ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกช่วยลดผลรวมของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์กำลังสอง

ฉันกำลังมองหาข้อมูลอ้างอิงซึ่งพิสูจน์ได้ว่าค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

ย่อเล็กสุด (เป็น ) ผลรวมของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์กำลังสอง $z$

\sum_{i = 1}^{n} (\frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

— Martin Van der Linden
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ทำไมคุณต้องมีการอ้างอิง นี่เป็นปัญหาแคลคูลัสอย่างง่าย: สำหรับปัญหาตามที่คุณกำหนดเพื่อให้สมเหตุสมผลเราต้องสมมติว่าทั้งหมด จากนั้นกำหนดฟังก์ชัน แล้วคำนวณอนุพันธ์เทียบกับ : จากนั้นจึงแก้สมการให้ทางออก ตอนนี้แน่นอนเราต้องตรวจสอบว่านี่เป็นขั้นต่ำแน่นอนสำหรับการคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง: สำหรับความไม่เท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายที่เราใช้ในท้ายที่สุด $x_i > 0$

f (z) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$

z

$z$

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{i}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (0 - \frac{1}{x_{i}}) = 2 \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}} > 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$ . หากไม่มีข้อสันนิษฐานนั้นเราอาจเสี่ยงอย่างแน่นอนที่เราพบสูงสุด!

สำหรับการอ้างอิงบางทีhttps://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean หรือhttps://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean หรือการอ้างอิงในนั้น

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. การอ้างอิงจะช่วยฉันประหยัดพื้นที่ ฉันต้องการอ้างผลเป็นเลมม่าในบทพิสูจน์อื่นโดยไม่ต้องรวมบทพิสูจน์ของเลมม่าในตัวเอง

— Martin Van der Linden

มันยากที่จะหาการอ้างอิงที่ชัดเจนถือเป็นพื้นฐานที่สมควรได้รับอย่างใดอย่างหนึ่ง! คุณไม่สามารถพูดได้ว่าการพิสูจน์เป็นแคลคูลัสพื้นฐานหรือไม่?

— kjetil b halvorsen

เป็นพื้นฐานที่เป็นฉันมักจะให้การอ้างอิง แต่ฉันเข้าใจว่าผลลัพธ์พื้นฐานนั้นหายากสำหรับการอ้างอิงและการออกหลักฐานให้ผู้อ่านนั้นเป็นตัวเลือกอย่างชัดเจน

— Martin Van der Linden

ชั่วคราว ping ปิดหัวข้อ: พิจารณาลงคะแนนเสียงสำหรับไวพจน์ spearman-> พลหอก-โรนี่stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synonyms ขอบคุณ

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

คุณอาจจะชี้ให้เห็นว่านี่คือการถ่วงน้ำหนักถดถอยน้อยสแควร์ที่มีน้ำหนัก1 $1/x_i$

หากต้องการเชื่อมต่อกับข้อมูลอ้างอิงให้เปลี่ยนกลับเป็นสัญกรณ์มาตรฐานที่คุณต้องการค้นหาที่ย่อขนาด $\beta$

\sum ω_{i} (y_{i} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

นี่คือแบบจำลองที่มี regressor คงที่เดียวและเมทริกซ์น้ำหนัก

X = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

ผมได้เปลี่ยนชื่อเป็น " " เป็น " " (ที่ "ตอบสนอง") และพารามิเตอร์ที่จะประมาณแทนZน้ำหนักเป็น\มันเป็นสิ่งจำเป็นที่พวกเขาทั้งหมดเกิน0ทางออกคือ $x_i$ $y_i$ $\beta$ $z$ $\omega_i=1/x_i$ $0$

\hat{β} = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = \frac{\sum_{i} x_{i} ω_{i}}{\sum_{i} ω_{i}} = \frac{\sum_{i} x_{i} / x_{i}}{\sum_{i} 1 / x_{i}} = \frac{n}{\sum 1 / x_{i}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

QED

ความคิดเห็น

การวิเคราะห์แบบเดียวกันนี้ใช้กับชุดน้ำหนักบวกใด ๆ โดยมีการวางนัยทั่วไปของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกและวิธีที่มีประโยชน์ในการอธิบายลักษณะ
เมื่อเป็นในการทดลองควบคุมที่ถูกมองว่าเป็นคงที่ (และไม่สุ่ม), เครื่องจักรถ่วงน้ำหนักน้อยสแควร์ให้ช่วงความเชื่อมั่นและการคาดการณ์ช่วงเวลา, ฯลฯ กล่าวอีกนัยหนึ่งการวิเคราะห์ปัญหาในการตั้งค่านี้จะช่วยให้คุณสามารถประเมินความแม่นยำของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกได้ $x_i$
การดูค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ถ่วงน้ำหนักให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับธรรมชาติและโดยเฉพาะอย่างยิ่งต่อความไวต่อข้อมูล ตอนนี้มันเป็นที่ชัดเจนว่าผู้ให้ที่สำคัญที่สุดคือผู้ที่มีค่าที่สุดของ --and สำคัญของพวกเขาได้รับการวัดโดยน้ำหนักเมทริกซ์W $x_i$ $W$

การอ้างอิง

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck, และ G. Geoffrey Vining, การวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นเบื้องต้น ฉบับที่ห้า J. Wiley, 2012 มาตรา 5.5.2

— whuber
แหล่งที่มา