ความน่าจะเป็นในการหาลำดับคู่ฐานที่เฉพาะเจาะจง

10

การคิดถึงความน่าจะเป็นทำให้ฉันรู้ว่าฉันนับไม่ถ้วน ...

พิจารณาลำดับของตัวอักษรฐานซึ่งมีแนวโน้มที่จะปรากฏขึ้นอย่างเท่าเทียมกัน ความน่าจะเป็นที่ลำดับนี้มีลำดับเฉพาะของคู่เบสที่น่าสนใจของความยาวคืออะไร $n$ $A,\; T, \; C, \text{ and } G$ $r\leq n$

มีลำดับที่แตกต่างกัน (เท่า ๆ กัน) ที่เป็นไปได้ เริ่มด้วยลำดับความสนใจที่จุดเริ่มต้นของลำดับเต็ม ลำดับเช่นนี้เป็นไปได้ เราสามารถเริ่มต้นลำดับความสนใจของเราในสถานที่ต่างกัน ดังนั้นคำตอบของฉันคือ R $4^n$ $4^{n-r}$ $n+1 -r$ $(n+1-r)/4^r$

ความน่าจะเป็นนี้เพิ่มขึ้นในซึ่งสมเหตุสมผลสำหรับฉัน แต่น่าจะเกิน 1 เมื่อR-1 แต่นั่นไม่สามารถ ความน่าจะเป็นน่าจะเป็น 1 ในขีด จำกัด (ดูเหมือนกับฉัน) แต่ไม่เกินมัน $n$ $n>4^r +r-1$

ฉันคิดว่าฉันนับบางสิ่ง ฉันกำลังคิดถึงอะไร ขอบคุณ

(FYI ไม่ใช่การบ้านเป็นเพียงตัวอย่างของเล่นในการเตรียมตัวสอบคำถามที่เพื่อนของนักชีววิทยาโมเลกุลถาม)

probability combinatorics

— ชาร์ลี
แหล่งที่มา

ที่ถูกต้องเกี่ยวกับเรื่องนี้ไม่ควรเกินหนึ่งเนื่องจากจะเป็นการละเมิดความน่าจะเป็น: books.google.co.th/?hl=th

— Chris Simokat

1

(Vaguely) ที่เกี่ยวข้อง: stats.stackexchange.com/questions/12174/…

— คาร์ดินัล

5

ลองคิดรุ่นเล็กของปัญหานี้กับ 5 โอกาสที่ตัวอักษรห้าตัวจะมีเป้าหมายคืออะไร นี่เป็นเรื่องง่าย:ของลำดับทั้งหมดเริ่มต้นด้วยสตริงนี้อีกจบด้วยสตริงและไม่มีลำดับทั้งที่เริ่มต้นและสิ้นสุดด้วยสตริงนี้ ดังนั้นโอกาสที่เป็น4} $n=5$ $\ldots A C G T\ldots$ $4^{-4}$ $4^{-4}$ $2 \times 4^{-4}$

ในทางกลับกันโอกาสของคืออะไร? อีกครั้งของลำดับเริ่มต้นด้วยสายนี้สัดส่วนเดียวกันจบลงด้วยสายนี้และของลำดับทั้งหมดทำทั้งสองอย่าง ดังนั้นโดยหลักการของการรวม-ยกเว้นคำตอบคือ5} $\ldots A A A A \ldots$ $4^{-4}$ $4^{-5}$ $2 \times 4^{-4} - 4^{-5}$

