คำจำกัดความของการกระจายแบบสมมาตรคืออะไร

คำจำกัดความของการกระจายแบบสมมาตรคืออะไร มีคนบอกฉันว่าตัวแปรสุ่ม $X$ มาจากการแจกแจงแบบสมมาตรหาก $X$ และ $-X$ มีการแจกแจงแบบเดียวกัน แต่ฉันคิดว่าคำจำกัดความนี้เป็นจริงบางส่วน เพราะผมสามารถนำเสนอ counterexample $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ และ $\mu\neq0$ 0เห็นได้ชัดว่ามันมีการกระจายแบบสมมาตร แต่ $X$ และ $-X$ มีการกระจายที่แตกต่างกัน! ฉันถูกไหม? พวกคุณเคยคิดเกี่ยวกับคำถามนี้หรือไม่? คำจำกัดความที่แน่นอนของการกระจายแบบสมมาตรคืออะไร

distributions definition symmetry

— shijing SI
แหล่งที่มา

เมื่อคุณพูดว่า "การแจกแจงแบบสมมาตร" คุณต้องระบุด้วยความเคารพว่าจุดใดที่สมมาตร ในกรณีที่มีการกระจายปกติที่คุณนำเสนอสมมาตรจะได้รับรอบμ

μ

$\mu$ ในกรณีนี้

X - μ

$X-\mu$ และ

- (X - μ)

$-(X-\mu)$ มีการแจกแจงแบบเดียวกัน ในแง่ของความหนาแน่นนี้สามารถแสดงเป็น:

f

$f$ สมมาตรเกี่ยวกับ

μ

$\mu$ ถ้า

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$ )

BTW มันเป็นมารยาทที่ดีที่จะยอมรับคำตอบเมื่อคุณพอใจกับหนึ่งในนั้น

ใช่พวกเราคิดถึงคำถามนี้แล้ว สมมาตรโดยทั่วไปหมายถึงสมมาตรเกี่ยวกับ

0

$0$ และจะขัดขวางโต้แย้งต่อข้อเรียกร้องเกี่ยวกับการกระจายเป็นสมมาตรไม่ได้เป็นสิ่งที่เป็นจริงเกี่ยวกับฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นที่สะสม "counterexample" ของคุณมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุด

μ \neq 0

$\mu \neq 0$ , ไม่เกี่ยวกับจุด0

0

$0$

— Dilip Sarwate

@Dilip เมื่อความหมายขึ้นอยู่กับวิธีหนึ่งในการอธิบายอะไรบางอย่าง แต่ความหมายที่สามารถแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติที่แท้จริงของสิ่งที่แล้วมันทำให้รู้สึกไม่ให้ใช้ความละเอียดที่จะแตกต่างกันในรูปแบบของคำอธิบาย ในกรณีนี้ความสมมาตรเป็นสมบัติของการแจกแจงแต่นั่นไม่ได้หมายความว่าคำอธิบายทั้งหมดของการแจกแจงนั้น (รวมถึง PDF และ CDF) จะต้องเป็น "สมมาตร" ด้วยวิธีเดียวกัน โดยการใช้สมมาตรของ PDF กับ CDF ความคิดเห็นของคุณทำให้เกิดคำถามสับสนแทนที่จะอธิบายให้ชัดเจน

— whuber

shijing, @Procrastinator สังเกตว่าคุณได้ถามคำถามมากมายโดยไม่ตอบรับใด ๆ นั่นแสดงว่าคุณอาจไม่คุ้นเคยกับการทำงานของเว็บไซต์นี้ ให้ชัดเจนขึ้นความเข้าใจผิดใด ๆ ที่คุณจะโปรดอ่านส่วนที่เกี่ยวข้องของคำถามที่พบบ่อยของเรา ตลอดทางผ่าน ? จะใช้เวลาเพียงไม่กี่นาทีและการปฏิบัติตามคำแนะนำจะช่วยเพิ่มคุณค่าให้กับเว็บไซต์ของเรา

— whuber

@whuber CDF เป็นหนึ่งในคำอธิบายไม่กี่คำที่การกระจายคำเกิดขึ้นจริงในชื่อและฉันพยายามชี้แจงว่าคุณสมบัติสมมาตรไม่ได้เก็บไว้กับ CDF

