ค่าบันทึกที่คาดหวังของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่ไม่ใช่ศูนย์

สมมติว่าไม่กระจายกลางชี้แจงกับสถานที่ตั้งของและอัตรา\จากนั้นคืออะไร$X$$k$$\lambda$$E(\log(X))$

ฉันรู้ว่าสำหรับคำตอบคือ- \ log (\ lambda) - \ gammaโดยที่\ gammaเป็นค่าคงที่ออยเลอร์ - มาเชอร์โรนี่ สิ่งที่เกี่ยวกับเมื่อk> 0 ?$k=0$$-\log(\lambda) - \gamma$$\gamma$$k > 0$

อินทิกรัลที่ต้องการสามารถปล้ำไปสู่การยอมจำนนโดยการใช้กำลังดุร้าย ที่นี่เราพยายามให้ทางเลือกที่มาพร้อมกับความน่าจะเป็นเล็กน้อย

Letจะเป็นตัวแปรสุ่ม noncentral ชี้แจงกับสถานที่ตั้งของพารามิเตอร์และอัตราพารามิเตอร์\จากนั้นที่แลมบ์ดา)$X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$$k > 0$$\lambda$$X = Z + k$$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

โปรดทราบว่าและดังนั้นโดยใช้ข้อเท็จจริงมาตรฐานสำหรับการคำนวณความคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ลบ , แต่บนตั้งแต่และ ที่ความเสมอภาคสุดท้ายดังต่อไปนี้จากการทดแทน$\log(X/k) \geq 0$

$$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$$ $\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$$z \geq 0$$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ $$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$$ $t = \lambda k e^z$สังเกตว่าT$\rd z = \rd t / t$

อินทิกรัลขนาดทางขวามือของจอแสดงผลสุดท้ายคือตามคำนิยามและ ตามที่ยืนยันโดยการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของ @ Procrastinatorในความคิดเห็นของคำถาม$\Gamma(0,\lambda k)$

$$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$$

NB : เทียบเท่าสัญกรณ์ก็มักจะใช้ในสถานที่ของx)$\mathrm E_1(x)$$\Gamma(0,x)$