ถ้า

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง $X$ หาก $E(|X|)$ มีค่า จำกัด คือ $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$ ?

นี่เป็นปัญหาที่ฉันพบบนอินเทอร์เน็ต แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะมีหรือไม่

ฉันรู้ว่า $n P(|X|>n)<E(|X|)$ ถือโดยอสมมาตรมาร์คอฟ แต่ฉันไม่สามารถแสดงได้ว่ามันจะเป็น 0 เมื่อ $n$ ไปที่อนันต์

probability expected-value probability-inequalities

(1) ไม่จำเป็นต้องมีความต่อเนื่อง (2) แสดงความคาดหวังเป็นหนึ่งของฟังก์ชั่นการอยู่รอดที่n) (3) พิจารณาการควบคุมสิ่งที่ไม่ จำกัด จำนวนศูนย์จะบอกเป็นนัยเกี่ยวกับความคาดหวังได้อย่างไร

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$

— whuber

@ การออกกำลังกายที่ดีเยี่ยม! ฉันคิดว่าฉันมีคำตอบที่ถูกต้อง แต่เนื่องจากดูเหมือนself-studyฉันไม่คิดว่าฉันควรเขียนที่นี่ ฉันสามารถสร้างห้องแชทส่วนตัวและแสดงวิธีแก้ปัญหาให้ฉันเพื่อที่คุณจะสามารถบอกได้ว่ามันถูกต้องหรือไม่?

— DeltaIV

@Delta นี่เป็นกรณีที่การโพสต์คำตอบของคุณดูเหมือนจะดีสำหรับฉัน: OP มีคำถามย่อยเฉพาะและไม่ปรากฏว่าเป็นการหลอกหลอนคำตอบการบ้าน

— whuber

@ เมื่อมีสิ่งนี้ทำให้ฉันนึกถึงการไม่มีการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอของตัวเลขธรรมชาติ - นี่หมายความว่าในขณะที่ไม่จำเป็นต้องมีความต่อเนื่องที่นี่ความสามารถในการนับเพิ่มคืออะไร?

— Bill Clark

คำตอบ:

ดูลำดับของตัวแปรสุ่มกำหนดโดยเก็บค่าขนาดใหญ่เพียง:เป็นที่ชัดเจนว่าดังนั้นโปรดทราบว่าและสำหรับแต่ละnดังนั้น LHS ของ (1) มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์โดยบรรจบเด่น $\{Y_n\}$ $|X|$

Y_{n} := | X | I (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$

n

$n$

— grand_chat
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าคุณหมายถึง "RHS" ในประโยคสุดท้ายของคุณไม่อย่างนั้นก็ทำได้ดี!

— jbowman

@jbowman, s / เขาหมายถึงโดยทฤษฎีการบรรจบที่โดดเด่น (โปรดทราบว่าเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะบรรลุข้อสรุปนั้น) ฉันได้เพิ่มลิงก์ไปยัง DCT บน wikipedia

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$

— P.Windridge

@ P.Windridge - ฉันไม่ได้อ่านอย่างละเอียดพอและเชื่อมโยง "So LHS" กับสมการที่ 1 แทนที่จะใช้ประโยคก่อนหน้า ความผิดฉันเอง.

— jbowman

โปรดทราบว่าเป็นตัวแปรสุ่ม ในแง่ใด

Y_{n}

$Y_n$

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$

— YHH

@YHH คอนเวอร์เจนซ์นั้นเป็นจุด: สำหรับทุก ,

ω

$\omega$

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$ เช่น

n \to \infty

$n\to\infty$ .

— grand_chat

ฉันสามารถให้คำตอบสำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง (แน่นอนมีคำตอบทั่วไปมากขึ้น) ปล่อย $Y=|X|$ :

E [Y] = \int_{0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 - F_{Y} (n)) = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

ดังนั้น

0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

ตอนนี้เนื่องจากโดยสมมติฐาน $\mathbb{E}[Y]$ มี จำกัด เรามีสิ่งนั้น

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

แล้วก็

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

โดยทฤษฎีบทแซนด์วิช

— DeltaIV
แหล่งที่มา

@ P.Windridge คุณช่วยโปรดตรวจสอบว่าการใช้ทฤษฎีการลู่เข้าครอบงำของฉันถูกต้องหรือไม่? ฉันมีปริมาณ

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$ ซึ่งไม่เป็นค่าลบและไม่มากกว่าปริมาณที่มีค่า จำกัด เท่ากับ 0

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$ ในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของฉัน ขอบคุณ

— DeltaIV

@ DeltaIV- ก่อนเพื่อชี้แจง "

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$ และ

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$ หมายถึง

b_{n} \to l

$b_n\to l$ "ไม่ใช่ทฤษฎีบทบรรจบที่โดดเด่น (โดยปกติจะเรียกว่าทฤษฎีบทแซนด์วิช)

— P.Windridge

@ DeltaIV- ไม่คุณไม่ต้องการ DCT, MCT ก็เพียงพอแล้ว (รวมถึงความเป็นไปได้ที่

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$ แต่คุณไม่สามารถพูดได้

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$ ! )

— P.Windridge

ไม่มีปัญหา. Btw ฉันรู้

E [Y]

$E[Y]$ มีข้อ จำกัด แน่นอนโดยฉันเพิ่งอธิบายว่าคุณใช้สมมติฐานนั้นอย่างไร (MCT ไม่ต้องการมันเหมือน DCT ซึ่ง @grand_chat ใช้และฉันหวังว่าคุณจะดู :))

— P.Windridge

@ P.Windridge ah, ok! ฉันไม่ได้สังเกตว่า MCT ไม่ต้องการสมมติฐาน ฉันได้ดู DCT นั่นคือเหตุผลที่ฉันคิดว่าฉันไม่ต้องการมันเพื่อการพิสูจน์ของฉัน :) ฉันจ่ายในราคาที่ไม่ได้รับการสอนเกี่ยวกับการบูรณาการ Lebesgue ที่มหาวิทยาลัย ... ด้วยเหตุนี้ฉันจึงเคย ทำแคลคูลัสความน่าจะเป็นในรูปของ pdf แทนที่จะเป็นในแง่ของมาตรการ

— DeltaIV

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$ (บูรณาการอย่างสม่ำเสมอ)

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

กล่าวคือ $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

— Aldehu
แหล่งที่มา