จะประมาณความแม่นยำของอินทิกรัลได้อย่างไร?

สถานการณ์ที่พบบ่อยมากในคอมพิวเตอร์กราฟฟิคคือสีของบางพิกเซลเท่ากับส่วนที่สำคัญของฟังก์ชั่นที่มีมูลค่าจริง บ่อยครั้งที่ฟังก์ชั่นนั้นซับซ้อนเกินกว่าที่จะแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ดังนั้นเราจึงเหลือการประมาณเชิงตัวเลข แต่ฟังก์ชั่นมักจะมีราคาแพงมากในการคำนวณดังนั้นเราจึงถูก จำกัด อย่างมากในจำนวนตัวอย่างที่เราสามารถคำนวณได้ (เช่นคุณไม่สามารถตัดสินใจที่จะรับตัวอย่างหนึ่งล้านตัวอย่างและทิ้งไว้ที่นี่)

โดยทั่วไปแล้วสิ่งที่คุณต้องการทำคือประเมินฟังก์ชันที่จุดที่เลือกแบบสุ่มจนกระทั่งอินทิกรัลประมาณกลายเป็น "แม่นยำเพียงพอ" ซึ่งนำมาสู่คำถามจริงของฉัน: คุณประเมิน "ความถูกต้อง" ของอินทิกรัลอย่างไร?

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรามีซึ่งดำเนินการโดยอัลกอริทึมคอมพิวเตอร์ที่ซับซ้อนและช้า เราต้องการประเมิน$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

เราสามารถคำนวณสำหรับเราปรารถนาได้ แต่มันมีราคาแพง ดังนั้นเราต้องการเลือกค่าหลายค่าแบบสุ่มและหยุดเมื่อค่าประมาณของกลายเป็นที่ยอมรับได้อย่างแม่นยำ แน่นอนว่าในการทำเช่นนี้เราจำเป็นต้องทราบว่าการประมาณการในปัจจุบันนั้นแม่นยำเพียงใดx x $f(x)$$x$$x$$k$

ฉันไม่แน่ใจด้วยซ้ำว่าเครื่องมือทางสถิติใดที่เหมาะสำหรับปัญหาประเภทนี้ แต่สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าถ้าเราไม่รู้อะไรเกี่ยวกับอย่างแน่นอนปัญหาก็แก้ไม่ได้ ตัวอย่างเช่นถ้าคุณคำนวณหนึ่งพันครั้งและมันก็เป็นศูนย์เสมออินทิกรัลที่ประมาณไว้ของคุณจะเป็นศูนย์ แต่ไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับf ( x ) $f$$f(x)$$f$มันยังคงเป็นไปได้ที่ทุกที่ยกเว้นจุดที่คุณสุ่มตัวอย่างดังนั้นการประเมินของคุณจึงผิดอย่างมาก!$f(x) = 1,000,000$

บางทีคำถามของฉันควรเริ่มด้วย"เราต้องรู้อะไรเกี่ยวกับเพื่อให้สามารถประเมินความถูกต้องของอินทิกรัลของเราได้$f$ ?" ตัวอย่างเช่นเรามักรู้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะเป็นลบซึ่งดูเหมือนจะเป็นข้อเท็จจริงที่เกี่ยวข้อง ...$f$

แก้ไข:ตกลงดังนั้นสิ่งนี้ดูเหมือนจะสร้างคำตอบมากมายซึ่งเป็นสิ่งที่ดี แทนที่จะตอบกลับเป็นรายบุคคลฉันจะพยายามเติมภูมิหลังเพิ่มเติมที่นี่

เมื่อฉันบอกว่าเรารู้ "ไม่มีอะไร" เกี่ยวกับฉันหมายความว่าเราสามารถคำนวณfได้ แต่เราไม่รู้อะไรเพิ่มเติมเกี่ยวกับf ฉันคาดหวัง (และความคิดเห็นดูเหมือนจะเห็นด้วย) ว่าการมีความรู้มากขึ้นทำให้เราสามารถใช้อัลกอริทึมที่ดีกว่าได้ ดูเหมือนว่าการรู้ขอบเขตบนfและ / หรืออนุพันธ์อันดับแรกของfจะมีประโยชน์$f$$f$$f$$f$

ในส่วนของปัญหาที่ฉันคิดเกี่ยวกับเปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดเหตุและสถานที่เกิดเหตุภายในภายใต้การพิจารณา ไม่ใช่พีชคณิตที่ดีและเรียบร้อยที่คุณสามารถวิเคราะห์ได้ โดยทั่วไปแล้วfหมายถึงความเข้มของแสง เห็นได้ชัดว่าความเข้มของแสงไม่สามารถเป็นค่าลบได้ แต่ไม่มีข้อ จำกัด ว่าค่าบวกของมันจะมีขนาดใหญ่เพียงใด และในที่สุดขอบของวัตถุมักส่งผลให้เกิดความไม่ต่อเนื่องที่คมชัดในfและโดยทั่วไปคุณไม่สามารถทำนายได้ว่าตำแหน่งเหล่านี้อยู่ที่ใด$f$$f$$f$

ในระยะสั้นถูกสาปเที่ยวยุ่งยิ่งดังนั้นพอร์ตแรกของการเรียกร้องที่จะขอให้สิ่งที่เราสามารถทำอะไรกับมันได้รับไม่มีข้อมูลเพิ่มเติม ปรากฏว่าไม่มีขอบเขตอย่างน้อยด้านบนและล่างคำตอบคือ "ไม่เลวมาก" ... ดังนั้นดูเหมือนว่าฉันจะต้องเริ่มต้นการตั้งสมมติฐานบางอย่างเพื่อให้ความคืบหน้าตรงนี้$f$

นอกจากนี้เมื่อจำนวนครั้งที่ "Monte Carlo" เพิ่มขึ้นฉันเดาว่านั่นเป็นศัพท์เทคนิคสำหรับการรวมกลุ่มเช่นนี้หรือไม่

$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$

$f$

อ่านเสริมของหลักสูตรนี้จะNiederreiter (1992)เอกสาร