Jeffreys ก่อนหน้าสำหรับโอกาสทวินาม

ถ้าผมใช้ฟรีย์ก่อนสำหรับความน่าจะเป็นทวินามพารามิเตอร์แล้วนี้หมายถึงการใช้การจัดจำหน่าย $\theta$ $\theta \sim beta(1/2,1/2)$

ถ้าผมจะเปลี่ยนกรอบใหม่ของการอ้างอิงแล้วอย่างชัดเจนไม่ได้นอกจากนี้ยังกระจายเป็นการจัดจำหน่าย $\phi = \theta^2$ $\phi$ $beta(1/2,1/2)$

คำถามของฉันในสิ่งที่เป็นค่าคงที่ก่อนหน้าเจฟฟรีย์ในการแก้ไข reparameterisations? ฉันคิดว่าฉันเข้าใจผิดในเรื่องที่จะซื่อสัตย์ ...

ที่ดีที่สุด

เบน

bayesian jeffreys-prior

— ben18785
แหล่งที่มา

ก่อนหน้านี้ของ Jeffreys ไม่เปลี่ยนแปลงในแง่ที่ว่าเริ่มต้นด้วย Jeffreys ก่อนหน้าสำหรับการปรับพารามิเตอร์หนึ่งครั้งและการรันการเปลี่ยนแปลงตัวแปรที่เหมาะสมนั้นเหมือนกับการได้มาของ Jeffreys ก่อนโดยตรงสำหรับการสร้างพารามิเตอร์ใหม่นี้ ที่จริงequivariantจะมีมากขึ้นในระยะที่เหมาะสมกว่าค่าคงที่

— ซีอาน

@ ben18785: ดูที่stats.stackexchange.com/questions/38962/…

— เซน

ดูเพิ่มเติมmath.stackexchange.com/questions/210607/ … (มากหรือน้อยกว่าคำถามเดียวกันฉันคิดว่า แต่ในเว็บไซต์อื่น)

— นาธาเนียล

ดูเพิ่มเติมstats.stackexchange.com/questions/139001/…

— Christoph Hanck

ช่วยให้มีซึ่งเป็นฟังก์ชั่นเดียวของและปล่อยให้จะผกผันของเพื่อให้พี) เราสามารถรับการกระจายก่อนหน้าของเจฟฟรีย์ $\phi = g(\theta)$ $g$ $\theta$ $h$ $g$ $\theta = h(\phi)$ $p_{J}(\phi)$ สองวิธี:

เริ่มต้นด้วยแบบจำลองทวินาม (1) start ปรับรูปแบบใหม่ด้วยเพื่อรับ และรับการแจกจ่ายก่อนหน้านี้ของ Jeffreyสำหรับรุ่นนี้ $p (y | θ) = (\binom{n}{y}) θ^{y} (1 - θ)^{n - y}$ $\begin{equation} \label{original} p(y | \theta) = \binom{n}{y} \theta^{y} (1-\theta)^{n-y} \end{equation}$ $\phi = g(\theta)$ $p (y | ϕ) = (\binom{n}{y}) h (ϕ)^{y} (1 - h (ϕ))^{n - y}$ $p(y | \phi) = \binom{n}{y} h(\phi)^{y} (1-h(\phi))^{n-y}$ $p_{J}(\phi)$
รับการแจกแจงก่อนหน้าของ Jeffreyจากแบบจำลอง Binomial ดั้งเดิม 1 และใช้การเปลี่ยนแปลงสูตรตัวแปรเพื่อให้ได้ความหนาแน่นก่อนหน้านี้ที่เกิดขึ้นบน $p_{J}(\theta)$ $\phi$ $p_{J} (ϕ) = p_{J} (h (ϕ)) | \frac{d h}{d ϕ} | .$ $p_{J}(\phi) = p_{J}(h(\phi)) |\frac{dh}{d\phi}|.$

การที่จะแก้ไขค่าคงที่ไม่ได้หมายความว่าค่าความหนาแน่นได้จากทั้งสองวิธีควรเหมือนกัน ก่อนหน้าของเจฟฟรีย์มีคุณลักษณะนี้ [อ้างอิง: หลักสูตรแรกในวิธีการทางสถิติแบบเบย์โดย P. Hoff ] $p_{J}(\phi)$

เพื่อตอบความคิดเห็นของคุณ หากต้องการขอรับการแจกแจงก่อนหน้าของ Jeffreyจากความเป็นไปได้ของแบบจำลอง Binomial เราต้องคำนวณข้อมูลฟิชเชอร์โดยการหาลอการิทึมของและคำนวณอนุพันธ์อันดับสองของ และข้อมูล Fisher คือ $p_{J}(\theta)$

p (y | θ) = (\binom{n}{y}) θ^{y} (1 - θ)^{n - y}

$p(y | \theta) = \binom{n}{y} \theta^{y} (1-\theta)^{n-y}$

l

$l$

l

$l$

\begin{aligned} l := \log (p (y | θ)) & \propto y \log (θ) + (n - y) \log (1 - θ) \\ \frac{\partial l}{\partial θ} & = \frac{y}{θ} - \frac{n - y}{1 - θ} \\ \frac{\partial^{2} l}{\partial θ^{2}} & = - \frac{y}{θ^{2}} - \frac{n - y}{(1 - θ)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} l := \log(p(y | \theta)) &\propto y \log(\theta) + (n-y) \log(1-\theta) \\ \frac{\partial l }{\partial \theta} &= \frac{y}{\theta} - \frac{n-y}{1-\theta} \\ \frac{\partial^{2} l }{\partial \theta^{2}} &= -\frac{y}{\theta^{2}} - \frac{n-y}{ (1-\theta)^{2} } \end{align*}$

\begin{aligned} I (θ) & = - E (\frac{\partial^{2} l}{\partial θ^{2}} | θ) \\ = \frac{n θ}{θ^{2}} + \frac{n - n θ}{(1 - θ)^{2}} \\ = \frac{n}{θ (1 - θ)} \\ \propto θ^{- 1} (1 - θ)^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} I(\theta) &= -E(\frac{\partial^{2} l }{\partial \theta^{2}} | \theta) \\ &= \frac{n\theta}{\theta^{2}} + \frac{n - n \theta}{(1-\theta)^{2}} \\ &= \frac{n}{\theta ( 1- \theta)} \\ &\propto \theta^{-1} (1-\theta)^{-1}. \end{align*}$ รุ่นก่อนหน้าของเจฟฟรีย์คือ ซึ่งเป็น1/2)

\begin{aligned} p_{J} (θ) & = \sqrt{I (θ)} \\ \propto θ^{- 1 / 2} (1 - θ)^{- 1 / 2} \end{aligned}

$\begin{align*} p_{J}(\theta) &= \sqrt{I(\theta)} \\ &\propto \theta^{-1/2} (1-\theta)^{-1/2} \end{align*}$

beta (1 / 2, 1 / 2)

$\texttt{beta}(1/2, 1/2)$

— Marko Lalović
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. เกรงว่าฉันจะช้าไปหน่อย เราจะได้สิ่งที่เป็นมาก่อนจากความเป็นไปได้ในแง่ใด มันเป็นสองสิ่งที่แยกจากกันและอันหลังไม่ได้หมายถึงอดีต ...

— ben18785

ฉันตอบไปแล้วโดยได้รับของเจฟฟรีย์ก่อนจากความเป็นไปได้สำหรับแบบจำลอง Binomial

p_{J} (θ)

$p_{J}(\theta)$

— Marko Lalović