ลดความซับซ้อนของผลรวมของการรวมกันด้วย n เดียวกันค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ k

มีวิธีทำให้สมการนี้ง่ายขึ้นหรือไม่?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

หรือมากกว่าโดยทั่วไป

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics

— IDR
แหล่งที่มา

ร้านไอศครีมผลิตไอศกรีมแบบไม่ปรุงแต่งแล้วเพิ่มความเข้มข้นอย่างน้อย 5 รสชาติ (วานิลลาช็อคโกแลตฟัดจ์มิ้นต์แยมก้า) เพื่อสร้างไอศครีมต่างๆที่วางขายในร้าน ดังนั้นจำนวนของรสชาติที่แตกต่างกันคือ

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$ {K} ลองคำนวณจำนวนรสชาติด้วยมือ สำหรับเครดิตพิเศษระบุร้านค้า

— Dilip Sarwate

คำตอบ:

ดู

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

ซึ่งบอกว่า

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

คุณสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบททวินามที่ 1 $x=y=1$

ตอนนี้เนื่องจากสำหรับใด ๆมันจึงเป็นไปตามนั้น $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

ในกรณีของคุณดังนั้นคำตอบคือ255 $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

— มาโคร
แหล่งที่มา

ขอบคุณ ฉันพยายามคิดว่าชุดฟีเจอร์อินพุตที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการถดถอยดังนั้นใจของฉันเริ่มต้นด้วยสถิติ แต่ฉันคิดว่าคำถามนี้ไม่ใช่สถิติต่อ se

— Idr

ไม่มีปัญหา. โปรดพิจารณาการอัปโหลดและ / หรือยอมรับคำตอบที่คุณเห็นว่ามีประโยชน์ :)

— มาโคร

แน่นอน. ฉันก็เชื่อว่าคุณควรเป็น k

— Idr

คุณถูก - แก้ไข

— มาโคร

วิธีง่าย ๆ ในการดูคือ: คุณจะใช้แต่ละองค์ประกอบ (1) หรือไม่ (0) ดังนั้นคุณสามารถแทนเลขฐานสองทั้งหมดด้วย n bits: 2 ^ n และจำนวนนี้จะรวมกันทั้งหมดเมื่อนำออกหนึ่งรายการรวมทั้งชุดข้อมูลทั้งหมดที่นำออก 2 รายการและอื่น ๆ .. = ผลรวมของ C (k / N)

— Snicolas

การบ้าน?

คำแนะนำ:

จำทฤษฎีบททวินาม:

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

ทีนี้ถ้าคุณหา x และ y ได้เพื่อให้คงที่ ... $x^ky^{n-k}$

— เอริค
แหล่งที่มา