โอกาสที่ตัวอย่าง bootstrap นั้นเหมือนกับตัวอย่างดั้งเดิม

แค่ต้องการตรวจสอบเหตุผลบางอย่าง

หากตัวอย่างดั้งเดิมของฉันมีขนาดและฉันบูตมันแล้วกระบวนการคิดของฉันเป็นดังนี้: $n$

$\frac{1}{n}$ เป็นโอกาสของการสังเกตใด ๆ ที่ดึงมาจากตัวอย่างดั้งเดิม เพื่อให้แน่ใจว่าการวาดต่อไปคือไม่ได้สังเกตตัวอย่างก่อนหน้านี้เรา จำกัด ขนาดของกลุ่มตัวอย่างที่จะn-1ดังนั้นเราจึงได้รูปแบบนี้: $n-1$

\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n - 1} \cdot \frac{1}{n - 2} \dots \frac{1}{n - (n - 1)} = \frac{1}{n!} .

$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{1}{n-2} \cdots \frac{1}{n-(n-1)} = \frac{1}{n!}.$

ถูกต้องหรือไม่ ฉันสะดุดที่สาเหตุที่ไม่สามารถแทน $(\frac{1}{n})^n$

— Jayant.M
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันกำลังติดตามคุณ ทำไมคุณถึงต้องการ "ตรวจสอบให้แน่ใจว่าการวาดครั้งต่อไปไม่ใช่ตัวอย่างก่อนหน้า" ในการเริ่มต้นความคิดคือการสุ่มตัวอย่างด้วยการเปลี่ยน นั่นคือคุณไม่อยากให้มันเป็นไปได้ว่าวาดถัดไปเป็นเช่นเดียวกับคนที่คุณได้วาดแล้ว

— gung - Reinstate Monica

แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าตัวอย่าง bootstrapped ไม่เหมือนกับตัวอย่างต้นฉบับใช่ไหม

— Jayant.M

ฉันไม่ได้ติดตามคุณ คุณไม่ต้องการให้รองเท้าบูทตัวอย่างเหมือนกันกับตัวอย่างของคุณคุณแค่ต้องการให้ตัวอย่างเป็นตัวอย่างของประชากร

— gung - Reinstate Monica

ดังนั้นคำถามของฉันคือโอกาสของตัวอย่าง bootstrap นั้นเหมือนกับตัวอย่างดั้งเดิม ฉันสนใจใน bootstrap ที่เหมือนกับตัวอย่าง

— Jayant.M

ขออภัยถ้าคำถามของฉันไม่ชัดเจน!

— Jayant.M

โปรดทราบว่าในแต่ละตำแหน่งการสังเกต ( $i=1, 2, ..., n$ ) เราสามารถเลือกใด ๆ ของ $n$ การสังเกตจึงมี $n^n$ resamples ที่เป็นไปได้ (เก็บคำสั่งที่พวกเขาจะวาด) ซึ่ง $n!$ คือ "ตัวอย่างเดียวกัน" (เช่นมีทั้งหมด $n$ การสังเกตการณ์ดั้งเดิมโดยไม่เกิดซ้ำ บัญชีนี้เป็นวิธีการสั่งซื้อตัวอย่างที่เราเริ่มต้นด้วย)

ตัวอย่างเช่นการสังเกตสามรายการ a, b และ c คุณมีตัวอย่างที่เป็นไปได้ 27 ข้อ:

aaa aab aac aba abb abc aca acb acc 
baa bab bac bba bbb bbc bca bcb bcc 
caa cab cac cba cbb cbc cca ccb ccc

หกในนั้นประกอบด้วยหนึ่ง, a, b และ c

ดังนั้น $n!/n^n$ ความน่าจะเป็นที่จะได้ค่าตัวอย่างดั้งเดิมกลับมา

นอกเหนือ - การประมาณความน่าจะเป็นอย่างรวดเร็ว:

พิจารณาว่า :

\sqrt{2 π} n^{n + \frac{1}{2}} {อี}^{- n} \leq n! \leq อี n^{n + \frac{1}{2}} {อี}^{- n}

${\sqrt {2\pi }}\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}\leq n!\leq e\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}$

ดังนั้น

\sqrt{2 π} n^{\frac{1}{2}} {อี}^{- n} \leq n! / n^{n} \leq อี n^{\frac{1}{2}} {อี}^{- n}

${\sqrt {2\pi }}\ n^{{\frac {1}{2}}}e^{-n}\leq n!/n^n \leq e\ n^{{\frac {1}{2}}}e^{-n}$

ด้วยขอบเขตที่ต่ำกว่าจะเป็นค่าปกติที่กำหนดไว้สำหรับการประมาณค่า Stirling (ซึ่งมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ต่ำสำหรับขนาดใหญ่ $n$ )

[Gosper ได้แนะนำให้ใช้ $n! \approx \sqrt{(2n+\frac13)\,\pi}n^ne^{-n}$ ซึ่งจะทำให้การประมาณ $\sqrt{(2n+\frac13)\pi}\,e^{-n}$ สำหรับความน่าจะเป็นนี้ซึ่งทำงานได้ดีพอสมควรถึง $n=3$ หรือแม้กระทั่งลงไป $n=1$ ขึ้นอยู่กับว่าเกณฑ์ของคุณเข้มงวดแค่ไหน]

(การตอบสนองต่อความคิดเห็น :) ความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้รับการสังเกตโดยเฉพาะในตัวอย่างที่กำหนดคือ $(1-\frac{1}{n})^n$ ซึ่งสำหรับขนาดใหญ่ $n$ ประมาณ $e^{-1}$ .

สำหรับรายละเอียดดู
เหตุใดตัวอย่าง bootstrap โดยเฉลี่ยจึงมีการสังเกตประมาณสองในสาม

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! ในฐานะที่เป็นจุดสนใจอะไรคือโอกาสที่จะไม่ได้รับรายการเฉพาะในตัวอย่าง? เช่นกับการกระจายของ

a, b, c

$a,b,c$ คุณให้มีโอกาส 8/27 ที่จะไม่ได้รับตัวอย่างด้วย

a

$a$

— Jayant.M.M

มีอยู่ในคำตอบอื่น ๆ ในเว็บไซต์แล้ว แต่ฉันได้เพิ่มไว้ด้านบน (สั้น ๆ )

— Glen_b -Reinstate Monica

นี่คือความน่าจะเป็นที่ได้ตัวอย่างซึ่งเป็นการเปลี่ยนรูปของตัวอย่างเดิม แต่ความน่าจะเป็นที่จะได้ลำดับที่แน่นอนเหมือนกันในตัวอย่างดั้งเดิม (ดังนั้นองค์ประกอบเดียวกันในลำดับเดียวกัน) คือ

(\frac{1}{n})^{n}

$(\frac {1}{n})^n$ . ขวา?

— DeltaIV

@deltaiv ใช่เพียงหนึ่งในนั้น

n!

$n!$ การจัดเรียงอยู่ในลำดับเดิม

— Glen_b -Reinstate Monica

การประมาณค่าของ Gosper ใช้งานไม่ได้แม้กระทั่งถึง

n = 1

$n=1$ ไม่ใช่แค่ลงไป

n = 3

$n=3$ ? ฉันคิดว่า 0.499 (สำหรับ

n = 2

$n=2$ ) เป็นค่าประมาณที่ดีถึง 0.5 และ 0.996 (สำหรับ

n = 1

$n=1$ ) ก็ค่อนข้างใกล้เคียงกับ 1.0

— Karl Ove Hufthammer