โดยทั่วไปคำตอบขึ้นอยู่กับโครงสร้างของสตริงย่อย เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นเมื่อคุณสแกนสตริง (จากซ้ายไปขวาพูด) สำหรับคุณจะต้องละเว้นอักขระทั้งหมดจนกว่าคุณจะเห็นเริ่มต้นนั้น หลังจากนั้นมีความเป็นไปได้สามประการ: ตัวละครถัดไปคือการจับคู่สำหรับตัวถัดไปคือการจับคู่ที่ไม่ใช่สำหรับแต่ไม่ใช่ (ดังนั้นคุณจะกลับมาอยู่ในสถานะรอการ ) หรือ หนึ่งต่อไปคือไม่ใช่การแข่งขัน แต่มันเป็นวางคุณเข้าสู่เพียงเลื่อย an- รัฐ ในทางตรงกันข้ามพิจารณาค้นหาสำหรับACTACGสมมติว่าคุณเห็นคำนำหน้า $ACGT$ $A$ $C$ $C$ $A$ $A$ $A$ $A$ $ACTACG$ $ACTAC$ . ตัวละครต่อไปจะตรงกับถ้ามันเป็นGเมื่อไม่ใช่การแข่งขัน (i) aจะทำให้คุณเข้าสู่สถานะรอ - เริ่มต้น( ) (2)มีการเฝ้าระวังและ (iii) aหมายถึงคุณได้เห็นและคุณได้เข้าร่วมการแข่งขันแล้วครึ่งหนึ่ง (และมองหาวินาที) "โครงสร้าง" ที่เกี่ยวข้องอย่างเห็นได้ชัดประกอบด้วยรูปแบบของสตริงย่อยในเป้าหมายที่ตรงกับคำนำหน้าของเป้าหมาย นั่นเป็นเหตุผลที่โอกาสขึ้นอยู่กับสตริงเป้าหมาย $G$ $C$ $A$ $A$ $C$ $T$ $\ldots ACT$ $A$

แผนภาพ FSA ที่ฉันสนับสนุนในการตอบกลับในเวลาที่ใช้เพื่อตีรูปแบบของหัวและก้อยในชุดเหรียญโยนสามารถช่วยให้มีความเข้าใจปรากฏการณ์นี้

— whuber
แหล่งที่มา

3

ประมาณน้ำมันดิบจะ1} คุณใช้ความน่าจะเป็นที่ลำดับของคุณจะไม่เกิดขึ้น ณ สถานที่ใดสถานที่หนึ่งนำไปสู่พลังของจำนวนตำแหน่ง (สมมติว่ามีความเป็นอิสระอย่างไม่น่าเชื่อ) ซึ่งเป็นไม่ใช่และนี่เป็นการประมาณว่า ดังนั้นแล้วคุณต้องลบนี้จาก1 $1-(1-1/4^r)^{n-r+1}$ $n-r+1$ $n-r$ $1$

การคำนวณที่แม่นยำจะขึ้นอยู่กับรูปแบบที่แม่นยำที่คุณกำลังมองหา มีแนวโน้มที่จะไม่เกิดขึ้นกว่าATCGT $AAAAA$ $ATCGT$

— เฮนรี่
แหล่งที่มา

บางทีมันอาจจะเป็นเพียงฉัน แต่

ดูเหมือนว่าบิตที่ชัดเจนในแง่ของการทำความเข้าใจวิธีสมการที่ถูกสร้างขึ้น

1 - (1 - (1 / 4)^{r})^{n - (r - 1)}

$1-(1-(1/4)^r)^{n-(r-1)}$

@JoeRocc - ฉันสงสัยว่านี่เป็นเรื่องส่วนตัว หากคุณอ่านจากหน้า

ถึงหน้า

ของหนังสือคุณเคยอ่าน

หน้าหรือ

หน้า?

300

$300$

400

$400$

400 - 300 + 1 = 101

$400-300+1=101$

400 - (300 - 1) = 101

$400-(300-1)=101$

— เฮนรี่

ไม่ต้องกังวลฉันแค่ทำตามสัญชาตญาณของปัญหา ถ้าเราสังหรณ์ใจรับมาสมการจะเป็น

แล้วเมื่อพยายามที่จะอธิบายให้คนที่ผมคิดว่ามันเป็นดีที่สุดที่จะปล่อยให้มันเป็นที่มากกว่าที่จะลดความซับซ้อนของมัน

(แม้ว่าสิ่งนี้อาจเป็นเรื่องที่เข้าใจได้ง่ายขึ้นเมื่อพิจารณา) สัญชาติญาณของคุณอาจแตกต่างกันในทุกกรณี :)

(a - (b - (c - 1 + d)))

$(a-(b-(c-1+d)))$

a - b + c - 1 + d

$a-b+c-1+d$

2

คุณกำลังนับลำดับที่รวมลำดับเป้าหมายของคุณหลายครั้งเช่นทั้งที่ตำแหน่ง A และที่ตำแหน่ง B! = A นั่นเป็นเหตุผลที่ความน่าจะเป็นที่ผิดพลาดของคุณอาจเกิน 1

— user145136
แหล่งที่มา

ทำได้ดีมาก! +1

— Michael R. Chernick

1

มันเป็นไปได้ที่จะได้รับความน่าจะเป็นที่แน่นอนของการเรียงลำดับโดยใช้การแทนห่วงโซ่มาร์คอฟของปัญหา ลักษณะเฉพาะของวิธีการสร้างห่วงโซ่ขึ้นอยู่กับลำดับความสนใจเฉพาะ แต่ฉันจะยกตัวอย่างสองสามตัวอย่างของวิธีการทำสิ่งนี้

