ทำไมในละตินกำลังสองแถวการรักษาและคอลัมน์จึงถูกกล่าวว่าเป็นมุมฉาก

ฉันเคยได้ยิน "orthogonal" ในพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเสมอ (โปรดทราบว่าฉันไม่ใช่เจ้าของภาษาอังกฤษ) ฉันไม่เข้าใจสิ่งต่อไปนี้สำหรับสี่เหลี่ยมละติน (คำพูดจากหนังสือข้อความ):

ทุกการรักษา (ABCD) จะปรากฏขึ้นหนึ่งครั้งในแต่ละแถว ดังนั้นการรักษาและแถวเป็นมุมฉาก ... แถวและคอลัมน์เป็นมุมฉากกับการรักษา

$$\begin{matrix}\,&1&2&3&4\\1&A&B&C&D\\2&B&C&D&A\\3&C&D&A&B\\4&D&A&B&C\end{matrix}$$

orthogonality มีความหมายอะไรที่นี่?

ความหมายหรือว่าละตินสแควร์ทำอะไร

ความตั้งฉากของคอลัมน์ $i$ และแถว $j$หมายความว่าผลกระทบของพวกเขาจะถูกลบออกจากค่าที่คาดหวังสำหรับการรักษาบางอย่าง$k$ (เอบีซีดี).

ดูสูตร (สำหรับรุ่นที่ไม่มีลูกเล่นข้าม)

$Y_{ijk} = \alpha + c_i + r_j + \beta_k + \epsilon_{ijk}$

มีความคาดหวังในระดับหนึ่งของ $k$ (A, B, C หรือ D) จะกลายเป็นดังต่อไปนี้

$E(Y_{ijk} \vert k) = \alpha + \beta_k$

โดยมีเงื่อนไขว่าการรักษาไม่ได้มีความสัมพันธ์ (เป็นมุมฉาก) กับแถวและคอลัมน์

การรักษา A (และในทำนองเดียวกันสำหรับ B, C และ D) ได้รับการทดสอบจำนวนเท่ากันในแต่ละแถวและเพื่อให้คุณสามารถกำจัด (เฉลี่ยออก) ผลกระทบของแถวต่อค่าความคาดหวังของการรักษา A

ตั้งฉาก

ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นต้นกำเนิดของนิรุกติศาสตร์หรือไม่ แต่นี่คือสิ่งที่ฉันจินตนาการด้วยความตั้งฉาก

ในตัวอย่างคุณมีการทดสอบต่อไปนี้ (คอลัมน์, แถว, การรักษา):

1,1,A
1,2,B
1,3,C
1,4,D
2,1,B
2,2,C
2,3,D
2,4,A
3,1,C
3,2,D
3,3,B
3,4,A
4,1,D
4,2,A
4,3,B
4,4,C

ถ้าคุณใช้นี่เป็นเมทริกซ์ $M$ และคำนวณ $M^TM$ จากนั้นคุณจะได้รับผลรวมขององค์ประกอบที่ไม่ใช่เส้นทแยงมุมซึ่งแต่ละเทอมเกิดขึ้นจำนวนเท่าเดิม

ตัวอย่างเช่นผลิตภัณฑ์ของคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สาม $(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4) \cdot (A,B,C,D,B,C,D,A,C,D,A,B,D,A,B,C) = (1+2+3+4)(A+B+C+D) = 16 \mu_i \mu_j$

และคุณสมบัตินี้อาจเกี่ยวข้องกับความตั้งฉากของคอลัมน์ในเมทริกซ์