— Dilip Sarwate

สั้น ๆ : สมมาตรเมื่อและมีการกระจายเดียวกันสำหรับบางจำนวนจริง $X$ $X$ $2a-X$ $a$ แต่มาถึงที่นี้ในลักษณะที่เป็นธรรมอย่างเต็มที่ต้องพูดนอกเรื่องและภาพรวมเพราะมันก่อให้เกิดคำถามนัยหลายเหตุผลที่นี้คำนิยามของ "สมมาตร"? จะมีสมมาตรแบบอื่นได้ไหม? ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงและสมมาตรคืออะไรและในทางกลับกันความสัมพันธ์ระหว่าง "สมมาตร" กับการแจกแจงที่อาจมีความสมมาตรนั้นคืออะไร

สมมาตรที่เป็นปัญหานั้นเป็นภาพสะท้อนของเส้นจริง ทั้งหมดอยู่ในรูปแบบ

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

สำหรับบางคนคง $a$

สมมติว่า มีสมมาตรนี้อย่างน้อยหนึ่ง จากนั้นความหมายสมมาตร $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

แสดงให้เห็นว่าเป็นค่ามัธยฐานของXในทำนองเดียวกันถ้ามีความคาดหวังมันจะตามมาทันทีว่า $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ ]ดังนั้นเราจึงมักจะสามารถปักลงได้อย่างง่ายดาย แม้ว่าจะไม่เช่นนั้น(และดังนั้นความสมมาตรของตัวเอง) ก็ยังคงมีลักษณะเฉพาะ (ถ้ามีอยู่) $a$ $a$

หากต้องการดูสิ่งนี้ให้เป็นศูนย์กลางของความสมมาตรใด ๆ แล้วใช้สมมาตรทั้งเราจะเห็นว่าเป็นค่าคงที่ภายใต้การแปล )ถ้าการแจกแจงของจะต้องมีช่วงเวลาของซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะความน่าจะเป็นรวมของการแจกแจงแบบมีคาบเป็นหรือไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นซึ่งแสดงว่านั้นไม่เหมือนใคร $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

โดยทั่วไปเมื่อคือกลุ่มที่ดำเนินการอย่างซื่อสัตย์ในบรรทัดจริง (และโดยการขยายในส่วนย่อยของ Borel ทั้งหมด) เราสามารถพูดได้ว่าการแจกแจงคือ "สมมาตร" (เทียบกับ ) เมื่อ $G$ $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{g}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

สำหรับทุกชุดที่วัดและองค์ประกอบที่หมายถึงภาพของภายใต้การกระทำของกรัม $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

ตัวอย่างเช่นให้ยังคงเป็นกลุ่มของคำสั่งที่แต่ตอนนี้ปล่อยให้การกระทำของมันเป็นส่วนกลับของจำนวนจริง (และปล่อยให้มันแก้ไข ) การแจกแจงล็อกปกติปกติมีความสมมาตรเทียบกับกลุ่มนี้ ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นตัวอย่างของการสะท้อนสมมาตรซึ่งมีการแสดงออกที่ไม่เชิงเส้นของพิกัดที่เกิดขึ้น สิ่งนี้ชี้ให้เห็นการมุ่งเน้นไปที่การเปลี่ยนแปลงที่เคารพ "โครงสร้าง" ของเส้นจริง โครงสร้างที่จำเป็นต่อความน่าจะเป็นจะต้องเกี่ยวข้องกับชุด Borel และการวัด Lebesgue ซึ่งทั้งสองสามารถกำหนดในแง่ของระยะทาง (ยูคลิด) ระหว่างสองจุด $G$ $2$ $0$

แผนที่รักษาระยะทางคือตามนิยามisometry เป็นที่รู้จักกันดี (และง่ายแม้ว่าจะเกี่ยวข้องกับการแสดงให้เห็นเล็กน้อย) ว่าภาพจำลองทั้งหมดของเส้นจริงนั้นถูกสร้างขึ้นจากการสะท้อนกลับ ดังนั้นเมื่อมีการเข้าใจว่า "สมมาตร" หมายถึงสมมาตรด้วยความเคารพในกลุ่มของ isometries บางกลุ่มที่ต้องได้รับการสร้างขึ้นโดยมากที่สุดคนหนึ่งสะท้อนและเราได้เห็นว่าการสะท้อนจะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยใด ๆกระจายสมมาตรที่เกี่ยวกับมัน ในแง่นี้การวิเคราะห์ก่อนหน้านี้หมดจดและปรับคำศัพท์ตามปกติของการแจกแจงแบบ "สมมาตร"