ความน่าจะเป็นที่แน่นอนผ่านทางห่วงโซ่มาร์คอฟ:พิจารณาลำดับต่อเนื่องของผลของการที่ผลในลำดับที่มีการแลกเปลี่ยนและสมมติว่าเรามีความสนใจในย่อยของความยาวบางkสำหรับค่าใดก็ตามให้เป็นเหตุการณ์ที่ย่อยของดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นและให้เป็นเหตุการณ์ที่ผ่านมาผลเป็นครั้งแรกตัวละครในย่อยของดอกเบี้ย ( แต่ไม่มากไปกว่านี้) . เราใช้เหตุการณ์เหล่านี้เพื่อให้พาร์ติชันต่อไปนี้ของ $A,T,C,G$ $k$ $n$ $\mathscr{W}$ $\mathscr{H}_a$ $a$ $a < k$ $k+1$ สถานะที่น่าสนใจ:

\begin{matrix} สถานะ 0 & \bar{W} \cap H_{0}, \\ 1 รัฐ & \bar{W} \cap H_{1}, \\ รัฐ 2 & \bar{W} \cap H_{2}, \\ รัฐ 3 & \bar{W} \cap H_{3}, \\ ⋮ & ⋮ \\ สถานะ k - 1 & \bar{W} \cap H_{k - 1}, \\ สถานะ k & W . \end{matrix}

$\begin{matrix} \text{State 0} & & & \bar{\mathscr{W}} \cap \mathscr{H_0}, \text{ } \text{ } \text{ } \\[6pt] \text{State 1} & & & \bar{\mathscr{W}} \cap \mathscr{H_1}, \text{ } \text{ } \text{ } \\[6pt] \text{State 2} & & & \bar{\mathscr{W}} \cap \mathscr{H_2}, \text{ } \text{ } \text{ } \\[6pt] \text{State 3} & & & \bar{\mathscr{W}} \cap \mathscr{H_3}, \text{ } \text{ } \text{ } \\[6pt] \vdots & & & \vdots \\[6pt] \text{State }k-1 & & & \bar{\mathscr{W}} \cap \mathscr{H_{k-1}}, \\[6pt] \text{State }k & & & \mathscr{W}. \quad \quad \quad \text{ } \text{ } \\[6pt] \\[6pt] \end{matrix}$

ตั้งแต่ลำดับของผลที่จะถือว่าเป็นที่แลกเปลี่ยนได้เรามีผลลัพธ์ที่เป็นอิสระเงื่อนไขในความน่าจะเป็นของตน $\theta_A + \theta_T + \theta_C + \theta_G = 1$ 1กระบวนการที่คุณสนใจสามารถแสดงเป็นลูกโซ่มาร์คอฟแบบแยกเวลาที่เริ่มต้นใน $\text{State 0}$ ที่ $n=0$ และช่วงการเปลี่ยนภาพตามเมทริกซ์ความน่าจะเป็นซึ่งขึ้นอยู่กับสตริงย่อยที่สนใจโดยเฉพาะ เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจะเป็น $(k+1) \times (k+1)$ เมทริกซ์แสดงถึงความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงโดยใช้สถานะข้างต้น หากยังไม่ถึงสตริงย่อยที่สนใจการเปลี่ยนแปลงแต่ละครั้งสามารถนำคุณเข้าใกล้สตริงย่อยได้มากกว่าหนึ่งขั้นหรือสามารถตั้งค่าให้คุณกลับสู่สถานะก่อนหน้าซึ่งขึ้นอยู่กับสตริงย่อยเฉพาะ เมื่อถึงสตริงย่อยนี่คือสถานะการดูดซับของห่วงโซ่ซึ่งแสดงถึงความจริงที่ว่าเหตุการณ์เกิดขึ้น

ตัวอย่างเช่นถ้าย่อยของดอกเบี้ยที่แล้วเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงคือ $AAAAAA$

