คำถาม (แก้ไขเล็กน้อย) จะเป็นดังนี้และหากคุณไม่เคยพบมาก่อนคุณสามารถตรวจสอบได้ในตัวอย่าง 6a บทที่ 2 ของหลักสูตรแรกของ Sheldon Ross ' A Probability :

สมมติว่าเรามีโกศที่มีขนาดใหญ่มากและมีคอลเลกชันที่ไม่มีที่สิ้นสุดของลูกบอลที่มีป้ายหมายเลข 1 หมายเลข 2 หมายเลข 3 และอื่น ๆ พิจารณาการทดลองที่ดำเนินการดังต่อไปนี้: ที่ 1 นาทีถึง 12.00 น. ลูกบอลหมายเลข 1 ถึง 10 จะถูกวางในโกศและลูกบอลหนึ่งลูกออกโดยการสุ่ม (สมมติว่าการถอนออกใช้เวลาไม่นาน) เวลา 1/2 นาทีถึง 12.00 น. ลูกที่มีหมายเลข 11 ถึง 20 จะถูกวางในโกศและลูกบอลอื่นจะถูกนำออกโดยการสุ่ม ที่ 1/4 นาทีถึง 12P.M. ลูกบอลหมายเลข 21 ถึง 30 จะถูกวางไว้ในโกศและลูกบอลอื่นจะถูกนำออกโดยการสุ่ม ... และต่อไป คำถามที่น่าสนใจคือมีกี่ลูกในโกศเวลา 12.00 น.

คำถามนี้เมื่อถูกโพสต์บังคับให้ทุกคนเข้าใจผิด --- โดยปกติแล้วสัญชาตญาณคือจะบอกว่าจะมีลูกบอลจำนวนมากในเวลา 12.00 น. คำตอบที่รอสส์ให้ไว้คือความเป็นไปได้ที่โกศจะว่างเปล่า เวลา 12.00 น

เมื่อสอนทฤษฎีความน่าจะเป็นปัญหานี้เป็นปัญหาหนึ่งที่ยากมากที่จะให้คำอธิบายที่เข้าใจง่าย

ในอีกด้านหนึ่งคุณสามารถลองอธิบายได้ดังนี้: "คิดถึงความน่าจะเป็นของลูกบอลใด ๆ ที่ฉันอยู่บนโกศเวลา 12.00 น. ในระหว่างการสุ่มสุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุดมันจะถูกลบออกในที่สุด ของพวกเขาสามารถอยู่ที่นั่นในตอนท้าย "

อย่างไรก็ตามนักเรียนจะโต้เถียงกับคุณอย่างถูกต้อง: "แต่ฉันใส่ 10 ลูกและเอา 1 ลูกออกในแต่ละครั้งมันเป็นไปไม่ได้ที่จะมีศูนย์บอลท้าย"

อะไรคือคำอธิบายที่ดีที่สุดที่เราสามารถมอบให้พวกเขาเพื่อแก้ปัญหาความเชื่อที่ขัดแย้งกันเหล่านี้

ฉันยังเปิดให้มีการโต้แย้งคำถามที่ไม่ดีและถ้าเรากำหนดได้ดีกว่า "บุคคลที่ผิดธรรมดา" หายไปหรือโต้แย้งว่าบุคคลที่ผิดธรรมดาเป็น "คณิตศาสตร์ล้วนๆ" (แต่โปรดพยายามให้ถูกต้องเกี่ยวกับเรื่องนี้)

รอสส์อธิบายถึงสามรุ่นนี้ "ความขัดแย้ง" ใน 6a ตัวอย่างในตำราเรียนของเขา ในแต่ละรุ่นจะมีการเพิ่ม 10 ลูกในโกศและ 1 ลูกจะถูกลบออกในแต่ละขั้นตอนของกระบวนการ

1. ในเวอร์ชั่นแรกลูกบอล -th จะถูกลบออกในขั้นตอน -th มีเหลืออีกหลายลูกหลังจากเที่ยงคืนเนื่องจากลูกบอลทั้งหมดที่มีหมายเลขที่ไม่ลงท้ายด้วยศูนย์ยังคงอยู่ในนั้น$10n$$n$

2. ในรุ่นที่สองลูก -th จะถูกลบออกในขั้นตอนที่ -th มีศูนย์บอลเหลือทิ้งไว้หลังเที่ยงคืนเพราะในที่สุดลูกบอลแต่ละลูกจะถูกลบออกในขั้นตอนที่เกี่ยวข้อง$n$$n$

3. ในรุ่นที่สามลูกบอลจะถูกลบอย่างสม่ำเสมอโดยการสุ่ม รอสส์คำนวณความน่าจะเป็นของลูกบอลแต่ละลูกที่จะถูกลบออกโดยขั้นตอนที่และพบว่ามันไปบรรจบกับเป็น (โปรดสังเกตว่านี่ไม่ชัดเจน! จริง ๆ แล้วต้องทำการคำนวณ) ซึ่งหมายความว่าโดยความไม่เท่าเทียมกันของ Booleว่าน่าจะเป็นของการมีลูกเป็นศูนย์ในท้ายที่สุดยังเป็นที่11 n → ∞ $n$$1$$n\to\infty$$1$

คุณกำลังบอกว่าข้อสรุปสุดท้ายนี้ไม่ง่ายและยากที่จะอธิบาย นี้ได้รับการสนับสนุนอย่างน่าพิศวงด้วยคำตอบและความคิดเห็นที่สับสนมากมายในชุดข้อความนี้ อย่างไรก็ตามบทสรุปของรุ่นที่สองนั้นไม่สามารถหยั่งรู้ได้! และมันไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นหรือสถิติ ฉันคิดว่าหลังจากที่ยอมรับเวอร์ชั่นที่สองไม่มีอะไรน่าประหลาดใจเป็นพิเศษเกี่ยวกับเวอร์ชันที่สามอีกต่อไป

ดังนั้นในขณะที่การสนทนา "probabilistic" จะต้องเกี่ยวกับรุ่นที่สาม [ดูคำตอบที่ชาญฉลาดมากโดย @ paw88789, @Paul และ @ ekvall] การสนทนา "ทางปรัชญา" ควรเน้นที่รุ่นที่สองซึ่งง่ายกว่าและคล้ายคลึงกันใน จิตวิญญาณไปที่โรงแรมฮิลแบร์ต

---

รุ่นที่สองเป็นที่รู้จักกันเป็นเส้นขนาน Ross-Littlewood ฉันเชื่อมโยงไปยังหน้า Wikipedia แต่การอภิปรายมีความสับสนอย่างน่ากลัวและฉันไม่แนะนำให้อ่านเลย แต่จะดูที่หัวข้อ MathOverflow นี้จากปีที่ผ่านมา ตอนนี้ปิดแล้ว แต่มีคำตอบที่เข้าใจง่ายมาก สรุปสั้น ๆ ของคำตอบที่ฉันพบว่าสำคัญที่สุดมีดังนี้

เราสามารถกำหนดตั้งของลูกอยู่ในโกศหลังจากขั้นตอนที่nเรามี , , ฯลฯ มีแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดไว้อย่างดีถึงขีด จำกัด ของลำดับของเซตและสามารถพิสูจน์ได้อย่างจริงจัง ว่าขีด จำกัด ของลำดับนี้มีอยู่และเป็นเซตว่าง\อันที่จริงลูกใดที่สามารถอยู่ในขีด จำกัด ได้? เฉพาะคนที่ไม่เคยถูกลบออก แต่ในที่สุดลูกบอลทุกอันจะถูกลบออก ดังนั้นขีด จำกัด จึงว่างเปล่า เราสามารถเขียน\ n S 1 = { 2 , … 10 } S 2 = { 3 , … 20 } ∅ S n → $S_n$$n$$S_1=\{2,\ldots 10\}$$S_2=\{3,\ldots 20\}$$\varnothing$$S_n \to \varnothing$

ในเวลาเดียวกันหมายเลขของลูกในชุดยังเป็นที่รู้จัก cardinality ของชุดนี้ที่มีค่าเท่ากับ10N-nลำดับจะเห็นได้ชัดแยกหมายความว่า cardinality ลู่ไป cardinality ของยังเป็นที่รู้จักaleph ศูนย์ \ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนว่า\S n 10 n - n = 9 n 9 n N ℵ 0 | S n | → ℵ $|S_n|$$S_n$$10n-n=9n$$9n$$\mathbb N$ $\aleph_0$$|S_n|\to \aleph_0$

"บุคคลที่ผิดธรรมดา" ในตอนนี้คือข้อความทั้งสองนี้ขัดแย้งกัน:

$$\begin{align} S_n &\to \varnothing \\ |S_n| &\to \aleph_0 \ne 0 \end{align}$$

แต่แน่นอนว่าไม่มีความขัดแย้งที่แท้จริงและไม่มีความขัดแย้ง ไม่มีใครบอกว่าการใช้ความสำคัญกับหัวใจเป็นการดำเนินการแบบ "ต่อเนื่อง" ดังนั้นเราจึงไม่สามารถแลกเปลี่ยนได้ด้วยการ จำกัด :กล่าวอีกนัยหนึ่งจากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมดเราไม่สามารถสรุปได้ว่า(มูลค่าที่ลำดับแรก ) มีค่าเท่ากับ\แทนจะต้องมีการคำนวณโดยตรงและกลายเป็นศูนย์

$$\lim |S_n| \ne |\lim S_n|.$$ n ∈ N | S ω | ∞ | S ω $|S_n|=9n$$n\in \mathbb N$$|S_\omega|$$\infty$$|S_\omega|$

ดังนั้นฉันคิดว่าสิ่งที่เราได้รับจากสิ่งนี้จริง ๆ คือข้อสรุปว่าการใช้ความสำคัญคือการดำเนินการที่ไม่ต่อเนื่อง ... [@HarryAltman]

ดังนั้นฉันคิดว่าความขัดแย้งนี้เป็นเพียงแนวโน้มของมนุษย์ที่จะคิดว่าการดำเนินการ "ง่าย" นั้นต่อเนื่อง [@NateEldredge]

