PCA และ asymptotic PCA ต่างกันอย่างไร

ในบทความสองฉบับในปี 1986และ1988คอนเนอร์และ Korajczyk เสนอวิธีการสร้างแบบจำลองผลตอบแทนของสินทรัพย์ เนื่องจากอนุกรมเวลาเหล่านี้มักจะมีสินทรัพย์มากกว่าการสังเกตระยะเวลาพวกเขาเสนอให้ดำเนินการ PCA เกี่ยวกับความแปรปรวนร่วมแบบตัดขวางของผลตอบแทนสินทรัพย์ พวกเขาเรียกวิธีนี้ว่า Asymptotic Principal Component Analysis (APCA ซึ่งค่อนข้างสับสนเนื่องจากผู้ชมคิดทันทีถึงคุณสมบัติของ asymptotic ของ PCA)

ฉันได้ผลสมการมาแล้วและวิธีการทั้งสองนั้นดูเหมือนจะเป็นตัวเลข asymptotics ของหลักสูตรที่แตกต่างกันตั้งแต่บรรจบพิสูจน์สำหรับมากกว่าT →การ ∞ คำถามของฉันคือ: มีใครใช้ APCA และเปรียบเทียบกับ PCA หรือไม่ มีความแตกต่างที่เป็นรูปธรรมหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้น$N \rightarrow \infty$$T \rightarrow \infty$

ไม่มีความแตกต่างอย่างแน่นอน

ไม่มีความแตกต่างอย่างแน่นอนระหว่าง PCA มาตรฐานและสิ่งที่ C&K แนะนำและเรียกว่า "asymptotic PCA" มันค่อนข้างไร้สาระที่จะตั้งชื่อแยกต่างหาก

$\mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X^\top \mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X \mathbf X^\top$

สำหรับฉันแล้วสิ่งที่ C&K แนะนำคือการคำนวณ eigenvectors ของเมทริกซ์แกรมเพื่อคำนวณส่วนประกอบหลัก ว้าววว นี่ไม่ใช่ "เทียบเท่า" กับ PCA มันเป็น PCA

เพื่อเพิ่มความสับสนชื่อ "asymptotic PCA" ดูเหมือนจะอ้างถึงความสัมพันธ์กับการวิเคราะห์ปัจจัย (FA) ไม่ใช่ PCA! เอกสาร C&K ต้นฉบับอยู่ภายใต้ paywall ดังนั้นนี่คือข้อความจาก Tsay การวิเคราะห์ชุดเวลาทางการเงินที่มีอยู่ใน Google หนังสือ:

$k$$\to \infty$การวิเคราะห์ eigenvalue-eigenvector ของ [เมทริกซ์แกรม] เทียบเท่ากับการวิเคราะห์ปัจจัยทางสถิติแบบดั้งเดิม

$k \to \infty$ , PCA ให้โซลูชั่นเดียวกับ FA นี่เป็นข้อเท็จจริงที่เข้าใจได้ง่ายเกี่ยวกับ PCA และ FA และไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับคำแนะนำของ C&K ฉันพูดถึงมันในหัวข้อต่อไปนี้:

• มีเหตุผลที่ดีที่จะใช้ PCA แทน EFA หรือไม่ PCA สามารถใช้ทดแทนการวิเคราะห์ปัจจัยได้หรือไม่?
• PCA และ FA ให้ผลที่คล้ายกันภายใต้เงื่อนไขใด

ดังนั้นกำไรคือ: C&K ตัดสินใจที่จะหยอดเหรียญคำว่า "asymptotic PCA" สำหรับ PCA มาตรฐาน (ซึ่งอาจเรียกว่า "asymptotic FA") ฉันจะไปไกลเท่าที่จะแนะนำไม่ใช้คำนี้

โดยทั่วไปแล้ว APCA จะถูกใช้เมื่อมีซีรี่ส์จำนวนมาก แต่มีตัวอย่างน้อยมาก ฉันจะไม่อธิบาย APCA ว่าดีกว่าหรือแย่กว่า PCA เนื่องจากความเท่าเทียมที่คุณระบุไว้ พวกเขาทำอย่างไรแตกต่างกันเมื่อเครื่องมือที่ใช้ นั่นคือข้อมูลเชิงลึกของกระดาษ: คุณสามารถพลิกมิติได้ถ้าสะดวกกว่า! ดังนั้นในแอปพลิเคชันที่คุณพูดถึงมีสินทรัพย์จำนวนมากดังนั้นคุณจะต้องใช้อนุกรมเวลานานในการคำนวณเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม แต่ตอนนี้คุณสามารถใช้ APCA ได้ ที่กล่าวมาฉันไม่คิดว่า APCA จะถูกนำไปใช้บ่อยมากเพราะคุณสามารถลองลดขนาดโดยใช้เทคนิคอื่น ๆ (เช่นการวิเคราะห์ปัจจัย)