ช่องว่างสูงสุดระหว่างตัวอย่างที่วาดโดยไม่ต้องเปลี่ยนจากการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง

ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับการวิจัยในห้องปฏิบัติการของฉันเกี่ยวกับการครอบคลุมของหุ่นยนต์:

สุ่มตัวเลขจาก setโดยไม่มีการแทนที่และเรียงลำดับตัวเลขจากมากไปหาน้อย เมตร$n$$\{1,2,\ldots,m\}$$1\le n\le m$

จากรายการที่เรียงลำดับหมายเลข , สร้างความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่ต่อเนื่องกันและขอบเขต:\} นี่จะให้ช่องว่างของn + 1$\{a_{(1)},a_{(2)},…,a_{(n)}\}$$g = \{a_{(1)},a_{(2)}−a_{(1)},\ldots,a_{(n)}−a_{(n-1)},m+1-a_{(n)}\}$$n+1$

การกระจายตัวของช่องว่างสูงสุดคืออะไร?

$P(\max(g) = k) = P(k;m,n) = ?$

คุณสามารถใส่กรอบนี้โดยใช้สถิติการสั่งซื้อ : $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = ?$

ดูลิงค์สำหรับการกระจายของช่องว่างแต่คำถามนี้ถามกระจายช่องว่างสูงสุด

ฉันจะพอใจกับค่าเฉลี่ย$\mathbb{E}[g_{(n+1)}]$1)}]

หาก$n=m$ช่องว่างทั้งหมดคือขนาด 1 หาก$n+1 = m$จะมีช่องว่างขนาดหนึ่ง$2$และ$n+1$ตำแหน่งที่เป็นไปได้ ขนาดช่องว่างสูงสุดคือ$m-n+1$และช่องว่างนี้สามารถวางไว้ก่อนหรือหลัง หมายเลขnใด ๆ$n$สำหรับตำแหน่งที่เป็นไปได้ทั้งหมด$n+1$ขนาดช่องว่างสูงสุดที่เล็กที่สุดคือ\$\lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil$กำหนดความน่าจะเป็นของการรวมกันใดก็ตาม$T= {m \choose n}^{-1}$1}

ฉันได้แก้ไขฟังก์ชันความน่าจะเป็นบางส่วนเป็น $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = \begin{cases} 0 & k < \lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil\\ 1 & k = \frac{m-n}{n+1} \\ 1 & k = 1 \text{ (occurs when $m=n$)} \\ T(n+1)& k = 2 \text{ (occurs when $m=n+1$)} \\ T(n+1)& k = \frac{m-(n-1)}{n} \\ ? & \frac{m-(n-1)}{n} \le k \le m-n+1 \\ T(n+1)& k = m-n+1\\ 0 & k > m-n+1 \end{cases} \tag{1}$

งานปัจจุบัน (1): สมการสำหรับช่องว่างแรก$a_{(1)}$ตรงไปตรงมา:

$$P(a_{(1)} = k) = P(k;m,n) = \frac{1}{{m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1}$$ ค่าที่คาดหวังมีค่าง่าย ๆ : $\mathbb{E}[P(a_{(1)})] = \frac{1}{ {m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1} k = \frac{m-n}{1+n}$n} โดยความสมมาตรฉันคาดว่าช่องว่างnทั้งหมด$n$จะมีการกระจายตัวนี้ บางทีวิธีการแก้ปัญหาสามารถพบได้โดยการวาดภาพจากการกระจายครั้งนี้$n$ครั้ง

งานปัจจุบัน (2):เป็นเรื่องง่ายที่จะรันการจำลอง Monte Carlo

simMaxGap[m_, n_] := Max[Differences[Sort[Join[RandomSample[Range[m], n], {0, m+1}]]]];
m = 1000; n = 1; trials = 100000;
SmoothHistogram[Table[simMaxGap[m, n], {trials}], Filling -> Axis,
Frame -> {True, True, False, False},
FrameLabel -> {"k (Max gap)", "Probability"},
PlotLabel -> StringForm["m=``,n=``,smooth histogram of maximum map for `` trials", m, n, trials]][![enter image description here][1]][1]

