลังพูดถึงสิ่งที่สำคัญซึ่งต้องการความคิดเห็นหลายรายการคุณอาจพยายามตอบคำถามดังนั้นคุณอาจโพสต์คำตอบได้เช่นกัน

— whuber

สมมติว่าวันเกิดทั้งหมดมีโอกาสเท่ากันและวันเกิดเป็นอิสระโอกาสที่มนุษย์ต่างดาวจะไม่แบ่งปันวันเกิดคือ $k+1$

พี (k; ยังไม่มีข้อความ) = 1 (1 - \frac{1}{ยังไม่มีข้อความ}) (1 - \frac{2}{ยังไม่มีข้อความ}) \dots (1 - \frac{k}{ยังไม่มีข้อความ}) .

$p(k;N) = 1\left(1-\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{2}{N}\right)\cdots\left(1-\frac{k}{N}\right).$

ลอการิทึมของมันสามารถสรุปได้แบบ asymptotically โดยที่น้อยกว่า : $k$ $N$

\begin{matrix} (1) & เข้าสู่ระบบ (พี (k; ยังไม่มีข้อความ)) = - \frac{k (k + 1)}{2 ยังไม่มีข้อความ} - \frac{k + 3 k^{2} + 2 k^{3}}{12 {ยังไม่มีข้อความ}^{2}} - O (k^{4} {ยังไม่มีข้อความ}^{- 3}) . \end{matrix}

$\log(p(k;N)) = -\frac{k(k+1)}{2N} - \frac{k + 3k^2 + 2k^3}{12N^2} - O(k^4 N^{-3}).\tag{1}$

ที่จะเป็นมั่นใจว่าไม่น้อยกว่าบางค่าเราต้องต้องมากกว่า )ขนาดเล็กให้แน่ใจว่ามีขนาดใหญ่กว่าดังนั้นเราอาจจะใกล้เคียงกับถูกต้อง )อัตราผลตอบแทนนี้ $100-100\alpha\%$ $N$ $N^{*}$ $(1)$ $\log(1-\alpha)$ $\alpha$ $N$ $k$ $(1)$ $-k^2/(2N)$

- \frac{k^{2}}{2 ยังไม่มีข้อความ} > เข้าสู่ระบบ (1 - α),

$-\frac{k^2}{2N} \gt \log(1-\alpha),$

นัยว่า

\begin{matrix} (2) & N > \frac{- k^{2}}{2 เข้าสู่ระบบ (1 - α)} \approx \frac{k^{2}}{2 α} = {ยังไม่มีข้อความ}^{* * * *} \end{matrix}

$N \gt\frac{-k^2}{2\log(1-\alpha)} \approx \frac{k^2}{2\alpha}=N^{*}\tag{2}$

สำหรับธุรกิจขนาดเล็กα $\alpha$

ยกตัวอย่างเช่นกับในขณะที่คำถามและ (ค่าเดิมที่สอดคล้องกับความเชื่อมั่น) ให้ 13 $k=10^6-1$ $\alpha=0.05$ $95\%$ $(2)$ $N \gt 10^{13}$

นี่คือการตีความผลลัพธ์ที่กว้างขวางมากขึ้น โดยไม่ต้องใกล้เคียงกับในสูตรเราได้รับ 12สำหรับนี้โอกาสที่จะไม่มีการชนกันในวันเกิดหนึ่งล้านคือ (คำนวณโดยไม่มีการประมาณ) โดยพื้นฐานแล้วเท่ากับเรา ดังนั้นสำหรับใด ๆขนาดใหญ่หรือใหญ่กว่านี้คือ $(2)$ $N=9.74786\times 10^{12}$ $N$ $p(10^6-1, 9.74786\times 10^{12})=95.0000\ldots\%$ $95\%$ $N$ $95\%$ หรือมีแนวโน้มที่จะมีการชนกันไม่ซึ่งมีความสอดคล้องกับสิ่งที่เรารู้ แต่สำหรับขนาดเล็ก ๆโอกาสที่มีการปะทะกันดังกล่าวข้างต้นที่ได้รับซึ่งเริ่มต้นที่จะทำให้เรากลัวเราอาจจะประเมินN $N$ $100 - 95= 5\%$ $N$

อีกตัวอย่างหนึ่งในปัญหาวันเกิดตามประเพณีมีโอกาสที่ไม่มีการชนกันในคนและโอกาสไม่มีการชนกันในคน ตัวเลขเหล่านี้ชี้ให้เห็นควรจะเกินและตามลำดับที่ถูกต้องในช่วงของค่าที่ถูกต้องของ366สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์โดยประมาณเหล่านี้มีความถูกต้องแม่นยำอย่างไรและสามารถแสดงผลเชิงสัญลักษณ์ได้แม้สำหรับเล็กมาก(หากเรายึดติดกับขนาดเล็ก) $4\%$ $k=6$ $5.6\%$ $k=7$ $N$ $360$ $490$ $366$ $k$ $\alpha$

— whuber
แหล่งที่มา

ฉันไม่ได้เตรียมที่จะให้คำตอบเช่นนี้ ด้วยตัวเลขการประมาณขนาดใหญ่นี้อาจคำนวณได้ง่ายกว่า Wikipedia ให้ปัญหาวันเกิดทั่วไปที่แสดงการประมาณและขอบเขตบน N กับ k คน (เอเลี่ยน) ฉันมีสูตรเดียวกันกับสมการแรกของคุณ

— Michael R. Chernick

คำถามของฉันจะเป็นขนาดที่ N จะต้องมีความมั่นใจ 100% ฉันคิดว่ามันคล้าย 10 ^ 18

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick เพื่อความมั่นใจ 100% ยังไม่มีที่สิ้นสุด สำหรับปีที่แน่นอนและสำหรับปาร์ตี้ใด ๆ ที่มีเอเลี่ยน 2 ตัวขึ้นไปความน่าจะเป็นของเอเลี่ยนสองตัวที่มีวันคล้ายวันเกิดมากกว่า 0

— Pere

@ ก่อนใช่ขอบคุณสำหรับการเห็นว่า ฉันจะแก้ไขทันที มันไม่ได้สร้างความแตกต่างให้กับโพสต์ที่เหลือ

— whuber

@Paul Uszak ฉันคิดว่าความคิดเห็นของคุณเกี่ยวกับคำตอบของ Pere (ตอนนี้ถูกลบแล้ว) รุนแรงเกินไป ฉันคิดว่าคำตอบของเขาได้รับโดยสุจริต เขาพยายามเป็นประโยชน์กับคุณโดยให้การประมาณที่มีประโยชน์ ต่อมาเขาเห็นคำตอบของคนเซ่อและตัดสินใจว่ามันสมบูรณ์กว่าและตกลงที่จะลบคำตอบของเขา ความคิดเห็นของเขาเกี่ยวกับการไม่คาดหวังคำตอบอย่างละเอียดไม่ได้แปลว่าคุณตีความมันอย่างไร นี่เป็นปัญหาที่ยาก คุณต้องเขียนโพสต์ใหม่เพื่อให้เข้าใจได้ ฉันแน่ใจว่าเขาไม่ได้แก้ปัญหาแบบนี้เป็นเรื่องตลก

— Michael R. Chernick