---

ง่ายต่อการทำความเข้าใจกับฟังก์ชั่นแทนการตั้งค่า พิจารณาฟังก์ชั่น (ตัวบ่งชี้ที่รู้จัก) ฟังก์ชั่นของชุดซึ่งถูกกำหนดให้เท่ากับหนึ่งในช่วงและศูนย์อื่น ๆ ฟังก์ชั่นสิบประการแรกมีลักษณะเช่นนั้น (เปรียบเทียบ ASCII art จากคำตอบของ @ Hurkyl):S n [ n , 10 n $f_n(x)$$S_n$$[n, 10n]$

$\quad\quad\quad$

ทุกคนจะเห็นว่าแต่ละจุดเรามี0 นี้โดยความหมายหมายความว่าฟังก์ชั่นมาบรรจบกันเพื่อฟังก์ชั่น 0 อีกครั้งทุกคนจะเห็นด้วยกับที่ อย่างไรก็ตามสังเกตว่าอินทิกรัลของฟังก์ชั่นเหล่านี้มีขนาดใหญ่ขึ้นและใหญ่ขึ้นและลำดับของอินทิกรัล diverges ในคำอื่น ๆ Lim ฉn ( ) = 0 ฉn ( x ) กรัม( x ) = 0 ∫ ∞ 0 F ( x ) d x = 9 $a\in\mathbb R$$\lim f_n(a) = 0$$f_n(x)$$g(x)=0$$\int_0^\infty f(x)dx = 9n$

$$\lim\int f_n(x)dx \ne \int \lim f_n(x) dx.$$

นี่คือผลการวิเคราะห์ที่ได้มาตรฐานและคุ้นเคยอย่างสมบูรณ์ แต่มันเป็นการปฏิรูปที่ขัดแย้งกันของเราอย่างแน่นอน!

วิธีที่ดีในการทำให้ปัญหาเป็นระเบียบคือการอธิบายสถานะของเหยือกไม่ใช่ชุด (เซตย่อยของ ) เพราะสิ่งเหล่านี้ยากที่จะ จำกัด แต่เป็นลักษณะของฟังก์ชัน "บุคคลที่ผิดธรรมดา" คนแรกคือขอบเขตที่ จำกัด ไม่เหมือนกันกับข้อ จำกัด เครื่องแบบ [@ TheoJohnson-Freyd]$\mathbb N$

จุดสำคัญคือการที่ "ที่เที่ยงคืนเที่ยง" ลำดับอนันต์ทั้งหมดได้ผ่านไปแล้วคือที่เราทำ "trasfinite กระโดด" และมาถึงtransfiniteรัฐ(x) ค่าของอินทิกรัล "ตอนเที่ยงคืนเที่ยงคืน " ต้องเป็นค่าของอินทิกรัลของไม่ใช่วิธีอื่นLim ฉ$f_\omega = \lim f_n(x)$$\lim f_n$

---

โปรดทราบว่าคำตอบบางส่วนในกระทู้นี้ทำให้เข้าใจผิดแม้จะถูกถอนออกไปอย่างมาก

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง @cmaster คำนวณซึ่งเป็นอนันต์แน่นอน แต่นี่ไม่ใช่สิ่งที่ขัดแย้งกันถาม บุคคลที่ผิดธรรมดาถามว่าเกิดอะไรขึ้นหลังจากลำดับขั้นตอนไม่สิ้นสุด นี่คือการก่อสร้าง transfinite ดังนั้นเราจำเป็นต้องคำนวณซึ่งเท่ากับศูนย์ตามที่อธิบายไว้ข้างต้นballCount ( S ω$\lim_{n\to\infty} \operatorname{ballCount}(S_n)$$\operatorname{ballCount}(S_\omega)$

Hurkyl (ในคำตอบ) และ Dilip Sarwate (ในความคิดเห็น) ให้สองตัวแปรกำหนดทั่วไปของปริศนานี้ ในทั้งสองสายพันธุ์ที่ขั้นตอนลูกบอลเพิ่มถึงลงในกอง ( ) 10 k - 9 10 k k = 1 , 2 , . $k$$10k-9$$10k$$k=1,2,...$

ในรูปแบบของ Hurkyl ballจะถูกลบออก ในตัวแปรนี้ในสามารถแตกหักที่ถกเถียงกันอยู่ว่ามีลูกไม่เหลือเพราะลูกจะถูกลบออกในขั้นตอนnn $k$$n$$n$

ในการเปลี่ยนแปลงของ Dilip Sarwate ลูกบอลจะถูกลบออกที่ขั้นตอนและดังนั้นในตัวแปรนี้ลูกบอลทั้งหมดที่ไม่ใช่ทวีคูณของยังคงอยู่ ในตัวแปรนี้มีลูกบอลจำนวนมากในโกศในตอนท้ายk $10k$$k$$10$

ด้วยตัวแปรทั้งสองนี้เป็นกรณีขอบเราจะเห็นว่ามีสิ่งต่าง ๆ มากมายเกิดขึ้นเมื่อทำกระบวนการนี้ ตัวอย่างเช่นคุณสามารถจัดให้มีจำนวน จำกัด ของลูกบอลที่เหลืออยู่ในตอนท้ายโดยทำกระบวนการของ Hurkyl แต่ข้ามการกำจัดลูกบอลบางอย่างออกไป ในความเป็นจริงสำหรับชุดใด ๆ ที่มีส่วนประกอบที่นับไม่ถ้วน (ในจำนวนธรรมชาติ (บวก)) คุณสามารถมีชุดของลูกบอลที่เหลืออยู่ในตอนท้ายของกระบวนการ$B$

เราสามารถดูการเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มของปัญหา (ที่กำหนดในโพสต์ต้นฉบับ) เป็นการเลือกฟังก์ชันโดยมีเงื่อนไขที่ (i)เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งและ (ii)สำหรับทุก{N} f f ( k ) ≤ 10 k k ∈ $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$$f$$f(k)\le 10k$$k\in \mathbb{N}$

อาร์กิวเมนต์ที่ให้ไว้ในหนังสือของเชลดอนรอสส์ (อ้างอิงในโพสต์) แสดงให้เห็นว่าเกือบทั้งหมด (ในแง่ความน่าจะเป็น) ฟังก์ชั่นดังกล่าวเป็นความจริงในฟังก์ชั่น (surjections)

ฉันเห็นว่านี่ค่อนข้างคล้ายคลึงกับสถานการณ์ของการเลือกตัวเลขจากการแจกแจงแบบเดียวกันในและถามว่าความน่าจะเป็นที่ตัวเลขนั้นอยู่ในชุดคันทอร์ (ฉันใช้ชุดคันทอร์แทนที่จะพูด จำนวนตรรกยะเนื่องจากชุดคันทอร์ไม่สามารถนับได้) ความน่าจะเป็นคือถึงแม้ว่าจะมีตัวเลขจำนวนมาก (นับไม่ถ้วน) ในชุดคันทอร์ที่สามารถเลือกได้ ในปัญหาการลบลูกบอลชุดของลำดับที่มีลูกบอลเหลืออยู่กำลังเล่นบทบาทของชุดคันทอร์[ 0 , 1 ] $x$$[0,1]$$0$

---

แก้ไข: เบ็นมิลล์วูดชี้ให้เห็นอย่างถูกต้องว่ามีลูกบอลจำนวน จำกัด ซึ่งไม่สามารถเป็นเซตที่เหลือได้ ตัวอย่างเช่นไม่สามารถเป็นชุดที่เหลือได้ คุณสามารถมีที่มากที่สุดแรกลูกบอลที่เหลือสำหรับ...90 % 10 n n = 1 , 2 , 3 , . $1,2,...,10$$90\%$$10n$$n=1,2,3,...$

คำตอบของ Enumarisนั้นสมบูรณ์แบบในปัญหาข้อ จำกัด การเบี่ยงเบน อย่างไรก็ตามคำถามนี้สามารถตอบได้ในทางที่ไม่คลุมเครือ ดังนั้นคำตอบของฉันจะแสดงให้คุณเห็นอย่างแม่นยำว่าการแก้ปัญหาแบบ zero ball ผิดพลาดอย่างไรและทำไมการแก้ปัญหาแบบสัญชาตญาณจึงเป็นวิธีที่ถูกต้อง

---

มันเป็นความจริงว่าสำหรับบอลใด ๆความน่าจะเป็นของการอยู่ในโกศที่จุดสิ้นสุดนั้นเป็นศูนย์ จะแม่นยำเป็นเพียงขีด จำกัดที่ศูนย์:0P ( n ) P ( n ) = lim N → ∞ P ( n , N ) = $n$$P(n)$$P(n) = \lim_{N\to\infty} P(n, N) = 0$

ตอนนี้คุณพยายามคำนวณผลรวม การคำนวณที่เสียหายจะข้ามไปที่ส่วนโดยบอกว่าเป็นศูนย์ในขีด จำกัด ดังนั้นผลรวมจึงมีเพียงเทอมศูนย์เท่านั้นดังนั้นผลรวมจึงเป็นศูนย์เอง: P(n,N) lim N → ∞ ballCount ( N

$$\lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N).$$ $P(n,N)$ $$\begin{align} \lim_{N\to\infty}\operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ \text{broken step here }\longrightarrow &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} \lim_{N\to\infty} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} 0 \\ &= \lim_{N\to\infty} 10 N\times 0 \\ &= 0 \end{align}$$

อย่างไรก็ตามนี่เป็นการแยกออกเป็นสองส่วนอย่างผิดกฎหมาย คุณไม่สามารถเพียงแค่ย้ายลงไปในผลรวมถ้าขอบเขตของทุนขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของ\คุณต้องแก้โดยรวมลิมลิม$\lim$$\lim$$\lim$$\lim$