ให้เป็นโอกาสที่ค่าต่ำสุด , เท่ากับ ; ที่เป็นกลุ่มตัวอย่างประกอบด้วยและ -subset ของ\} มีเซตย่อยดังกล่าวจากเซตย่อยที่มีโอกาสเท่ากัน$f(g;n,m)$$a_{(1)}$$g$$g$$n-1$$\{g+1,g+2,\ldots,m\}$$\binom{m-g}{n-1}$$\binom{m}{n}$

$$\Pr(a_{(1)}=g = f(g;n,m) = \frac{\binom{m-g}{n-1}}{\binom{m}{n}}.$$

การเพิ่มสำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของมากกว่าทำให้ได้ฟังก์ชันการอยู่รอด$f(k;n,m)$$k$$g$

$$\Pr(a_{(1)} \gt g) = Q(g;n,m)= \frac{(m-g)\binom{m-g-1}{n-1}}{n \binom{m}{n}}.$$

ให้เป็นตัวแปรสุ่มที่กำหนดโดยช่องว่างที่ใหญ่ที่สุด:$G_{n,m}$

$$G_{n,m} = \max\left(a_{(1)}, a_{(2)}-a_{(1)}, \ldots, a_{(n)}-a_{(n-1)}\right).$$

(สิ่งนี้ตอบคำถามตามกรอบเดิมก่อนที่จะมีการแก้ไขเพื่อรวมช่องว่างระหว่างและ .)$a_{(n)}$$m$ เราจะคำนวณฟังก์ชันการอยู่รอดของจากการที่จัดจำหน่ายทั้งหมดของได้มาอย่างง่ายดาย วิธีการเป็นโปรแกรมแบบไดนามิกที่เริ่มต้นด้วยซึ่งเป็นที่ชัดเจนว่า

$$P(g;n,m)=\Pr(G_{n,m}\gt g),$$ $G_{n,m}$$n=1$

$$P(g;1,m) = \Pr(G_{1,m} \gt 1) = \frac{m-g}{m},\ g=0, 1, \ldots, m.\tag{1}$$

สำหรับใหญ่กว่าโปรดทราบว่าเหตุการณ์คือการรวมกันของเหตุการณ์$n\gt 1$$G_{n,m}\gt g$

$$a_{1} \gt g,$$

ซึ่งช่องว่างแรกเกินและเหตุการณ์แยก$g$$g$

$$a_{1}=k\text{ and } G_{n-1,m-k} \gt g, \ k=1, 2, \ldots, g$$

ซึ่งช่องว่างแรกเท่ากับและช่องว่างที่มากกว่าเกิดขึ้นในภายหลังในตัวอย่าง กฎหมายความน่าจะเป็นโดยรวมยืนยันความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้$k$$g$

$$P(g;n,m) = Q(g;n,m) + \sum_{k=1}^g f(k;n,m) P(g;n-1,m-k).\tag{2}$$

การแก้ไขและสร้างอาร์เรย์แบบสองทางที่ทำดัชนีโดยและเราอาจคำนวณโดยใช้เพื่อกรอกข้อมูลในแถวแรกและเพื่อกรอกข้อมูลในแต่ละแถวที่ต่อเนื่องกันโดยใช้การดำเนินการต่อแถว ดังนั้นตารางสามารถจะแล้วเสร็จในการดำเนินงานและตารางทั้งหมดสำหรับผ่านสามารถถูกสร้างขึ้นในการดำเนินงาน$g$$i=1,2,\ldots,n$$j=1,2,\ldots,m$$P(g;n,m)$$(1)$$(2)$$O(gm)$$O(gmn)$$g=1$$g=m-n+1$$O(m^3n)$

กราฟเหล่านี้แสดงฟังก์ชั่นการอยู่รอดสำหรับnเมื่อมีการเพิ่มขึ้นกราฟจะเลื่อนไปทางซ้ายซึ่งสอดคล้องกับโอกาสลดลงของช่องว่างขนาดใหญ่$g\to P(g;n,64)$$n=1,2,4,8,16,32,64$$n$

สูตรปิดสำหรับสามารถรับได้ในหลายกรณีโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับขนาดใหญ่แต่ฉันไม่สามารถรับสูตรปิดที่ใช้กับได้ทั้งหมด การประมาณที่ดีนั้นหาได้ง่ายโดยการแทนที่ปัญหานี้ด้วยปัญหาแบบอะนาล็อกสำหรับตัวแปรที่ต่อเนื่องกัน$P(g;n,m)$$n$$g,n,m$

ในที่สุดความคาดหวังของจะได้รับจากการรวมฟังก์ชั่นการอยู่รอดของมันเริ่มต้นที่ :$G_{n,m}$$g=0$

$$\mathbb{E}(G_{n,m}) = \sum_{g=0}^{m-n+1} P(g;n,m).$$

โครงร่างความคาดหวังนี้แสดงรูปร่างที่ , จบการศึกษาจากมืดถึงสว่าง$2, 4, 6, \ldots, 32$