กฎหมายจำนวนมากล้มเหลวเมื่อใด

คำถามก็คือสิ่งที่ระบุไว้ในชื่อเรื่อง: เมื่อไหร่กฎหมายจำนวนมากล้มเหลว? สิ่งที่ฉันหมายถึงคือในกรณีใดความถี่ของเหตุการณ์ที่ไม่น่าจะเป็นไปได้ทางทฤษฎี?

มีสองทฤษฎีบท (ของ Kolmogorov) และทั้งสองต้องการให้ค่าที่คาดหวังจะมี จำกัด ครั้งแรกถือเมื่อตัวแปรเป็น IID ที่สองเมื่อการสุ่มตัวอย่างเป็นอิสระและความแปรปรวนของ$X_n$ตอบสนอง

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} < \infty$$

บอกได้เลยว่าทุกได้คาดว่าค่า 0 แต่ความแปรปรวนของพวกเขาคือn 2เพื่อให้อยู่ในสภาพที่เห็นได้ชัดว่าล้มเหลว จะเกิดอะไรขึ้น? คุณยังสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยโดยประมาณได้ แต่ค่าเฉลี่ยนั้นจะไม่เป็น 0 ในขณะที่คุณสุ่มตัวอย่างมากขึ้นเรื่อย ๆ มันจะมีแนวโน้มที่จะเบี่ยงเบนมากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อคุณทำการสุ่มตัวอย่าง$X_n$$n^2$

ลองยกตัวอย่าง สมมติว่าเป็นชุดU ( - n 2 n , n 2 n )เพื่อให้สภาพข้างบนล้มเหลวอย่างชัดเจน$X_n$$U(-n2^n , n2^n)$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 2^{2n+2}}{12}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty 4^n = \infty.$$

โดยสังเกตว่า

$$\bar{X}_n = \frac{X_n}{n} + \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1},$$

เราจะเห็นจากการเหนี่ยวนำที่คำนวณเฉลี่ยอยู่เสมอภายในช่วงเวลา( - 2 n , 2 n ) โดยใช้สูตรเดียวกันสำหรับn + 1เรายังเห็นว่ายังมีโอกาสมากขึ้นกว่า1 / 8ที่ˉ X n + 1อยู่นอก( - 2 n , 2 n ) แท้จริงแล้วX n + $\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$n+1$$1/8$$\bar{X}_{n+1}$$(-2^n, 2^n)$เป็นชุดU(-2n+1,2n+1)และตั้งอยู่นอก(-2n,2n)ที่มีความน่าจะเป็น1/4 ในทางกลับกัน$\frac{X_{n+1}}{n+1}$$U(-2^{n+1},2^{n+1})$$(-2^n, 2^n)$$1/4$ที่อยู่ใน(-2n,2n)โดยการเหนี่ยวนำและสมมาตรมันเป็นบวกกับความน่าจะเป็น1/2 จากการสังเกตเหล่านี้เป็นไปตามทันทีว่า ˉ X n+1เป็นจำนวนมากกว่า2nหรือเล็กกว่า-2nแต่ละคนมีความน่าจะเป็นขนาดใหญ่กว่า1/16 เนื่องจากความน่าจะเป็นที่| ˉ X n+1| $\frac{n}{n+1}\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$1/2$$\bar{X}_{n+1}$$2^n$$-2^n$$1/16$มีค่ามากกว่า 1 / 8 , มีไม่สามารถบรรจบกันเป็น 0 เป็น nไปที่อินฟินิตี้$|\bar{X}_{n+1}| > 2^n$$1/8$$n$

ตอนนี้เฉพาะตอบคำถามของคุณพิจารณาเหตุการณ์ ถ้าฉันเข้าใจดีคุณถามว่า "เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นเท็จหรือไม่?"$A$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} 1_A(X_k) = P(X \in A), \; [P]\;a.s.$$

ที่เป็นฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้ของเหตุการณ์, เช่นถ้าและเป็นอย่างอื่นและมีการกระจายเหมือนกัน (และกระจายเช่น ) A 1 A ( X k ) = 1 X k ∈ A 0 X k$1_A$$A$ $1_A(X_k) = 1$$X_k \in A$$0$$X_k$$X$

เราเห็นว่าเงื่อนไขข้างต้นจะคงอยู่เนื่องจากความแปรปรวนของฟังก์ชันตัวบ่งชี้ถูกล้อมรอบด้วย 1/4 ซึ่งเป็นความแปรปรวนสูงสุดของตัวแปร Bernouilli 0-1 ยังคงเป็นสิ่งที่สามารถไปอย่างผิดปกติเป็นสมมติฐานที่สองของกฎหมายที่แข็งแกร่งของตัวเลขขนาดใหญ่คือการสุ่มตัวอย่างอิสระ หากตัวแปรสุ่มไม่ได้สุ่มตัวอย่างอย่างอิสระการบรรจบกันจะไม่ได้รับการประกัน$X_k$

ตัวอย่างเช่นถ้า =สำหรับทั้งหมดอัตราส่วนจะเป็น 1 หรือ 0 ไม่ว่าค่าใดของดังนั้นการลู่เข้าจะไม่เกิดขึ้น (ยกเว้นว่ามีความน่าจะเป็น 0 หรือ 1 แน่นอน) นี่คือตัวอย่างปลอมและสุดขีด ฉันไม่ได้ตระหนักถึงกรณีปฏิบัติที่การลู่เข้ากับความน่าจะเป็นทางทฤษฎีจะไม่เกิดขึ้น ยังคงมีศักยภาพถ้าสุ่มตัวอย่างไม่เป็นอิสระX 1 k n $X_k$$X_1$$k$$n$$A$