ดังนั้นวิธีที่ถูกต้องเท่านั้นที่จะแก้ปัญหานี้คือการแก้ปัญหาผลรวมเป็นครั้งแรกโดยใช้ความจริงที่ว่าสำหรับการใด ๆ แน่นอนN ∑ n ≤ 10 N n = 1 P ( n , N ) = 9 N N lim N → ∞ ballCount ( N $\lim$$\sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) = 9N$$N$

$$\begin{align} \lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} 9N \\ &= \infty \end{align}$$

โซลูชันที่ใช้งานง่ายทำอย่างแม่นยำว่าเป็นโซลูชัน "ฉลาด" ที่ใช้งานง่าย

อาร์กิวเมนต์นี้มุ่งเน้นไปที่แนวโน้มของเซตและลำดับที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่จะทำงานในรูปแบบที่ใช้งานง่าย นี้ไม่น่าแปลกใจมากขึ้นกว่าHilbert โรงแรม ในกรณีเช่นนี้คุณจะต้องนำลูกบอลออกมาอย่างไม่ จำกัด จำนวนหนึ่ง แต่คุณจะต้องใส่จำนวนอนันต์ลองพิจารณาโรงแรม Hilbert ในทางกลับกัน คุณสามารถลบแขกไม่ จำกัด จำนวนออกจากโรงแรมและยังเหลือจำนวนอนันต์

ไม่ว่าเรื่องนี้จะเกิดขึ้นจริงหรือไม่เป็นอีกคำถามหนึ่งโดยสิ้นเชิง

เช่นนี้ฉันจะพิจารณาว่าไม่จำเป็นต้องก่อตัวขึ้น แต่วางไว้ในหนังสือที่ผิด คำถามการนับประเภทนี้เป็นของหลักสูตรทฤษฎีเซตไม่ใช่หลักสูตรความน่าจะเป็น

ฉันคิดว่ามันช่วยในการลบส่วนประกอบชั่วคราวของปัญหา

ตัวแปรพื้นฐานเพิ่มเติมของความขัดแย้งนี้คือการลบลูกบอลหมายเลขต่ำสุดเสมอ เพื่อความสะดวกในการวาดฉันจะเพิ่มแค่สองลูกในแต่ละขั้นตอน

ขั้นตอนนี้อธิบายวิธีการกรอกข้อมูลในตารางสองมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด:

.*........
..**......
...***....  ....
....****..
.....*****

 :  :  :
 :  :  :

โดยที่แต่ละแถวจะถูกสร้างขึ้นจากแถวก่อนหน้าโดยเพิ่มเครื่องหมายดอกจันสองตัวทางด้านขวาจากนั้นให้เอาซ้ายสุด

คำถามหนึ่งที่ถามคือ:

มีกี่คอลัมน์ที่ลงท้ายด้วยเครื่องหมายดอกจันซ้ำมากกว่าจุดซ้ำ?

ในความคิดของฉันความคิดที่จะเปรียบเทียบผลลัพธ์นี้ด้วย "ขีด จำกัด ของจำนวนเครื่องหมายดอกจันในแต่ละแถว" นั้นน่าสนใจน้อยกว่ามาก

คำตอบนี้มีจุดมุ่งหมายที่จะทำสี่สิ่ง:

1. ทบทวนการกำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์ของ Ross แสดงให้เห็นว่ามันติดตามได้อย่างตรงไปตรงมาและชัดเจนจากคำอธิบายปัญหา

2. ปกป้องตำแหน่งที่โซลูชันที่ขัดแย้งกันของ Ross นั้นมีทั้งเสียงทางคณิตศาสตร์และเกี่ยวข้องกับความเข้าใจในโลกทางกายภาพของเราไม่ว่าจะเป็นจริงหรือไม่ก็ตาม 100%

3. อภิปรายข้อโต้แย้งที่ผิดพลาดบางอย่างที่หยั่งรากในสัญชาตญาณทางกายภาพและแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหา "ทางกายภาพ" ของลูกบอลไม่มีที่สิ้นสุดตอนเที่ยงนั้นไม่เพียง แต่จะขัดแย้งกับคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงฟิสิกส์ด้วย

4. อธิบายการใช้งานจริงของปัญหาซึ่งอาจทำให้โซลูชันของ Ross ง่ายขึ้น เริ่มที่นี่สำหรับคำตอบของคำถามดั้งเดิมของ Carlos

1. วิธีการอธิบายปัญหาทางคณิตศาสตร์

เราจะแกะเริ่มต้น "การสร้างแบบจำลองกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด" ขั้นตอนของการโต้แย้งของรอสส์ (พี. 46) นี่คือคำสั่งที่เราจะมุ่งเน้นไปที่การให้เหตุผล:

กำหนดให้เป็นเหตุการณ์ที่บอลหมายเลข 1 ยังคงอยู่ในโกศหลังจากทำการถอนเงินครั้งแรกแล้ว ... เหตุการณ์ที่บอลหมายเลข 1 อยู่ในโกศเวลา 12.00 น. เป็นเพียงเหตุการณ์E_n⋂ ∞ n = 1 E $E_n$$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$

ก่อนที่เราจะนำคำแถลงของ Ross มาพิจารณากันว่ามันจะเป็นไปได้อย่างไรที่จะเข้าใจเนื้อหาของโกศในตอนเที่ยงหลังจากดำเนินการตามลำดับอย่างไม่สิ้นสุด เราจะรู้ได้อย่างไรว่ามีอะไรอยู่ในโกศ? ทีนี้ลองคิดถึงลูกบอลที่เฉพาะเจาะจง ; คุณสามารถจินตนาการหรือหรืออะไรก็ได้ที่คุณต้องการ ถ้าลูกบอลถูกนำออกมาในบางขั้นตอนของกระบวนการก่อนเที่ยงแน่นอนว่ามันจะไม่อยู่ในโกศตอนเที่ยง และในทางกลับกันถ้าลูกบอลที่ให้ไว้อยู่ในโกศในทุก ๆ ขั้นตอนของกระบวนการจนถึงเที่ยง (หลังจากเพิ่ม) แล้วก็จะอยู่ในโกศตอนเที่ยง ลองเขียนคำแถลงเหล่านี้ออกมาอย่างเป็นทางการ:b = 1 1,000 $b$$b=1$$1000$$b$

ลูกบอลอยู่ในโกศตอนเที่ยงถ้าหากมันอยู่ในโกศในทุกสเตจก่อนเที่ยงโดยที่เป็นสเตจที่ ลูกบอลถูกเพิ่มเข้าไปในโกศn ∈ { n B , n B + 1 , n B + 2 , . . } n $b$$n \in \{n_b, n_b + 1, n_b + 2, ...\}$$n_b$

ทีนี้ลองแกะคำสั่งของ Ross ออกแปลว่าเป็นภาษาอังกฤษธรรมดา? มาทำความเข้าใจของกระบวนการโกศแล้วพูดออกมา:$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$ $x$

• $x \in E_1$หมายถึงลูกบอล 1 อยู่ในโกศหลังจาก 1 ของกระบวนการ
• $x \in E_1 \bigcap E_2$หมายความว่าลูกบอล 1 อยู่ในโกศหลังจากขั้นตอนที่ 1 และ 2 ของกระบวนการ
• $x \in E_1 \bigcap E_2 \bigcap E_3$หมายความว่าลูกบอล 1 อยู่ในโกศหลังจากขั้นตอนที่ 1, 2 และ 3 ของกระบวนการ
• สำหรับการใด ๆ ,หมายความว่าลูกอยู่ในโกศหลังจากขั้นตอนถึงn$k \in \{1, 2, 3, ...\}$ 1 $x \in \bigcap_{k=1}^n E_k$$1$$n$

เห็นได้ชัดว่าหมายความว่าในการรับรู้ของกระบวนการโกศนี้ลูกบอล 1 อยู่ในโกศหลังจากขั้นตอนที่ 1, 2, 3 และอื่น ๆ : ระยะเวลาจำกัด ทั้งหมดก่อนเที่ยง การแยกอนันต์เป็นอีกวิธีหนึ่งในการเขียนดังนั้นประกอบด้วยการรับรู้ของกระบวนการที่ลูกบอล 1 อยู่ในโกศทั้งหมด ขั้นตอนก่อนเที่ยง เหตุการณ์เป็นเพียงชุดการรับรู้ที่กำหนดไว้ของกระบวนการดังนั้นประโยคสุดท้ายนั้นเทียบเท่ากับการบอกว่าเป็นเหตุการณ์ที่ลูกบอล 1 อยู่ในโกศในทุกขั้นตอนก่อนเที่ยง สำหรับกระบวนการสุ่มนี้ x k ⋂ ∞ n = 1 E n ⋂ ∞ n = 1 E n ⋂ ∞ n = 1 E $x \in \bigcap_{k \in \{1, 2, 3...\}} E_k$$x$$k$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

ตอนนี้ punchline: โดยคำสั่ง "ถ้าเพียง แต่" ของเราข้างต้นตรงนี้เหมือนกับที่บอกว่าลูกบอล 1 อยู่ในโกศตอนเที่ยง! ดังนั้นเป็นเหตุการณ์ที่ลูกบอล 1 อยู่ในโกศตอนเที่ยงเช่นเดียวกับ Ross ที่ระบุไว้ในตอนแรก QED$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

จากที่กล่าวมาข้างต้นทุกอย่างที่เราพูดนั้นถูกต้องเท่าเทียมกันทั้งในรูปแบบที่กำหนดขึ้นและน่าจะเป็นเพราะการสร้างแบบจำลองกำหนดรูปแบบเป็นกรณีพิเศษของการสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นซึ่งพื้นที่ตัวอย่างมีองค์ประกอบเดียว ไม่มีการใช้แนวคิดเชิงทฤษฎีหรือความน่าจะเป็นในการวัดเลยแม้แต่คำว่า "เหตุการณ์" และ "การรับรู้" (ซึ่งเป็นเพียงศัพท์แสงสำหรับ "ชุด" และ "องค์ประกอบ")

