ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตเป็นตัวประมาณค่ากลางที่มีการแจกแจงแบบต่อเนื่องหรือไม่

มีการแจกแจงแบบต่อเนื่องที่แสดงออกในรูปแบบปิดซึ่งค่าเฉลี่ยของค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวอย่างเป็นตัวประมาณค่าที่เป็นกลางสำหรับค่าเฉลี่ยนั้นหรือไม่

อัปเดต: ฉันเพิ่งรู้ว่าตัวอย่างของฉันต้องเป็นค่าบวก (มิฉะนั้นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตอาจไม่มีอยู่) ดังนั้นอาจต่อเนื่องไม่ใช่คำที่เหมาะสม วิธีการเกี่ยวกับการกระจายซึ่งเป็นศูนย์สำหรับค่าลบของตัวแปรสุ่มและจะต่อเนื่องสำหรับค่าบวก บางอย่างเช่นการกระจายที่ถูกตัดทอน

distributions geometric-mean

— user53608
แหล่งที่มา

การกระจายสามารถต่อเนื่องในขณะที่มีพื้นที่ตัวอย่างที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัด (เช่นการกระจายแกมม่า)

— หญิงชรา

คุณหมายถึงตัวอย่างที่ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจากตัวอย่างเป็นตัวประมาณที่ไม่ลำเอียงในช่วงเวลาแรกหรือไม่? ฉันเคยเห็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของชุดข้อมูลที่แยกจากกันและไม่แน่ใจว่าจะกำหนดค่าทางเรขาคณิต "จริง" (เช่นระดับประชากร) สำหรับการกระจายอย่างต่อเนื่องได้อย่างไรบางที

e x p (E (\log (X)))

${\rm exp}( E(\log(X)) )$

— หญิงชรา

มันทำงานได้สำหรับการกระจาย lognormal

— Michael R. Chernick

มันถือถ้าตัวแปรสุ่ม

เท่ากับบางเกลาในเชิงบวกอย่างต่อเนื่อง

เกือบแน่นอน ไม่อย่างอื่น

X

$X$

c

$c$

— Matthew Gunn

คำตอบ:

ฉันเชื่อว่าคุณถามว่าการกระจายตัวของ rv คืออะไรถ้าเรามีตัวอย่างขนาดจากการกระจายนั้นมันจะถือ $X$ $n>1$

E [G M] = E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X)

$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$

เนื่องจากสมมติฐานของ iidเรามี

E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X_{1}^{1 / n} \cdot . . . \cdot X_{n}^{1 / n}) = E (X_{1}^{1 / n}) \cdot . . . \cdot E (X_{n}^{1 / n}) = {[E (X^{1 / n})]}^{n}

$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$

และเรากำลังถามว่าเราสามารถมีได้หรือไม่

{[E (X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

แต่ด้วยความไม่เท่าเทียมของเจนเซ่นและความจริงที่ว่าฟังก์ชั่นพาวเวอร์นั้นมีความนูนสูงสำหรับพลังที่สูงกว่าความเป็นเอกภาพเรามีสิ่งนั้นเกือบจะแน่นอนสำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่เสื่อมโทรม (ไม่คงที่)

{[E (X^{1 / n})]}^{n} < E {[(X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

ดังนั้นจึงไม่มีการแจกแจงดังกล่าว

$GM$

E (X^{s}) = \exp {s μ + \frac{s^{2} σ^{2}}{2}}

$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$

$\mu$ $\sigma$

$s = 1/n$

E (G M) = {[E (X^{1 / n})]}^{n} = {[\exp {(μ / n) + \frac{σ^{2}}{2 n^{2}}}]}^{n} = \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}}

$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$

(ซึ่งบอกเราว่ามันเป็นตัวประมาณค่าเฉลี่ยของค่ามัธยฐาน) แต่

lim {[E (X^{1 / n})]}^{n} = lim \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}} = e^{μ}

$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$

ซึ่งเป็นค่ามัธยฐานของการแจกแจง เราสามารถแสดงให้เห็นว่าความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวอย่างมารวมกันที่ศูนย์และเงื่อนไขทั้งสองนี้เพียงพอสำหรับตัวประมาณนี้เพื่อให้สอดคล้องกันแบบเชิงเส้นกำกับ - สำหรับค่ามัธยฐาน

G M \to_{p} e^{μ}

$GM \to_p e^{\mu}$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

บางทีมันควรจะเพิ่มว่าความไม่เท่าเทียมของ Jensen ที่ใช้กับฟังก์ชั่นนูนอย่างเคร่งครัดเป็นความเท่าเทียมกันเฉพาะเมื่อเป็นค่าคงที่

X

$X$

— Olivier

@ Olivier: ฉันคิดว่านั่นเป็นคุณสมบัติที่รู้จักกันดีพอที่มันอาจเพิ่มความยุ่งเหยิงเพื่อรวมไว้ ไม่ว่าในกรณีใดความไม่เท่าเทียมของเจนเซ่นนั้นไม่จำเป็นจริงๆเพราะการพิจารณาเคสนั้นเพียงพอแล้วกับความจริงหมายถึงโดยการโต้แย้งในระดับประถมศึกษา

n = 2

$n = 2$

V a r (X) = 0

$\mathrm{Var}(X) = 0$

X = 0

$X = 0$

— พระคาร์ดินัล

นี่เป็นข้อโต้แย้งที่คล้ายกันกับคำตอบที่ยอดเยี่ยมของ Alecos เนื่องจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตความไม่เท่าเทียมกันทางเรขาคณิตเป็นผลมาจากความไม่เท่าเทียมของเจนเซ่น

ให้เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต: $A_n$ $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
ให้เป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต: $G_n$ $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

มัชฌิมเลขคณิตเรขาคณิตความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงรัฐที่มีความเท่าเทียมกันและถ้าหากทุกคนสังเกตเท่ากับ:X_n (ความไม่เท่าเทียมกันของ AMGM เป็นผลมาจากความไม่เท่าเทียมของ Jensen ) $A_n \geq G_n$ $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

กรณีที่ 1:เกือบแน่นอน $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

แล้ว[X] $\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

ในบางแง่นี่เป็นกรณีที่เลวร้ายอย่างสิ้นเชิง

กรณีที่ 2:สำหรับ $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$

$G_n \leq A_n$ $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$ $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$

— Matthew Gunn
แหล่งที่มา

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตเป็นตัวประมาณค่ากลางที่มีการแจกแจงแบบต่อเนื่องหรือไม่

กรณีที่ 1:เกือบแน่นอนX1=X2=…=XnX1=X2=…=XnX_1 = X_2 = \ldots = X_n

กรณีที่ 2:สำหรับฉัน≠ jP(Xi≠Xj)>0P(Xi≠Xj)>0P(X_i \neq X_j) > 0i≠ji≠ji\neq j

กรณีที่ 1:เกือบแน่นอน $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

กรณีที่ 2:สำหรับ $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$