ทำไม ln [E (x)]> E [ln (x)]

เรากำลังเผชิญกับการกระจายตัวแบบ lognormal ในหลักสูตรการเงินและหนังสือของฉันเพิ่งกล่าวว่านี่เป็นเรื่องจริงซึ่งฉันพบว่ามันน่าหงุดหงิดเนื่องจากภูมิหลังทางคณิตศาสตร์ของฉันไม่แรงมาก แต่ฉันต้องการสัญชาตญาณ ทุกคนสามารถแสดงเหตุผลได้หรือไม่

จำได้ว่า$e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

ดังนั้น$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

ตอนนี้ให้เรามี:$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

ตอนนี้จดบันทึกของทั้งสองฝ่าย

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

อีกวิธีหนึ่งคือ:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ (โดยที่ )$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$ (ตั้งแต่ )$\ln(t+1)\leq t$

ตอนนี้รับความคาดหวังของทั้งสองฝ่าย:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

ภาพประกอบ (แสดงการเชื่อมต่อกับความไม่เท่าเทียมของ Jensen):

( นี่คือบทบาทของ X และ Y ที่มีการสับเปลี่ยนเพื่อให้ตรงกับแกนของพล็อต; การวางแผนที่ดีกว่าจะมีการสลับบทบาทของพวกเขาด้านบนเพื่อให้พล็อตตรงกับพีชคณิตมากขึ้น )

เส้นสีทึบแสดงถึงความหมายในแต่ละแกน

อย่างที่เราเห็นเพราะความสัมพันธ์ "โค้งไปที่"ตรงกลาง (และ "อยู่ห่างจาก" ) ค่าเฉลี่ยของ (เส้นแนวนอนสีส้ม) จะเพิ่มขึ้นอีกเล็กน้อยก่อนที่จะกดปุ่มโค้ง (ให้ช่องว่างเล็ก ๆ ) ระหว่าง log (mean (y)) และ mean (log (y)) ที่เราเห็น)Y $X$$Y$$Y$