2. การแก้ปัญหาความขัดแย้งเป็นเสียงทางคณิตศาสตร์และเกี่ยวข้องกับฟิสิกส์

หลังจากจุดเซ็ตอัพนี้ตัวแปรที่กำหนดขึ้นและน่าจะแตกต่างกัน ในตัวแปรที่กำหนดขึ้น (รุ่นที่ 2 จากโพสต์ของอะมีบา) เรารู้ว่าบอล 1 ถูกนำออกมาในขั้นตอนแรกดังนั้นและจุดตัดที่ไม่มีที่สิ้นสุดแน่นอนว่ายังว่างอยู่ ในทำนองเดียวกันลูกบอลอื่น ๆถูกนำออกจากเวทีและไม่ปรากฏในตอนเที่ยง ดังนั้นโกศจึงไม่สามารถบรรจุบอลหมายเลขใด ๆ ได้ในตอนเที่ยงและต้องว่างเปล่าb b $E_1 = \emptyset$$b$$b$$b$

ในตัวแปรที่น่าจะเป็นปรากฏการณ์เดียวกันเกิดขึ้นเพียงในความรู้สึก "คาดหวัง" ที่อ่อนนุ่ม ความน่าจะเป็นของลูกบอลที่ได้รับจะลดลงเหลือศูนย์เมื่อเราเข้าใกล้เที่ยงและในเวลาที่ จำกัด ของเที่ยงลูกบอลนั้นแทบจะไม่ปรากฎ เนื่องจากลูกบอลแต่ละลูกมีอยู่ด้วยความน่าจะเป็นศูนย์และผลรวมของศูนย์หลายแห่งยังคงเป็นศูนย์จึงแทบไม่มีลูกในโกศในเวลาเที่ยง ทั้งหมดนี้แสดงให้เห็นอย่างสมบูรณ์โดย Ross อย่างจริงจัง รายละเอียดสามารถเติมเต็มด้วยความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีการวัดระดับบัณฑิตศึกษาตามคำตอบของ @ ekvall

หากคุณยอมรับข้อโต้แย้งมาตรฐานเกี่ยวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่แสดงเป็นลำดับที่ไม่สิ้นสุดตัวอย่างเช่นอาร์กิวเมนต์ที่นี่ควรจะยอมรับได้เช่นเดียวกับที่ต้องอาศัยหลักการเดียวกัน คำถามเดียวที่เหลืออยู่คือการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่นำไปใช้กับโลกแห่งความจริงหรือเพียงแค่โลกที่สงบสุขของคณิตศาสตร์ คำถามนี้ซับซ้อนและมีการพูดคุยเพิ่มเติมในหัวข้อ 4$0.999... = 1$

ที่กล่าวว่าไม่มีเหตุผลที่จะสันนิษฐานว่าปัญหาโกศที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้นเป็นสิ่งที่ไม่มีอยู่จริงหรือปฏิเสธว่ามันไม่เกี่ยวข้องแม้ว่ามันจะเป็นสิ่งที่ไม่มีฟิสิกส์ก็ตาม ข้อมูลเชิงลึกทางกายภาพหลายคนได้รับได้รับจากการศึกษาโครงสร้างและกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด, ตัวอย่างเช่นสายไฟที่ไม่มีที่สิ้นสุดและโปรยซึม ไม่ใช่ว่าระบบเหล่านี้ทั้งหมดจะสามารถใช้งานได้จริง แต่ทฤษฏีของพวกมันก็เป็นส่วนที่เหลือของฟิสิกส์ แคลคูลัสเองคือ "ไม่เป็นทางการ" ในบางวิธีเพราะเราไม่รู้ว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะตระหนักถึงระยะทางและเวลาที่มีขนาดเล็กตามอำเภอใจซึ่งมักจะเป็นเรื่องของการศึกษา นั่นไม่ได้หยุดเราจากการใส่แคลคูลัสกับการใช้งานที่ดีอย่างไม่น่าเชื่อในวิทยาศาสตร์เชิงทฤษฎีและประยุกต์

3. ความไม่แน่นอนของการแก้ปัญหาโดยยึดตาม "สัญชาตญาณทางกายภาพ"

สำหรับผู้ที่ยังเชื่อว่าคณิตศาสตร์ของ Ross นั้นผิดหรือไม่ถูกต้องทางกายภาพในตัวแปรที่กำหนดขึ้นและการแก้ปัญหาทางกายภาพที่แท้จริงคือลูกบอลจำนวนมากโดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่คุณคิดว่าเกิดขึ้นตอนเที่ยงมันเป็นไปไม่ได้ที่จะปฏิเสธสถานการณ์ก่อนเที่ยง: ลูกบอลทุกหมายเลข เพิ่มในโกศในที่สุดจะถูกลบออก ดังนั้นถ้าคุณคิดว่ายังมีอีกหลายลูกในโกศในตอนเที่ยงคุณต้องยอมรับว่าไม่มีหนึ่งในนั้นที่สามารถเพิ่มได้ก่อนเที่ยง ดังนั้นลูกบอลเหล่านั้นจะต้องมาจากที่อื่น: คุณกำลังยืนยันว่าลูกบอลจำนวนมากอย่างไม่ จำกัด ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับกระบวนการปัญหาเดิมทันใดนั้นก็ปรากฏตัวขึ้นในตอนเที่ยงเพื่อช่วยชีวิตต่อเนื่องของการถูกละเมิดทางเลือกที่ว่างเปล่าและไร้ซึ่งความจริงอาจเป็นวิธีแก้ปัญหา "เซตว่าง" การสะสมของวัตถุที่ไม่มีที่สิ้นสุดไม่ได้เกิดขึ้นในทันทีเพื่อสนองความต้องการของมนุษย์ที่น่าสงสารเกี่ยวกับอินฟินิตี้

การเข้าใจผิดที่เกิดขึ้นที่นี่ดูเหมือนว่าเราสามารถดูจำนวนลูกบอลเมื่อเวลาใกล้เที่ยงและสมมติว่าแนวโน้มที่แตกต่างทำให้ลูกบอลจำนวนมากในตอนเที่ยงโดยไม่คำนึงถึงว่าลูกบอลถูกนำเข้าและออกอย่างแน่นอน แม้จะมีความพยายามที่จะให้เหตุผลนี้ด้วย "หลักการของความไม่แยแส" ซึ่งระบุว่าคำตอบไม่ควรขึ้นอยู่กับว่าลูกมีป้ายกำกับหรือไม่

ที่จริงคำตอบนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าลูกบอลนั้นมีฉลากหรือไม่ แต่นั่นเป็นข้อโต้แย้งสำหรับวิธีแก้ปัญหาของ Ross ไม่ใช่กับมัน จากมุมมองของฟิสิกส์คลาสสิกลูกบอลจะถูกติดป้ายอย่างมีประสิทธิภาพไม่ว่าคุณจะคิดว่ามันเป็นป้ายกำกับหรือไม่ก็ตาม พวกเขามีตัวตนที่ชัดเจนและถาวรซึ่งเทียบเท่ากับฉลากและการวิเคราะห์ทางกายภาพอย่างแท้จริงต้องคำนึงถึงสิ่งนี้ไม่ว่าตัวเลขจะถูกเขียนลงบนลูกบอลอย่างแท้จริงหรือไม่ก็ตาม ฉลากจะไม่ส่งผลกระทบโดยตรงต่อวิธีการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้น แต่พวกเขาจำเป็นต้องอธิบายอย่างชัดเจนว่าลูกบอลเคลื่อนที่อย่างไร ขั้นตอนบางอย่างปล่อยให้ลูกบอลอยู่ในโกศตลอดกาลคนอื่น ๆ สามารถลบลูกบอลทุกลูกที่เพิ่มและจำเป็นต้องใช้ฉลากเพื่ออธิบายความแตกต่างระหว่างขั้นตอนเหล่านี้ความพยายามที่จะเพิกเฉยต่อฉลากไม่ใช่ "ทางกายภาพ" มันเป็นเพียงการละเลยที่จะเข้าใจปัญหาทางกายภาพอย่างแม่นยำเพียงพอที่จะแก้ปัญหาได้ (เช่นเดียวกันสำหรับตัวแปรที่สลับซับซ้อนที่สับเปลี่ยนฉลากในแต่ละขั้นตอนสิ่งสำคัญคือลูกบอลอยู่ในโกศไม่ใช่ฉลากที่มีคนวางหรือแทนที่พวกเขาสิ่งนี้สามารถพิจารณาได้โดยการละเลยแผนการติดฉลากที่ซับซ้อนทั้งหมดและเพียงแค่ใช้ รูปแบบการติดฉลากเดียวที่ไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งเป็นหนึ่งในปัญหาดั้งเดิมของ Ross)

ความแตกต่างทางเดียวที่จะล้มเหลวได้ก็คือถ้า "ลูกบอล" เป็นอนุภาคเชิงกลของควอนตัม ในกรณีนี้หลักการไม่แยแสล้มเหลวอย่างน่าทึ่ง ควอนตัมฟิสิกส์บอกเราว่าอนุภาคที่แยกไม่ออกนั้นมีพฤติกรรมแตกต่างจากอนุภาคที่แยกแยะได้อย่างสิ้นเชิง สิ่งนี้มีผลต่อโครงสร้างพื้นฐานของจักรวาลของเราอย่างไม่น่าเชื่อเช่นหลักการกีดกัน Pauli ซึ่งอาจเป็นหลักการทางเคมีที่สำคัญที่สุดเพียงข้อเดียว ยังไม่มีใครพยายามวิเคราะห์เวอร์ชั่นควอนตัมของความขัดแย้งนี้

4. การอธิบายถึงการแก้ปัญหาทางร่างกาย

เราได้เห็นแล้วว่าสัญชาตญาณ "ทางกายภาพ" ที่คลุมเครือสามารถทำให้เราหลงทางในปัญหานี้ได้อย่างไร ในทางกลับกันปรากฎว่าคำอธิบายปัญหาที่แม่นยำยิ่งขึ้นของร่างกายช่วยให้เราเข้าใจว่าทำไมการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์จึงเป็นวิธีที่เหมาะสมที่สุด

