การคำนวณการแจกแจงสะสมของการเบิกสูงสุดของการเดินสุ่มด้วยการดริฟท์

ฉันสนใจในการแจกแจงการเบิกสูงสุดของการเดินสุ่ม: ให้โดยที่ . เบิกเงินกู้สูงสุดหลังจากงวดเป็น\ max_ {0 \ le ฉัน \ le J \ le n} (x_i - X_j) กระดาษโดยMagdon-Ismail และ อัล ให้การแจกแจงสำหรับการดรอดาวน์สูงสุดของการเคลื่อนไหวบราวน์พร้อมดริฟท์ การแสดงออกเกี่ยวข้องกับผลรวมอนันต์ซึ่งรวมถึงคำบางคำที่กำหนดไว้โดยนัยเท่านั้น ฉันมีปัญหาในการเขียนการใช้งานซึ่งมาบรรจบกัน มีใครทราบถึงการแสดงออกทางเลือกของ CDF หรือการใช้งานอ้างอิงในรหัสหรือไม่$X_0 = 0, X_{i+1} = X_i + Y_{i+1}$$Y_i \sim \mathcal{N}(\mu,1)$$n$$\max_{0 \le i \le j \le n} (X_i - X_j)$

นี่คือผลรวมสลับ แต่ละคู่ที่ต่อเนื่องกันเกือบจะยกเลิก ผลรวมคู่ดังกล่าวลดลงในที่สุด monotonically

วิธีการหนึ่งก็คือการคำนวณหาผลรวมเป็นคู่โดยที่ = {1,2}, {3,4}, {5,6} ฯลฯ (การทำเช่นนี้จะช่วยลดข้อผิดพลาดจำนวนจุดลอยตัวได้เช่นกัน) เทคนิคเพิ่มเติมสามารถช่วย:$n$

(1) เพื่อแก้สำหรับค่าคงที่บวก , ค่าเริ่มต้นที่ดีในการค้นหา - และการประมาณค่าที่ยอดเยี่ยมสำหรับใหญ่ที่สุด - คือปี่} ฉันสงสัยว่า Newton-Raphson น่าจะทำงานได้ดีจริงๆ$\tan(t) = t / \alpha$$\alpha$$n^\text{th}$$t = (n + 1/2)\pi - \frac{\alpha}{(n + 1/2)\pi}$

(2) หลังจากเทอมเริ่มต้นจำนวนน้อยจำนวนเงินของคู่เริ่มลดขนาดมากอย่างสม่ำเสมอ ลอการิทึมของค่าสัมบูรณ์ของคู่ที่เว้นระยะแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลลดลงอย่างรวดเร็วเกือบเป็นเส้นตรง ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถแก้ไขจำนวนเงินก้อนคู่ที่คำนวณได้น้อยมากเพื่อประเมินจำนวนเงินทั้งหมดที่คุณไม่ได้คำนวณ ตัวอย่างเช่นโดยการคำนวณค่าสำหรับคู่เท่านั้น (2,3), (4,5), (8,9), (16,17), ... , (16384, 16385) และสร้างพหุนามแบบสอดแทรกสำหรับเหล่านี้ (คิดว่าเป็นค่าของฟังก์ชันที่ 1, 2, ... , 14) และใช้อาร์กิวเมนต์$h = \mu = \sigma = 1$ฉันสามารถบรรลุความแม่นยำหกหลักสำหรับข้อผิดพลาดกรณีเลวร้ายที่สุด (แม้จะดีกว่าข้อผิดพลาดที่แกว่งเข้าสู่ระบบแนะนำความแม่นยำในค่าที่ถูกรวมเข้าด้วยกันอาจจะค่อนข้างดีกว่าตัวเลขหกตัว) คุณอาจประมาณค่าผลรวมที่ จำกัด เพื่อความแม่นยำที่ดีโดยการประมาณค่าเชิงเส้นจากจุดสิ้นสุดของค่าเหล่านี้ แปลเป็นกฎหมายพลังงาน) และรวมฟังก์ชั่นการประมาณค่าเข้ากับอินฟินิตี้ เพื่อให้การคำนวณตัวอย่างนี้สมบูรณ์คุณต้องมีเทอมแรก ซึ่งให้ความแม่นยำหกรูปโดยใช้คำศัพท์ที่คำนวณเพียง 29 ข้อในการสรุป

