ข้อผิดพลาดในการประมาณการกระจายผลรวมสม่ำเสมอ

วิธีการที่ไร้เดียงสาวิธีหนึ่งสำหรับการประมาณการแจกแจงแบบปกติคือการเพิ่มตัวแปรสุ่ม IID จำนวน IID ที่กระจายกันอย่างสม่ำเสมอในจากนั้นกลับมาอีกครั้งและดำเนินการใหม่โดยอาศัยทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง ( หมายเหตุด้านข้าง : มีวิธีการที่แม่นยำมากขึ้นเช่นการแปลง Box – Muller ) ผลรวมของ IID $100$ $[0,1]$ $U(0,1)$ ตัวแปรสุ่มเป็นที่รู้จักกันกระจายชุดรวมหรือกระจายเออร์วินฮอลล์

ข้อผิดพลาดมีขนาดใหญ่เพียงใดในการประมาณการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอโดยการแจกแจงแบบปกติ

เมื่อใดก็ตามที่คำถามประเภทนี้เกิดขึ้นเพื่อประมาณผลรวมของตัวแปรสุ่มของ IID ผู้คน (รวมถึงฉัน) จะนำทฤษฎีบท Berry - Esseenมาใช้ซึ่งเป็นเวอร์ชันที่มีประสิทธิภาพของทฤษฎีขีด จำกัด กลางเนื่องจากช่วงเวลาที่สามมีอยู่:

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{C ρ}{σ^{3} \sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{C \rho}{\sigma^3 \sqrt n}$

ที่เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับผลรวมของ rescaled IID ตัวแปรสุ่มเป็นสามช่วงเวลาที่แน่นอนกลาง,เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและเป็นค่าคงที่แน่นอนซึ่งสามารถนำไปเป็นหรือแม้กระทั่ง1/2 $F_n$ $n$ $\rho$ $E|(X-EX)^3|$ $\sigma$ $C$ $1$ $1/2$

สิ่งนี้ไม่น่าพอใจ สำหรับผมแล้วการประมาณ Berry - Esseen นั้นใกล้เคียงที่สุดกับการแจกแจงทวินามที่ไม่ต่อเนื่องโดยมีข้อผิดพลาดที่ใหญ่ที่สุดคือสำหรับการแจกแจงทวินามแบบสมมาตร ข้อผิดพลาดที่ใหญ่ที่สุดมาที่กระโดดที่ใหญ่ที่สุด อย่างไรก็ตามการกระจายผลรวมสม่ำเสมอไม่มีการข้าม $0$

การทดสอบแสดงให้เห็นว่าตัวเลข shrinks ข้อผิดพลาดขึ้นอย่างรวดเร็วกว่าn $c/\sqrt n$

เมื่อใช้ 1/2 ค่าประมาณการของ Berry – Esseen คือ $C=1/2$

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{32}}{\frac{1}{{\sqrt{12}}^{3}} \sqrt{n}} \approx \frac{0.650}{\sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{\frac12 \frac{1}{32}}{\frac{1}{\sqrt{12}^3} \sqrt n} \approx \frac{0.650}{\sqrt n}$

ซึ่งสำหรับประมาณ ,และตามลำดับ ความแตกต่างสูงสุดที่เกิดขึ้นจริงสำหรับดูเหมือนจะเป็นประมาณ , และตามลำดับซึ่งมีขนาดเล็กกว่ามากและดูเหมือนจะลดลงเป็นแทนที่จะเป็น $n=10,20,40$ $0.205$ $0.145$ $0.103$ $n=10, 20, 40$ $0.00281$ $0.00139$ $0.000692$ $c/n$ $c/\sqrt n$ .

— ดักลาสแซร์
แหล่งที่มา

หากคุณขยายการกระจายของผลรวมในการขยาย Edgeworthคุณจะพบว่า

สม่ำเสมอใน

เป็น

(เนื่องจาก การกระจายตัวแบบสมมาตร) ดังนั้น

ฟังดูถูก เนื่องจาก

F_{n} (x) = Φ (x) + n^{- 1} g (x) + o (n^{- 1})

$F_n(x)=\Phi(x)+n^{-1}g(x)+o(n^{-1})$

x

$x$

n \to \infty

$n\rightarrow\infty$

c / n

$c/n$

o (n^{- 1})

$o(n^{-1})$ คำที่ไม่ได้ให้ขอบเขตแม้ว่า ...

— MånsT

ขอบคุณที่ดูเหมือนว่ามันจะอธิบายรูปแบบ

สำหรับการแจกแจงอื่น ๆ อีกมากมายเช่นกัน

c / n

$c/n$

— Douglas Zare

ให้เป็น iid ตัวแปรสุ่มและพิจารณาผลรวมปกติ $U_1, U_2,\dots$ $\mathcal U(-b,b)$ และที่เกี่ยวข้องบรรทัดฐาน

S_{n} = \frac{\sqrt{3} \sum_{i = 1}^{n} U_{i}}{b \sqrt{n}},

$S_n = \frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^n U_i}{b \sqrt{n}} \>,$

sup

$\sup$

ที่

คือการกระจายของ

δ_{n} = sup_{x \in R} | F_{n} (x) - Φ (x) |,

$\delta_n = \sup_{x\in\mathbb R} |F_n(x) - \Phi(x)| \>,$

F_{n}

$F_n$

S_{n}

$S_n$ n

แทรก 1 ( Uspensky ): ต่อไปนี้ถูกผูกไว้ในถือ $\delta_n$

δ_{n} < \frac{1}{7.5 π n} + \frac{1}{π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} \exp (- π^{2} n / 24) .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} + \frac{1}{\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} \exp(-\pi^2 n / 24) \>.$

พิสูจน์พิสูจน์ดู JV Uspensky (1937), ความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น , นิวยอร์ก: McGraw-Hill, p. 305

นี่คือการปรับปรุงในภายหลังโดย R. Sherman ต่อไปนี้

เลมม่า 2 ( เชอร์แมน ): การปรับปรุงดังต่อไปนี้ในขอบเขตของ Uspensky

δ_{n} < \frac{1}{7.5 π n} - (\frac{π}{180} + \frac{1}{7.5 π n}) e^{- π^{2} n / 24} + \frac{1}{(n + 1) π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} e^{- π^{2} n / 24} .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} - \left(\frac{\pi}{180}+\frac{1}{7.5\pi n}\right) e^{-\pi^2 n / 24} + \frac{1}{(n+1)\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} e^{-\pi^2 n / 24} \>.$

หลักฐาน : ดูอาร์เชอร์แมน, ข้อผิดพลาดของการประมาณปกติผลรวมของ N ตัวแปรสุ่ม , Biometrika , ฉบับที่ 58, ไม่มี 2, 396–398

$(\sin x) / x$

— พระราชาคณะ
แหล่งที่มา

N = n

$N=n$

@Procrastinator: จับได้ดี

— พระคาร์ดินัล

2

$2$