พิจารณาจักรวาลนิวตันอันไม่มีที่สิ้นสุดภายใต้กฎหมายของกลศาสตร์คลาสสิก จักรวาลนี้มีวัตถุสองอย่าง: ชั้นวางที่ไม่มีที่สิ้นสุดและ Urn ไม่สิ้นสุดซึ่งเริ่มต้นที่จุดกำเนิดของจักรวาลและวิ่งไปข้าง ๆ กันห่างกันหนึ่งฟุตตลอดไปและตลอดไป ชั้นวางของวางอยู่บนบรรทัดฟุตในขณะที่ Urn อยู่บนเส้นฟุต ตามชั้นวางจะวางลูกบอลที่เหมือนกันจำนวนมากโดยเว้นระยะห่างหนึ่งฟุตเท่ากันเท้าแรกอยู่ห่างจากจุดกำเนิดหนึ่งฟุต (ดังนั้นบอลอยู่บนเส้นฟุต) The Urn - ซึ่งคล้ายกับชั้นวางของ แต่มีความหรูหราปิดและโดยทั่วไป Urnish อีกเล็กน้อยy = 1 n x = $y = 0$$y = 1$$n$$x = n$

Aisle เชื่อมต่อ Shelf และ Urn ที่ด้านล่างและด้านบนของ Aisle ที่ Origin ติดตั้งหุ่นยนต์ Endeavour ด้วยแหล่งจ่ายไฟที่ไม่มีที่สิ้นสุด เริ่มต้นเวลา 11.00 น. Endeavour เปิดใช้งานและเริ่มซูมไปมาในช่องทางเดินถ่ายโอนลูกระหว่างโกศและหิ้งตามคำแนะนำที่โปรแกรมไว้ของ Ross-Littlewood:

• เมื่อโปรแกรมสั่งให้ใส่บอลเข้าไปใน Urn ลูกบอลฟุตจากแหล่งกำเนิดจะถูกถ่ายโอนจากชั้นวางไปยัง Urn$n$$n$
• เมื่อโปรแกรมสั่งให้เอาลูกบอลออกจาก Urn ลูกบอลฟุตจากแหล่งกำเนิดจะถูกถ่ายโอนจาก Urn ไปยังชั้นวาง$n$$n$

ในทั้งสองกรณีการถ่ายโอนจะทำตรงข้ามเพื่อให้ลูกยังคงฟุตจากแหล่งกำเนิด กระบวนการคลี่ตามที่ระบุในปัญหา Ross-Littlewood:$n$

• เมื่อเวลา 11:00 น. Endeavour จะส่งลูกบอล 1-10 จาก Shelf ไปยัง Urn จากนั้นย้ายหนึ่งในลูกบอลของ Urn กลับไปที่ Shelf
• เมื่อเวลา 11:30 น. Endeavour ถ่ายโอนลูก 11-20 จาก Shelf ไปยัง Urn จากนั้นย้ายหนึ่งในลูกบอลของ Urn กลับไปที่ Shelf
• เมื่อ 11:45 น. Endeavour ถ่ายโอนลูก 21-30 จาก Shelf ไปยัง Urn จากนั้นย้ายหนึ่งในลูกบอลของ Urn กลับไปที่ Shelf
• และอื่น ๆ ...

ในขณะที่กระบวนการยังคงดำเนินต่อไปแต่ละขั้นตอนใหม่ต้องใช้เวลาในการเดินทางนานขึ้นและลงบนทางเดินและใช้เวลาเพียงครึ่งเดียวในการเดินทาง ดังนั้นความพยายามจะต้องเลื่อนขึ้นและลง Aisle เร็วขึ้นเป็นทวีคูณเมื่อถึงเวลาเที่ยง แต่มันจะคอยติดตามอยู่เสมอเพราะมันมีแหล่งจ่ายไฟที่ไม่มีที่สิ้นสุดและสามารถเคลื่อนที่ได้เร็วเท่าที่ต้องการ ในที่สุดเที่ยงก็มาถึง

จะเกิดอะไรขึ้นในเวอร์ชันที่ผิดเพี้ยนของจินตนาการมากกว่านี้? ดูจากข้างบนวิธีการสู่เที่ยงเป็นที่น่าตื่นตาตื่นใจอย่างแท้จริง ภายใน Urn ลูกคลื่นจะปรากฏออกมาจากแหล่งกำเนิดภายนอก ขนาดและความเร็วของเวฟเติบโตขึ้นอย่างไม่มีข้อ จำกัด ในเวลาเที่ยง ถ้าเราจะถ่ายรูปทันทีหลังจากแต่ละขั้นตอนเค้าโครงของลูกบอลจะเป็นอย่างไร ในกรณีที่กำหนดขึ้นพวกเขาจะดูเหมือนฟังก์ชั่นขั้นตอนในคำตอบของอะมีบา ตำแหน่งลูกจะเป็นไปตามเส้นโค้งที่เขาวางแผนไว้อย่างแม่นยำ $(x, y)$ในกรณีของความน่าจะเป็นมันจะมีลักษณะคล้าย ๆ กัน แต่มีการสั่นคลอนมากขึ้นใกล้กับจุดกำเนิด

เมื่อถึงเวลาเที่ยงเราจะเก็บสิ่งที่เกิดขึ้น ในเวอร์ชั่นที่กำหนดขึ้นบอลแต่ละลูกถูกย้ายจาก Shelf ไปยัง Urn หนึ่งครั้งจากนั้นย้ายกลับไปที่ขั้นตอนต่อมาโดยมีการส่งทั้งสองอย่างเกิดขึ้นก่อนเที่ยง เมื่อถึงเวลาเที่ยงจักรวาลจะต้องกลับสู่สภาพดั้งเดิมตอน 11.00 น. The Wave ไม่มีอีกแล้ว ลูกบอลแต่ละลูกกลับมาตรงจุดที่มันเริ่มต้น ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง. Urn ว่างเปล่า ในรุ่นที่น่าจะเป็นสิ่งเดียวกันเกิดขึ้นยกเว้นตอนนี้ผลที่ได้คือเกือบจะแน่นอนมากกว่า

ในทั้งสองกรณี "การคัดค้านทางกายภาพ" และการร้องเรียนเกี่ยวกับอินฟินิตี้ดูเหมือนว่าจะหายไปในอากาศบาง ๆ แน่นอนว่า Urn ว่างเปล่าตอนเที่ยง เราจะจินตนาการเป็นอย่างอื่นได้อย่างไร

สิ่งลึกลับที่เหลืออยู่เพียงอย่างเดียวคือชะตากรรมของมุมานะ การกระจัดจากแหล่งกำเนิดและความเร็วของมันมีขนาดใหญ่ตามอำเภอใจเมื่อเที่ยงเข้าใกล้ดังนั้นในตอนเที่ยง Endeavour จึงไม่มีที่จะพบในจักรวาลนิวตันอันไม่มีที่สิ้นสุดของเรา การสูญเสียความพยายามเป็นเพียงการละเมิดทางฟิสิกส์เท่านั้นที่เกิดขึ้นในระหว่างกระบวนการ

ณ จุดนี้ใคร ๆ ก็สามารถคัดค้านว่า Endeavour เป็นไปไม่ได้ทางร่างกายเนื่องจากความเร็วของมันเติบโตขึ้นโดยไม่มีข้อผูกมัดและในที่สุดก็จะละเมิดขีด ​​จำกัด ของความสัมพันธ์ซึ่งเป็นความเร็วของแสง อย่างไรก็ตามเราสามารถเปลี่ยนสถานการณ์เล็กน้อยเพื่อแก้ไขปัญหานี้ แทนที่จะเป็นหุ่นยนต์ตัวเดียวเราอาจมีหุ่นยนต์จำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุดแต่ละคนรับผิดชอบลูกบอลเดียว เราสามารถตั้งโปรแกรมล่วงหน้าเพื่อให้แน่ใจว่าการประสานงานและเวลาที่สมบูรณ์แบบตามคำแนะนำของ Ross

รูปแบบนี้เป็นทางกายภาพ 100% หรือไม่ อาจไม่เป็นเพราะหุ่นยนต์จะต้องทำงานด้วยเวลาที่แม่นยำโดยพลการ เมื่อเราเข้าใกล้เที่ยงความต้องการที่แม่นยำจะลดลงต่ำกว่าเวลาพลังค์และสร้างปัญหาทางกลศาสตร์ควอนตัม แต่ในที่สุดลวดที่ไม่มีที่สิ้นสุดและตาข่ายที่ไม่มีที่สิ้นสุดอาจไม่ได้เป็นสิ่งที่มีอยู่จริง นั่นไม่ได้หยุดเราจากการศึกษาระบบและกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุดและการพิจารณาว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากข้อ จำกัด ทางกายภาพถูกระงับ

4a ทำไมการนับ Monotonicity จึงถูกละเมิด

ผู้สงสัยจำนวน Ross ได้ตั้งคำถามว่าเป็นไปได้อย่างไรที่จำนวนลูกบอลในโกศเพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อ จำกัด เมื่อเราเข้าใกล้เที่ยงจากนั้นจะเป็นศูนย์ตอนเที่ยง ในที่สุดเราต้องเชื่อในการวิเคราะห์อย่างเข้มงวดเหนือสัญชาตญาณของเราเองซึ่งมักผิด แต่มีการแปรปรวนของความขัดแย้งที่ช่วยส่องสว่างปริศนานี้

สมมติว่าแทนที่จะเป็นลูกบอลจำนวนมากเรามีลูกบอลมีป้ายกำกับ 1, 2, 3, สูงสุดและเราออกกฎเพิ่มเติมสำหรับผู้เสนอญัตติลูกบอลต่อไปนี้:10 $10N$$10N$