P = [\begin{matrix} 1 - θ_{A} & θ_{A} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} & 0 & θ_{A} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} & 0 & 0 & θ_{A} & 0 & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} & 0 & 0 & 0 & θ_{A} & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} & 0 & 0 & 0 & 0 & θ_{A} & 0 \\ 1 - θ_{A} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & θ_{A} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} 1-\theta_A & \theta_A & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A & 0 & \theta_A & 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A & 0 & 0 & \theta_A & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A & 0 & 0 & 0 & \theta_A & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A & 0 & 0 & 0 & 0 & \theta_A & 0 \\[6pt] 1-\theta_A & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \theta_A \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1. \\[6pt] \end{bmatrix}$

ตรงกันข้ามหากสตริงย่อยที่น่าสนใจคือ $ACTAGC$ เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงคือ:

P = [\begin{matrix} 1 - θ_{A} & θ_{A} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} - θ_{ค} & θ_{A} & θ_{ค} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} - θ_{T} & θ_{A} & 0 & θ_{T} & 0 & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} & 0 & 0 & 0 & θ_{A} & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} - θ_{ค} - θ_{G} & θ_{A} & θ_{ค} & 0 & 0 & θ_{G} & 0 \\ 1 - θ_{A} - θ_{ค} & θ_{A} & 0 & 0 & 0 & 0 & θ_{ค} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} 1-\theta_A & \theta_A & 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A-\theta_C & \theta_A & \theta_C & 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A-\theta_T & \theta_A & 0 & \theta_T & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A & 0 & 0 & 0 & \theta_A & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A-\theta_C-\theta_G & \theta_A & \theta_C & 0 & 0 & \theta_G & 0 \\[6pt] 1-\theta_A-\theta_C & \theta_A & 0 & 0 & 0 & 0 & \theta_C \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1. \\[6pt] \end{bmatrix}$

ดังที่เห็นด้านบนการสร้างเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงต้องให้ความสนใจกับสตริงย่อยเฉพาะ ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องทำให้คุณกลับสู่สถานะก่อนหน้าในสตริงที่ขึ้นอยู่กับสตริงย่อยที่สนใจ เมื่อเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงที่สร้างขึ้นสำหรับการกำหนดค่าของ $n$ ความน่าจะเป็นของการมี substring ในห่วงโซ่คือ $\mathbb{P}(\mathscr{W} | n) = \{ \mathbf{P}^n \}_{0,k}$ k(ความน่าจะเป็นนี้เป็นศูนย์สำหรับทุก $n<k$ .)

การเขียนโปรแกรมสิ่งนี้ใน R:คุณสามารถโปรแกรมนี้เป็นฟังก์ชั่นRโดยการสร้างฟังก์ชั่นที่สร้างเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงสำหรับห่วงโซ่มาร์คอฟและอาเรย์ของพลังได้ถึงจำนวนการทดลองที่ต้องการ จากนั้นคุณสามารถอ่านความน่าจะเป็นการเปลี่ยนแปลงที่เหมาะสมสำหรับค่าของ $n$ ที่เป็นที่สนใจ นี่คือตัวอย่างของรหัสที่จะทำ:

#Create function to give n-step transition matrix for n = 1...N
#We will use the example of the substring of interest "AAAAAA"

#a is the probability of A
#t is the probability of T
#c is the probability of C
#g is the probability of G
#N is the last value of n
PROB <- function(N,a,t,c,g) { TOT <- a+t+c+g;
                              a <- a/TOT; 
                              t <- t/TOT; 
                              c <- c/TOT; 
                              g <- g/TOT; 

                              P <- matrix(c(1-a, a, 0, 0, 0, 0, 0,
                                            1-a, 0, a, 0, 0, 0, 0,
                                            1-a, 0, 0, a, 0, 0, 0,
                                            1-a, 0, 0, 0, a, 0, 0,
                                            1-a, 0, 0, 0, 0, a, 0,
                                            1-a, 0, 0, 0, 0, 0, a,
                                              0, 0, 0, 0, 0, 0, 1),
                                          nrow = 7, ncol = 7, 
                                          byrow = TRUE);
                              PPP <- array(0, dim = c(7,7,N));
                              PPP[,,1] <- P;
                              for (n in 2:N) { PPP[,,n] <- PPP[,,n-1] %*% P; } 
                              PPP }

#Calculate probability for N = 100 for equiprobable outcomes
N <- 100;
a <- 1/4;
t <- 1/4;
c <- 1/4;
g <- 1/4;
PROB(N,a,t,c,g)[1,7,N];

[1] 0.01732435

$AAAAAA$ $n=100$ $0.01732435$

— Ben - Reinstate Monica
แหล่งที่มา