(3) โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นนี้ขึ้นอยู่กับและไม่ใช่ตัวแปรทั้งสามอย่างอิสระ การพึ่งพานั้นอ่อนแอ (อย่างที่ควรจะเป็น) คุณอาจเป็นเนื้อหาที่จะแก้ไขค่าของมันตลอดการคำนวณของคุณ$h/\sigma$$\mu/\sigma$$T$

(4) ด้านบนของทั้งหมดนี้พิจารณาโดยใช้วิธีการชุดเร่งเช่นวิธี Aitken ของ ที่ดีของบัญชีปรากฏในสูตรตัวเลข

ที่เพิ่ม

(5) คุณสามารถประมาณส่วนท้ายของผลรวมด้วยอินทิกรัล เมื่อเขียนสมการ (ด้วย ) สามารถแก้ไขได้ สำหรับซึ่งมีขนาดเล็กและสำหรับโดยการแทนที่กลับ การขยายแทนเจนต์ในอนุกรมของเทย์เลอร์ในเป็นการแก้ปัญหาโดยประมาณ$\theta_n = (n + 1/2)\pi - 1/t_n$$\tan(\theta_n) = \theta_n / \alpha$$\alpha = \mu h / \sigma^2$$t_n$$\theta_n$$t_n$

$$\theta_n = z - \frac{\alpha}{ z} - \frac{\alpha^2 - \alpha^3/3 }{z^3} + O\left((\frac{\alpha}{n})^5\right)$$

ที่1/2)$z = (n + 1/2)\pi$

หากมีขนาดใหญ่พอสมควรปัจจัยเลขชี้กำลังของรูปแบบใกล้เคียงกับ 1 มากจนคุณสามารถละเลยได้ โดยทั่วไปแล้วข้อตกลงเหล่านี้สามารถถูกละเลยได้แม้จะเป็นเล็กน้อยเพราะคือทำให้เลขชี้กำลังแรกเป็นศูนย์อย่างรวดเร็วมาก (สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อมีค่าเกินอย่างมากทำการคำนวณขนาดใหญ่ถ้าคุณทำได้!)$n$$1 - \exp(\frac{-\sigma^2 \theta_n^2 T}{2 h^2}) \exp(\frac{-\mu^2 T}{2 \sigma^2})$$n$$\theta_n^2$$\Theta\left(n^2\right)$$n$$\alpha / T^{1/2}$$T$

การใช้นิพจน์นี้เพื่อเพื่อรวมเงื่อนไขสำหรับและทำให้เราสามารถประมาณพวกเขาได้ (เมื่อควันทั้งหมดถูกล้างออก) เป็น$\theta_n$$n$$n+1$

$$\frac{2}{\pi n^2}-\frac{4}{\pi n^3}+\frac{13 \pi ^2+6 (4-3 \alpha ) \alpha }{2 \pi ^3 n^4}+O\left(\frac{1}{n^5}\right) \text{.}$$

การแทนที่ผลรวมเริ่มต้นที่โดยอินทิกรัลเหนือเริ่มต้นที่ใกล้เคียงกับหาง (ซึ่งเป็นส่วนประกอบสำคัญจะต้องมีการคูณด้วยปัจจัยร่วมกันของ .) ข้อผิดพลาดในหนึ่งคือ4) ดังนั้นเพื่อให้บรรลุตัวเลขสำคัญสามตัวโดยทั่วไปคุณจะต้องคำนวณประมาณแปดหรือมากกว่านั้นของคำศัพท์ในผลรวมแล้วเพิ่มการประมาณส่วนท้ายนี้$n = 2N$$N$$N - 1/4$$\exp(-\alpha)$$O(1/n^4)$

คุณอาจเริ่มต้นด้วยการมองหาที่ฟังก์ชั่นการกระจายเบิกใน fBasics ดังนั้นคุณสามารถจำลองการเคลื่อนไหวของบราวน์อย่างง่ายดายด้วยการดริฟท์และใช้ฟังก์ชั่นเหล่านี้เป็นจุดเริ่มต้น