อนึ่งโฮสต์ของตัวอย่างหลายตัวแปรของการแจกแจงคงที่ภายใต้กลุ่มของ isometries สามารถทำได้โดยพิจารณาการกระจาย "ทรงกลม" สิ่งเหล่านี้ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การหมุนทั้งหมด (สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางคงที่) สิ่งเหล่านี้ทำให้เป็นกรณีทั่วไปในหนึ่งมิติ: "การหมุน" ของเส้นจริงเป็นเพียงการสะท้อนกลับ

ในที่สุดมันก็มีค่าที่ชี้ให้เห็นว่าการก่อสร้างมาตรฐาน - เฉลี่ยทั่วทั้งกลุ่ม - ให้วิธีการผลิตโหลดของการกระจายสมมาตร ในกรณีของสายจริงให้ถูกสร้างขึ้นโดยสะท้อนเกี่ยวกับจุดเพื่อที่จะประกอบด้วยองค์ประกอบตัวตน กรัม ให้เป็นการกระจายตัวใด ๆ กำหนดการกระจายโดยการตั้งค่า $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

สำหรับทุก Borel ชุดEนี่คือสมมาตรชัดแจ้งและง่ายต่อการตรวจสอบว่ายังคงมีการแจกแจง (ความน่าจะเป็นทั้งหมดยังคงไม่ติดลบและความน่าจะเป็นรวมคือ ) $E$ $1$

Gamma

แสดงให้เห็นถึงกระบวนการเฉลี่ยกลุ่ม PDF ของการแจกแจงแกมมา symmetrized (รวมศูนย์ที่ ) จะแสดงในทองคำ แกมม่าดั้งเดิมเป็นสีน้ำเงินและการสะท้อนกลับเป็นสีแดง $a=2$

— whuber
แหล่งที่มา

(+1) ฉันต้องการเพิ่มสิ่งนั้นในการตั้งค่าหลายตัวแปรความหมายของความสมมาตรนั้นไม่ซ้ำกัน ในหนังสือเล่มนี้มีคำจำกัดความที่เป็นไปได้ 8 ประการของการแจกแจงหลายตัวแปรแบบสมมาตร

@Procrastinator ฉันอยากรู้เกี่ยวกับสิ่งที่คุณอาจหมายถึง "ไม่ซ้ำกัน" AFAIK สิ่งใดที่ทำให้ชื่อ "สมมาตร" เป็นที่สุดหมายถึงกลุ่มแอ็คชั่นในอวกาศ มันน่าสนใจที่จะเห็นว่านักสถิติประเภทใดที่มีประโยชน์ เนื่องจากหนังสือเล่มนั้นพิมพ์ออกมาและไม่มีอยู่ในเว็บคุณช่วยยกตัวอย่างสมมาตรสองแบบที่แตกต่างกันในหนังสือเล่มนั้นได้หรือไม่?

— whuber

สัญชาตญาณของคุณถูกต้องนี่คือคุณสมบัติทางสถิติที่เกี่ยวข้อง: สมมาตรส่วนกลาง

; ทรงกลมสมมาตร

สำหรับทุกฉากเมทริกซ์O

ฉันจำคืนไม่ได้ แต่ฉันจะพยายามยืมหนังสือในวันนี้ ในลิงค์นี้คุณสามารถค้นหาได้บางส่วน

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

@Procrastinator ขอบคุณ โปรดทราบว่าทั้งสองตัวอย่างที่คุณเสนอมีทั้งกรณีพิเศษของคำจำกัดความทั่วไปที่ฉันให้ไว้: สมมาตรกลางสร้างกลุ่มสององค์ประกอบของ isometries และสมมาตรทรงกลมก็เป็นกลุ่มย่อยของ isometries ทั้งหมด "สมมาตรรูปไข่" ในลิงก์คือสมมาตรทรงกลมหลังจากการแปลงเลียนแบบและเป็นตัวอย่างปรากฏการณ์ที่ฉันชี้ไปด้วยตัวอย่าง lognormal "สมมาตรเชิงมุม" สร้างกลุ่มของภาพจำลองอีกครั้ง "สมมาตรครึ่งอวกาศ" [sic] ไม่ใช่สมมาตร แต่อนุญาตให้แยกออกจากที่นั่นโดยสิ้นเชิงนั่นเป็นเรื่องใหม่

— whuber

$X \to X'$ $P(X) = P(X')$

$X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$ and would still fit a more general definition of symmetry.

— Michael Hoffman
แหล่งที่มา