• หากคำแนะนำให้คุณย้ายลูกบอลที่ไม่มีอยู่ให้ข้ามคำสั่งนั้น

โปรดทราบว่าปัญหาดั้งเดิมไม่เปลี่ยนแปลงหากเราเพิ่มคำแนะนำนี้เนื่องจากคำสั่งจะไม่ถูกเปิดใช้งานด้วยลูกบอลจำนวนมากอย่างไม่ จำกัด ดังนั้นเราสามารถคิดถึงปัญหาดั้งเดิมและตระกูลใหม่ของปัญหานี้เพื่อเป็นส่วนหนึ่งของครอบครัวเดียวกันด้วยกฎเดียวกัน การตรวจสอบครอบครัวจำกัดโดยเฉพาะสำหรับมีขนาดใหญ่มากสามารถช่วยให้เราเข้าใจคดี "N = "N $N$$N$$\infty$

ในรูปแบบนี้ลูกบอลจะสะสม 9 ต่อก้าวเหมือน แต่ก่อนถึงขั้นตอนของกระบวนการ จากนั้นตัวเลขสำหรับลูกบอลที่จะเพิ่มไม่ตรงกับลูกบอลจริงและเราสามารถปฏิบัติตามคำแนะนำเพื่อเอาลูกบอลออกและกระบวนการจะหยุดหลังจากขั้นตอนเพิ่มเติมรวมเป็นขั้นตอนทั้งหมด ถ้ามีขนาดใหญ่มากขั้นตอนการลบเท่านั้นจะเกิดขึ้นใกล้กับเที่ยงมากที่สุดเมื่องานเสร็จเร็วมากและโกศจะถูกระบายออกอย่างรวดเร็ว9 N 10 N $N$$9N$$10N$$N$

ทีนี้สมมติว่าเราทำการทดลองแบบนี้สำหรับแต่ละค่าของและกราฟลูกบอลนับเมื่อเวลาผ่านไปโดยที่อยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 ชั่วโมงหลังจาก 11AM (เช่น 11AM ถึงเที่ยง) โดยปกติเพิ่มขึ้นในขณะที่ตกแล้วกลับไปที่ศูนย์ที่หรือก่อน 1 ในขีด จำกัด เมื่อเข้าใกล้อนันต์กราฟจะสูงขึ้นเรื่อย ๆ และการตกจะเร็วขึ้น ตอนเที่ยงโกศอยู่เสมอว่างเปล่า:0 ในกราฟที่ จำกัดเส้นโค้งเข้าใกล้อนันต์สำหรับแต่f N ( t ) t f N ( t ) t = 1 N f N ( 1 ) = 0 f ( t ) = Lim N → ∞ f N ( t ) t < 1 f ( 1 ) = 0 N → $N$$f_N(t)$$t$$f_N(t)$$t=1$$N$$f_N(1) = 0$$f(t) = \lim_{N \rightarrow \infty} f_N(t)$$t < 1$$f(1) = 0$. นี่เป็นผลที่ได้จากการพิสูจน์ของ Ross อย่างแม่นยำ: ลูกบอลนับค่าเบี่ยงเบนไปจนถึงระยะอนันต์ก่อนเที่ยง แต่เป็นศูนย์เวลาเที่ยง กล่าวอีกนัยหนึ่งการแก้ปัญหาของ Ross รักษาความต่อเนื่องด้วยความเคารพต่อ N:ขีด จำกัด จุดนับของลูกบอลนับเป็นตรงกับการนับลูกบอลในกรณีลูกบอลไม่มีที่สิ้นสุด$N \rightarrow \infty$

ฉันไม่คิดว่านี่เป็นเหตุผลหลักในการแก้ปัญหาของ Ross แต่อาจเป็นประโยชน์สำหรับผู้ที่สับสนเกี่ยวกับสาเหตุที่ลูกบอลนับขึ้นตลอดกาลกว่าจะล่มเป็นศูนย์ในเวลาเที่ยง ในขณะที่แปลกมันเป็นพฤติกรรม จำกัด ของรุ่น จำกัด ของปัญหาเป็นและดังนั้นจึงไม่ได้มาเป็น "ช็อตฉับพลัน" ในกรณีที่ไม่มีที่สิ้นสุด$N \rightarrow \infty$

ภาพสะท้อนสุดท้าย

ทำไมปัญหานี้พิสูจน์แล้วว่าเป็นน้ำมันดินสำหรับคนจำนวนมาก? การเก็งกำไรของฉันคือสัญชาตญาณทางกายภาพของเราแย่กว่าที่เราคิดไว้มากและเรามักจะได้ข้อสรุปตามแนวคิดทางจิตที่ไม่ชัดเจนและไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างเช่นถ้าฉันขอให้คุณนึกถึงจตุรัสที่เป็นวงกลมด้วยคุณอาจจินตนาการถึงสิ่งที่สกปรกและหมุนเวียน แต่มันจะไม่ใช่ทั้งสองอย่างแน่นอน - นั่นจะเป็นไปไม่ได้ จิตใจมนุษย์สามารถผสมผสานแนวคิดที่คลุมเครือและขัดแย้งกันเข้าไว้ในภาพจิตเดียวได้อย่างง่ายดาย หากแนวคิดไม่คุ้นเคยเช่น Infinite เราสามารถโน้มน้าวตัวเองได้ว่าการผสมของจิตที่คลุมเครือเหล่านี้เป็นแนวคิดของ Real Thing จริง ๆ

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นในปัญหาโกศอย่างแม่นยำ เราไม่ได้นึกถึงทุกสิ่งทันที เราคิดเกี่ยวกับบิตและชิ้นส่วนของมันเช่นจำนวนลูกที่มีเมื่อเวลาผ่านไป เราโบกมือทิ้งเทคนิคที่ไม่เกี่ยวข้องอย่างคาดไม่ถึงเช่นสิ่งที่เกิดขึ้นกับลูกเล็ก ๆ ที่ถ่อมตนเมื่อเวลาผ่านไปหรือว่า "โกศ" สามารถจับลูกบอลได้มากมายเพียงใด เราละเลยที่จะกำหนดรายละเอียดทั้งหมดอย่างแม่นยำโดยไม่ทราบว่าผลที่ได้คือการผสมของแบบจำลองทางจิตที่ไม่สอดคล้องและไม่เข้ากัน

คณิตศาสตร์ได้รับการออกแบบมาเพื่อช่วยเหลือเราจากสภาพนี้ มันมีระเบียบวินัยและเหล็กกล้าทำให้เราเผชิญกับสิ่งที่ไม่คุ้นเคยและแปลกใหม่ มันต้องการให้เราคิดสองครั้งเกี่ยวกับสิ่งที่"ต้อง" เป็นจริง ... ใช่ไหม? มันเตือนเราว่าไม่ว่าสิ่งแปลก ๆ จะเกิดขึ้นได้อย่างไรหนึ่งและอีกหนึ่งยังคงเป็นสองลูกที่อยู่ในโกศหรือไม่และคำสั่งเป็นจริงหรือเท็จ หากเราอดทนต่อหลักการเหล่านี้ในที่สุดก็นำมาซึ่งความกระจ่างแจ้งกับปัญหาส่วนใหญ่ของเรา

ผู้ที่อยู่ภายใต้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เพื่อการหยั่งรู้ "ทางกายภาพ" หรือ "สามัญสำนึก" สัญชาตญาณทำเช่นนั้นที่อันตรายของพวกเขา การโบกมือโดยสัญชาตญาณเป็นเพียงจุดเริ่มต้นของฟิสิกส์ ในอดีตสาขาฟิสิกส์ที่ประสบความสำเร็จทั้งหมดได้สร้างตัวเองขึ้นมาในวิชาคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวดซึ่งช่วยกำจัดความผิดพลาดทางกายภาพที่ไม่ถูกต้องเพิ่มความแข็งแกร่งให้กับสิ่งที่ถูกต้องและช่วยให้การศึกษาอย่างเข้มงวดของระบบอุดมคติ โลกแห่งความจริงที่ซับซ้อนและยุ่งเหยิงยิ่งขึ้น Ross-Littlewood เป็นปัญหาทางกายภาพตีความโดยทั่วไปว่าเป็นหนึ่งในกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์คลาสสิกมีรากฐานทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์และเข้มงวด เราควรพึ่งพาการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์สำหรับสัญชาติญาณของเราเกี่ยวกับโลกของฟิสิกส์คลาสสิกไม่ใช่วิธีอื่น ๆ

ผู้โพสต์หลายคนกังวลว่าการคำนวณใน Ross อาจไม่เข้มงวด คำตอบนี้กล่าวว่าโดยการพิสูจน์การมีอยู่ของพื้นที่ความน่าจะเป็นที่ชุดผลลัพธ์ทั้งหมดที่พิจารณาโดย Ross นั้นสามารถวัดได้จริงและจากนั้นจะทำซ้ำส่วนที่สำคัญของการคำนวณของ Ross

ค้นหาพื้นที่น่าจะเป็นที่เหมาะสม

เพื่อให้ข้อสรุปของรอสส์ว่าไม่มีลูกบอลอยู่ในโกศเวลา 12.00 น. แน่นอนว่าเข้มงวดเราต้องมีความเป็นไปได้ของพื้นที่ที่เหตุการณ์ "ไม่มีลูกบอลอยู่ในโกศที่ 12 PM "สามารถสร้างได้อย่างเป็นทางการและแสดงให้วัดได้ ด้วยเหตุนี้เราจะใช้ทฤษฎีบท 33 [Ionescu - Tulcea] ในบันทึกการบรรยายเหล่านี้อัดแน่นไปด้วยคำพูดเล็กน้อยและการสร้างที่ @NateEldredge แสดงความคิดเห็นในคำถาม$(\Omega, \mathcal F, P)$

