ความเท่าเทียมกันของ (0 + ปัจจัย | กลุ่ม) และ (1 | กลุ่ม) + (1 | กลุ่ม: ปัจจัย) ข้อมูลจำเพาะของผลกระทบแบบสุ่มในกรณีที่สัดส่วนสมมาตร

ดักลาสเบตส์กล่าวว่าแบบจำลองต่อไปนี้เทียบเท่ากัน "ถ้าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแปรปรวนสำหรับเอฟเฟกต์สุ่ม - ค่าเวกเตอร์มีรูปแบบพิเศษเรียกว่าสมมาตรผสม" ( สไลด์ 91 ในการนำเสนอนี้ ):

m1 <- lmer(y ~ factor + (0 + factor|group), data)
m2 <- lmer(y ~ factor + (1|group) + (1|group:factor), data)

เบตส์เฉพาะใช้ตัวอย่างนี้:

library(lme4)
data("Machines", package = "MEMSS")

m1a <- lmer(score ~ Machine + (0 + Machine|Worker), Machines)
m2a <- lmer(score ~ Machine + (1|Worker) + (1|Worker:Machine), Machines)

ด้วยผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน:

print(m1a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (0 + Machine | Worker)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 208.3112
Random effects:
 Groups   Name     Std.Dev. Corr     
 Worker   MachineA 4.0793            
          MachineB 8.6253   0.80     
          MachineC 4.3895   0.62 0.77
 Residual          0.9616            
Number of obs: 54, groups:  Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917  

print(m2a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (1 | Worker) + (1 | Worker:Machine)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 215.6876
Random effects:
 Groups         Name        Std.Dev.
 Worker:Machine (Intercept) 3.7295  
 Worker         (Intercept) 4.7811  
 Residual                   0.9616  
Number of obs: 54, groups:  Worker:Machine, 18; Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917

ทุกคนสามารถอธิบายความแตกต่างระหว่างแบบจำลองและวิธีm1ลดm2(สมมาตรผสมที่กำหนด) ด้วยวิธีที่เข้าใจง่ายได้หรือไม่?

ในตัวอย่างนี้มีข้อสังเกตสามประการสำหรับการรวมกันของเครื่องจักรทั้งสาม (A, B, C) และแรงงานหกคน ฉันจะใช้เพื่อแสดงเมทริกซ์เอกลักษณ์ -dimensional และเพื่อแสดงเวกเตอร์ -dimensional ของมัน สมมุติว่าคือเวกเตอร์ของการสังเกตที่ฉันจะสมมติว่าได้รับคำสั่งจากคนงานแล้วเครื่องก็ทำซ้ำ ให้เป็นค่าที่คาดหวังที่สอดคล้องกัน (เช่นผลกระทบคงที่) และให้เป็นเวกเตอร์ของการเบี่ยงเบนเฉพาะกลุ่มจากค่าที่คาดหวัง (เช่นผลกระทบแบบสุ่ม) ตามเงื่อนไขบน , โมเดลสำหรับสามารถเขียนได้:$I_n$$n$$1_n$$n$$y$$\mu$$\gamma$$\gamma$$y$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu + \gamma, \sigma^2_y I_{54})$$

โดยที่คือความแปรปรวน "ส่วนที่เหลือ"$\sigma^2_y$

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการที่โครงสร้างของความแปรปรวนของผลกระทบที่ก่อให้เกิดการสุ่มโครงสร้างแปรปรวนในหมู่สังเกตก็คือใช้งานง่ายมากขึ้นในการทำงานร่วมกับเทียบเท่าตัวแทน "ร่อแร่"ซึ่งรวมมากกว่าผลกระทบสุ่ม\รูปแบบขอบของรุ่นนี้คือ$\gamma$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2_y I_{54} + \Sigma)$$

ที่นี่เป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของ (เช่น "องค์ประกอบความแปรปรวน" ซึ่งเป็นพื้นฐานของเอฟเฟกต์แบบสุ่ม) ฉันจะอ้างถึงว่า "ความแปรปรวนร่วม" เล็กน้อย$\Sigma$$\gamma$$\Sigma$

ในตัวคุณm1เอฟเฟกต์แบบสุ่มสลายตัวเป็น:

$$\gamma = Z \theta$$

โดยที่เป็นเมทริกซ์การออกแบบที่แมปค่าสัมประสิทธิ์แบบสุ่มบนการสังเกตและเป็นเวกเตอร์ 18 มิติของค่าสัมประสิทธิ์แบบสุ่มสั่งโดยคนงานแล้วเครื่องจักรและกระจายเป็น:$Z = I_{18} \otimes 1_3$$\theta^T = [\theta_{1,A}, \theta_{1,B}, \theta_{1,C} \dots \theta_{6,A}, \theta_{6,B}, \theta_{6,C}]$

$$\theta \sim \mathcal{N}(0, I_6 \otimes \Lambda)$$

ที่นี่คือความแปรปรวนร่วมของสัมประสิทธิ์แบบสุ่ม สมมติฐานของความสมมาตรแบบผสมหมายความว่ามีสองพารามิเตอร์ซึ่งฉันจะเรียกว่าและและโครงสร้าง:$\Lambda$$\Lambda$$\sigma_\theta$$\tau$

$$\Lambda = \left[\begin{matrix} \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 \end{matrix}\right]$$