ทฤษฎีบท. (Ionescu - Tulcea ขยายทฤษฎีบท) พิจารณาลำดับของช่องว่างที่วัด\ สมมติว่าสำหรับแต่ละมีเคอร์เนลน่าจะเป็นจากถึง (ให้เป็นเคอร์เนลที่ไม่ไวต่อการโต้แย้งแรกคือการวัดความน่าจะเป็น) จากนั้นจะมีลำดับของตัวแปรสุ่มรับค่าในสอดคล้องกันเช่นนั้นสำหรับทุกๆการกระจายข้อต่อของn κ n ( Ξ 1 , X 1 ) × ⋯ × ( Ξ n - 1 , X n - 1 ) ( Ξ n , X n ) κ 1 X n , n = 1 , 2 , … Ξ n$(\Xi_n, \mathcal X_n), n = 1, 2, \dots$$n$$\kappa_n$$(\Xi_1, \mathcal X_1) \times \dots \times(\Xi_{n-1}, \mathcal X_{n-1})$$(\Xi_n, \mathcal X_n)$$\kappa_1$$X_n, n = 1, 2, \dots$$\Xi_n$$n$κ 1 , … , κ $(X_1, \dots, X_n)$คือว่าโดยนัยเมล็ด\$\kappa_1, \dots, \kappa_n$

เราปล่อยให้แสดงฉลากของลูกบอลที่ถูกถอนออกเมื่อการถอนตัวครั้งที่เป็นที่ชัดเจนว่ากระบวนการ (ไม่สิ้นสุด)หากมีอยู่จะบอกเราทุกอย่างที่เราจำเป็นต้องรู้เพื่อเลียนแบบการโต้แย้งของ Ross ตัวอย่างเช่นการรู้สำหรับเลขจำนวนเต็มจะเหมือนกับการรู้จำนวนลูกบอลในโกศหลังจากการถอน : พวกมันคือลูกบอลที่เพิ่มด้วยป้ายชื่อลบที่ถูกลบลูก\} มากกว่าปกติเหตุการณ์ที่อธิบายและวิธีการหลายลูกอยู่ในโกศหลังจากที่ถอนใดก็ตามสามารถที่ระบุไว้ในแง่ของกระบวนการX n X = ( X 1 , X 2 , … ) X 1 , … , X m m ≥ 0 m { 1 , 2 , … , 10 m } { X 1 , … , X m } $X_n$$n$$X = (X_1, X_2, \dots)$$X_1, \dots, X_m$$m \geq 0$$m$$\{1, 2, \dots, 10m\}$$\{X_1, \dots, X_m\}$$X$

เพื่อให้สอดคล้องกับการทดลองของรอสส์เราจำเป็นต้องมีสำหรับทุก ๆการกระจายของ เป็นชุดที่{n-1}} เรายังต้องกระจายของจะเป็นเครื่องแบบ\} เพื่อพิสูจน์ว่ากระบวนการไม่มีที่สิ้นสุดมีการแจกแจงเชิงมิติมีอยู่จริงเราตรวจสอบเงื่อนไขของทฤษฎีการขยาย Ionescu-Tulcea สำหรับจำนวนเต็มให้และกำหนดช่องว่างที่วัดได้ที่ไหนX n ∣ X n - 1 , … , X 1 { 1 , 2 , … , 10 n } ∖ X 1 , … , X n - 1 X 1 { 1 , … , 10 } X = ( X 1 , X 2 , … ) n I n = { $n\geq 2$$X_n \mid X_{n-1}, \dots, X_{1}$$\{1, 2, \dots, 10n\} \setminus {X_1, \dots, X_{n-1}}$$X_1$$\{1,\dots, 10\}$$X = (X_1, X_2, \dots)$$n$( Ξ n , X n ) = ( ผม10 n , 2 ฉัน10 n ) 2 B B κ 1 ( Ξ 1 , X 1 ) 1 / 10 Ξ 1 n ≥ 2 ( x 1 , ... , x n - 1 ) ∈ Ξ 1 × $\mathcal I_n = \{1, 2, \dots, n\}$$(\Xi_n, \mathcal X_n) = (\mathcal I_{10n}, 2^{\mathcal I_{10n}})$$2^B$หมายถึงอำนาจตั้งของชุดBกําหนดการวัดบนจะเป็นหนึ่งที่ทำให้มวลในทุกองค์ประกอบของ\สำหรับและกำหนดเป็นความน่าจะเป็นของเคอร์เนลที่ให้มวลเท่ากันทุกจุดในและมวลศูนย์ในจุดอื่น ๆ เช่นบน จำนวนเต็ม$B$$\kappa_1$$(\Xi_1, \mathcal X_1)$$1/10$$\Xi_1$$n \geq 2$ κ n ( x 1 , ... , x n - 1 , ⋅ ) Ξ n ∖ { x 1 , ... , x n - 1 } x ฉัน ∈ Ξ n , ฉัน= 1 , ... , n - 1 X ( Ω , F , P $(x_1, \dots, x_{n-1}) \in \Xi_1 \times \dots \times \Xi_{n-1}$$\kappa_n(x_1, \dots, x_{n-1}, \cdot)$$\Xi_n \setminus \{x_1, \dots, x_{n-1}\}$$x_i \in \Xi_n, i = 1, \dots, n - 1$. จากการก่อสร้างเมล็ดของความน่าจะเป็นจะเห็นด้วยกับความน่าจะเป็นแบบการถอดแบบที่ระบุโดย Ross ดังนั้นกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุดและพื้นที่ความน่าจะเป็นซึ่งการมีอยู่ของทฤษฎีบททำให้เรามีวิธีที่จะดำเนินการโต้แย้งของ Ross อย่างเป็นทางการ$X$$(\Omega, \mathcal F, P)$

ให้แสดงว่าชุดของผลลัพธ์ดังกล่าวว่าลูกอยู่ในโกศหลังจากที่ถอนnในแง่ของกระบวนการสุ่มของเรานี่หมายความว่าสำหรับและที่เรากำหนด , เช่นลูกบอลไม่ได้ถูกลบออกในการดึงขึ้นและรวมถึง th สำหรับเราสามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนเนื่องจาก ballยังไม่ได้ถูกเพิ่มลงในเทิร์น สำหรับและทุกชุดฉันn X ฉันn ฉัน≤ 10 n E ฉันn = ∩ n j = 1 { ω : X j ( ω ) ≠ ฉัน} ฉันn ฉัน> 10 n E ฉันn = ∅ ฉันj ฉัน{ ω : X j ( ω ) ≠ i } X j E $E_{in}$$i$$n$$X$$i$$n$$i \leq 10n$$E_{in} = \cap_{j = 1}^n\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$$i$$n$$i > 10n$$E_{in} = \emptyset$$i$$j$$i$$\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$สามารถวัดได้เนื่องจากเป็นตัวแปรสุ่ม (วัดได้) ดังนั้นจึงสามารถวัดได้เป็น interesection ที่ จำกัด ของเซตที่วัดได้$X_j$$E_{in}$

เราสนใจชุดผลลัพธ์ที่ไม่มีลูกบอลในโกศเวลา 12.00 น. นั่นคือชุดผลลัพธ์ดังกล่าวสำหรับทุกๆจำนวนเต็ม , ลูกบอลไม่ได้อยู่ในโกศเวลา 12.00 น. สำหรับทุก ๆให้เป็นชุดผลลัพธ์ ( ) เพื่อให้ลูกบอลอยู่ในโกศเวลา 12.00 น. เราสามารถสร้างอย่างเป็นทางการโดยใช้ดังต่อไปนี้ ว่าอยู่ในโกศที่ 12:00 เทียบเท่ากับมันอยู่ในโกศหลังจากที่ถอนทุกทำหลังจากที่มันถูกบันทึกอยู่ในโกศเพื่อฉันฉันE ฉันโอห์ม∈ โอห์มฉันE ฉันE ฉันnฉันE ฉัน = ∩ n : ฉัน≤ 10 n E ฉันn E ฉัน$i = 1, 2\dots$$i$$i$$E_i$$\omega \in \Omega$$i$$E_i$$E_{in}$$i$$E_i = \cap_{n:i\leq 10n}E_{in}$. ชุดของผลคือตอนนี้ที่วัดได้เป็นสี่แยกนับชุดที่วัดได้สำหรับทุกฉัน$E_i$$i$

ผลลัพธ์ซึ่งมีอย่างน้อยหนึ่งลูกที่อยู่ในโกศที่ 12:00 เป็นคนที่อย่างน้อยหนึ่งในเกิดขึ้นคือE_i ชุดของผลลัพธ์สามารถวัดได้เป็นสหภาพที่นับได้ของเซตที่วัดได้ ตอนนี้เป็นเหตุการณ์ที่ไม่มีลูกบอลอยู่ในโกศเวลา 12.00 น. ซึ่งสามารถวัดได้จริงซึ่งเป็นส่วนเสริมของเซตที่วัดได้ เราสรุปว่าชุดผลลัพธ์ที่ต้องการทั้งหมดสามารถวัดได้และเราสามารถดำเนินการคำนวณความน่าจะเป็นได้ดังที่ Ross ทำ E = ∪ ∞ ฉัน= 1 E ฉัน E โอห์ม∖ $E_i$$E = \cup_{i = 1}^\infty E_i$$E$$\Omega \setminus E$

การคำนวณความน่าจะเป็น$P(\Omega \setminus E)$

เราทราบครั้งแรกเนื่องจากตระกูลของเหตุการณ์สามารถนับได้เรามีการเพิ่มความสามารถย่อยของมาตรการที่$E_i, i = 1, 2, \dots$

P ( E i ) = a i i P ( E ) = 0 ∑ N i = 1 a i = 0 N a i = 0

$$P(E) \leq \sum_{i = 1}^\infty P(E_i) = \lim_{N\to \infty}\sum_{i = 1}^N P(E_i).$$ เพื่อความสะดวกในสัญกรณ์ขอแสดงถึงจำนวนจริงสำหรับฉันเห็นได้ชัดว่าแสดงให้เห็นว่ามันพอเพียงที่จะแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกNนี่เทียบเท่ากับการแสดงว่าสำหรับทุก ๆซึ่งเราจะทำตอนนี้$P(E_i) = a_i$$i$$P(E) = 0$$\sum_{i = 1}^N a_i = 0$$N$$a_i = 0$$i$