(กล่าวอีกนัยหนึ่งความสัมพันธ์ของเมทริกซ์พื้นฐานมีองค์ประกอบทั้งหมดในแนวตั้งเป็นค่าเดียวกัน)$\Lambda$

โครงสร้างความแปรปรวนร่วมที่เกิดจากการสุ่มผลคือดังนั้นความแปรปรวนของการสังเกตการณ์ที่ได้รับคือและความแปรปรวนร่วมระหว่างสอง (แยก) การสังเกตจากคนงานและเครื่องจักรคือ: $\Sigma = Z (I_6 \otimes \Lambda) Z^T$$\sigma^2_\theta + \tau^2 + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \tau^2 & \text{if } i=j, u\neq v \\ \sigma^2_\theta + \tau^2 & \text{if } i=j, u=v \end{cases}$$

สำหรับคุณm2เอฟเฟกต์แบบสุ่มสลายตัวเป็น:

$$\gamma = Z \omega + X \eta$$

โดยที่ Z เป็นมาก่อนเป็นเมทริกซ์การออกแบบที่แมปการดักแบบสุ่มต่อผู้ปฏิบัติงานเข้าสู่การสังเกตเป็นเวกเตอร์ 18 มิติของการสกัดกั้นแบบสุ่มสำหรับการรวมกันของเครื่องจักรและคนงานทุกคน และเป็นเวกเตอร์ 6 มิติของการสกัดกั้นแบบสุ่มสำหรับผู้ปฏิบัติงาน สิ่งเหล่านี้กระจายเป็น ที่ไหนคือความแปรปรวนของการสกัดกั้นแบบสุ่มเหล่านี้$X = I_6 \otimes 1_9$$\omega^T = [\omega_{1,A}, \omega_{1,B}, \omega_{1,C}, \dots, \omega_{6,A}, \omega_{6,B}, \omega_{6,C}]$$\eta^T = [\eta_{1}, \dots, \eta_{6}]$

$$\eta \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\eta I_6)$$ $$\omega \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\omega I_{18})$$ $\sigma_\eta^2, \sigma_\omega^2$

โครงสร้างแปรปรวนส่วนเพิ่มของการm2เป็นเพื่อให้ความแปรปรวนของการสังเกตให้เป็นและความแปรปรวนร่วมระหว่างสองข้อสังเกตจากพนักงานและเครื่องจักรคือ: $\Sigma = \sigma^2_\omega Z Z^T + \sigma^2_\eta X X^T$$\sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \sigma_\eta^2 & \text{if } i=j,u\neq v \\ \sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta & \text{if } i=j,u=v \end{cases}$$

ดังนั้น ...และ\ หากสันนิษฐานว่าเป็นสัดส่วนที่สมมาตรกัน (ซึ่งไม่ได้เกิดจากการที่คุณโทรหา lmer เพราะความแปรปรวนร่วมแบบสุ่มนั้นไม่มีโครงสร้าง) τ 2 ≡ σ 2 $\sigma^2_\theta \equiv \sigma^2_\omega$$\tau^2 \equiv \sigma^2_\eta$ m1

ความกะทัดรัดไม่ได้เป็นจุดแข็งของฉัน: ทั้งหมดนี้เป็นเพียงวิธีที่ซับซ้อนและยาวที่จะบอกว่าแต่ละรุ่นมีพารามิเตอร์แปรปรวนสองแบบสำหรับเอฟเฟกต์แบบสุ่มและเป็นเพียงสองวิธีที่แตกต่างกันในการเขียนโมเดล "ขอบ" เดียวกัน

ในรหัส ...

sigma_theta <- 1.8
tau         <- 0.5
sigma_eta   <- tau
sigma_omega <- sigma_theta
Z <- kronecker(diag(18), rep(1,3))
rownames(Z) <- paste(paste0("worker", rep(1:6, each=9)), 
                     rep(paste0("machine", rep(1:3, each=3)),6))
X <- kronecker(diag(6), rep(1,9))
rownames(X) <- rownames(Z)
Lambda <- diag(3)*sigma_theta^2 + tau^2

# marginal covariance for m1:
Z%*%kronecker(diag(6), Lambda)%*%t(Z)
# for m2:
X%*%t(X)*sigma_eta^2 + Z%*%t(Z)*sigma_omega^2