ไปสิ้นสุดที่ทราบว่าทุกดังกล่าวว่าลูกได้รับการเพิ่มโกศคือ , 1)} เป็นเช่นนี้เพราะถ้าลูกอยู่ในโกศที่ขั้นตอนก็ยังอยู่ในโกศในขั้นตอนnในคำอื่น ๆ ชุดรูปแบบลำดับลดลงสำหรับทุกดังกล่าวว่าฉัน เพื่อความสะดวกของโน้ตให้ใน) รอสส์พิสูจน์ให้เห็นว่าเป็นและระบุว่านี้ยังสามารถแสดงอื่น ๆ ทั้งหมดฉัน10 n ≥ ฉันE ฉันn ⊇ E ฉัน( n + 1 )ฉันn + 1 n E ฉันn n 10 n ≥ ฉันฉันn = P ( E ฉันn ) 1 n → 0 n → ∞ ฉันฉันn = ∏ n k = ฉัน [ 9 $n$$i$$10n \geq i$$E_{in} \supseteq E_{i(n + 1)}$$i$$n + 1$$n$$E_{in}$$n$$10n \geq i$$a_{in} = P(E_{in})$$a_{1n} \to 0$$n \to \infty$$i$ซึ่งฉันจะใช้เป็นจริง หลักฐานประกอบด้วยการแสดงว่าและสำหรับทั้งหมดและ ระดับประถมศึกษา แต่การคำนวณความยาวฉันจะไม่ทำซ้ำที่นี่ ด้วยผลลัพธ์นี้และความจริงที่ว่าตระกูลของเหตุการณ์ ,นับได้ทุกครั้งที่ฉันมาตรการต่อเนื่องให้lim n → ∞ a i n = 0 i E ฉันn 10 n > $a_{in} = \prod_{k = i}^n[9k / (9k + 1)]$$\lim_{n \to \infty}a_{in} = 0$$i$$E_{in}$$10n > i$

$$a_i = P(\cap_{n: 10n > i}E_{in}) = \lim_{n \to \infty} P(E_{in}) = \lim_{n \to \infty}a_{in} = 0.$$

เราสรุปได้ว่าและตามที่อ้างสิทธิ์ QEDP ( Ω ∖ E ) = $P(E) = 0$$P(\Omega\setminus E) = 1$

---

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย:

1. คำตอบหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่า (ในสัญลักษณ์ของฉัน){in} อย่างไรก็ตามเรื่องนี้ไม่มีผลต่อความถูกต้องของการแก้ปัญหาเนื่องจากปริมาณที่อยู่ทางด้านขวาไม่ใช่ผลประโยชน์ต่อการโต้แย้งที่ให้ไว้$\lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N \lim_{n \to \infty }a_{in} \neq \lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N a_{iN}$
2. มีความกังวลว่าไม่สามารถย้ายขีด จำกัด ภายในผลรวมหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งไม่สามารถสลับกับผลรวมในแง่ที่ว่าอาจเป็นกรณีที่{} เช่นเดียวกับคำกล่าวก่อนหน้านี้ไม่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาเพราะปริมาณทางด้านขวาไม่ใช่สิ่งที่น่าสนใจ$\sum_{i = 1}^\infty \lim_{n \to \infty}a_{in} \neq \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^\infty a_{in}$

ในอีกด้านหนึ่งคุณสามารถลองอธิบายได้ดังนี้: "คิดถึงความน่าจะเป็นของลูกบอลใด ๆ ที่ฉันอยู่บนโกศเวลา 12.00 น. ในระหว่างการสุ่มสุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุดมันจะถูกลบออกในที่สุด ของพวกเขาสามารถอยู่ที่นั่นในตอนท้าย "

ฉันไม่พบข้อโต้แย้งนี้ที่น่าเชื่อถือ หากการโต้แย้งนี้ใช้ได้ผลการโต้แย้งต่อไปนี้จะทำงานทุกปีบางคนเกิดมา (พูดเป็นเศษส่วนคงที่ของจำนวนประชากรทั้งหมด) และบางคนตาย (สมมติว่าเป็นเศษส่วนคงที่) จากนั้นเมื่อถึงขีด จำกัด บุคคลใดบุคคลหนึ่งเกือบจะตายแน่นอนดังนั้นเผ่าพันธุ์มนุษย์จึงต้องสูญพันธุ์! ตอนนี้เผ่าพันธุ์มนุษย์อาจสูญพันธุ์ไปด้วยเหตุผลอื่น แต่ข้อโต้แย้งนี้เป็นขยะ

มันไม่สมเหตุสมผลสำหรับปัญหานี้ที่จะมีทางออกเดียวเมื่อลูกบอลถูกกำหนดหมายเลขและเพื่อให้ได้คำตอบที่ต่างออกไปโดยสิ้นเชิงเมื่อลูกบอลนั้นไม่ระบุชื่อ ฉลากที่กำหนดเองไม่ควรส่งผลกระทบต่อการแก้ปัญหา Jaynes เรียกอาร์กิวเมนต์นี้ว่าหลักการของความเฉยเมยซึ่งฉันยอมรับ

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้ามีคนบอกคุณว่าพวกเขาวางสิบลูกลงในโกศและนำออกมาหนึ่งครั้งและจำนวนโกศเต็มในจำนวนที่ จำกัด คำตอบของคุณจะเป็น "มันขึ้นอยู่กับว่าลูกบอลมีหมายเลข" หรือไม่ ไม่แน่นอน เนื้อหาของโกศนั้นเปลี่ยนไปเหมือนกับโกศในปัญหานี้

ดังนั้นฉันคิดว่าวิธีการแก้ปัญหาอยู่ในวิธีที่เราทำให้เป็นปัญหา จากคำจำกัดความตามปกติของข้อ จำกัด เซตเชิงทฤษฎีเรามี

lim sup n → ∞ S n = ⋂ n ≥ 1 ⋃ j ≥ n S

$$\liminf_{n \to \infty} S_n = \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{j \geq n} S_j.$$ $$\limsup_{n \to \infty} S_n = \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{j \geq n} S_j$$

ปล่อยให้ขีด จำกัด ของความสำคัญของเซตอยู่

$$k\triangleq \lim_{n\to\infty}|S_n|$$

และความสำคัญของ -limit ของเซต$\liminf$

$$l \triangleq \left|\liminf_{n\to\infty} (S_n)\right|.$$

ฉันเสนอข้อ จำกัด set-theoretic ที่จะนิยามใหม่ดังนั้น:

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &\triangleq \begin{cases} \liminf_{n\to\infty} (S_n) &\text{if } \liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k \text{ exists, and }k=l \\ \alpha_k &\text{if }\liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k\text{ exists, and }k \ne l \\ \text{undefined} &\text{otherwise.} \end{cases} \end{align}$$

“ ชุดไม่ระบุชื่อ” พิเศษนี้อธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นที่อินฟินิตี้ เช่นเดียวกับยืนอยู่ในสำหรับพฤติกรรมการ จำกัด ของตัวเลขยืนอยู่ในสำหรับพฤติกรรมการ จำกัด ของชุด กล่าวคือเรามีและk ประโยชน์ของพิธีการนี้คือมันช่วยให้เรามีความต่อเนื่องของความเป็นหัวใจและความสอดคล้องกับหลักการของความไม่แยแส ∞ α ฉัน∉ α k ∀ ฉัน| α k | = $\alpha_k$$\infty$$\alpha$$i \notin \alpha_k \forall i$$|\alpha_k| = k$

สำหรับปัญหาโกศเรามีคือชุดของลูกบอลในโกศ และ ดังนั้นองค์ประกอบต่าง ๆ ไม่ "ตกลงไปบนหน้าผา" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งไม่สมเหตุสมผลไปกว่าความรู้สึกที่มนุษยชาติจะสูญพันธุ์เพียงเพราะไม่มีมนุษย์คนใดที่เป็นอมตะลิมn →การ∞ S n = อัลฟ่า$S_n = \{n+1, \dotsc, 10n\}$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \alpha_{\infty}.$$

ในทำนองเดียวกันสมมติว่าเราแก้ไขปัญหาเพื่อให้เพิ่มบอลในแต่ละขั้นตอนและลบบอลหมายเลขต่ำสุดในแต่ละขั้นตอน จากนั้นมีกี่ลูกที่อยู่ในโกศในจำนวน จำกัด ? ชุดที่ไม่ระบุชื่อให้คำตอบที่เข้าใจง่าย:

$$\lim_{n\to\infty}\{n\} = \alpha_1.$$

ฉันตระหนักดีว่านักคณิตศาสตร์สามารถไม่เห็นด้วยกับการแก้ปัญหาความขัดแย้งนี้ แต่สำหรับฉันแล้วนี่เป็นความละเอียดที่ใช้งานง่ายที่สุด

ปัญหาอาจเกิดจากรูปแบบที่ไม่ดีหรือไม่ได้อยู่ในลอจิกลำดับที่หนึ่ง

สาเหตุหลัก: การดำเนินการของขั้นตอน "สุดท้าย" จะเขียนตัวเลขจำนวนอนันต์บนลูกบอลทำให้ขั้นตอนนั้นใช้เวลาอนันต์ในการดำเนินการ

ความสามารถในการดำเนินการกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุดด้วยขั้นตอนที่ไม่มีที่สิ้นสุดหมายถึงความสามารถในการแก้ปัญหาตรรกะแรกทั้งหมด ( Gödelจึงเป็นเท็จ) โดยการดำเนินการตามลำดับต่อไปนี้ H (สำหรับทฤษฎีบท X):

Z = asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem X
      THEN
        OUTPUT "yes" and HALT
) + asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem ¬X
      THEN
        OUTPUT "no" and HALT
)
IF Z = "" 
THEN Z = "independent"
IF Z = "yesno" ∨ Z = "noyes"
THEN Z = "paradox"
OUTPUT Z

โดยที่ขั้นตอนไม่มีที่สิ้นสุดเป็นการถอดเอาต์พุต

โปรแกรมภายใน asymptotic_coroutine เป็นเพียงการค้นหาทฤษฎีที่พิสูจน์ (หรือหักล้าง) อย่างละเอียด X. การแปลง P to S ให้ผลลัพธ์ใน "aa", "ab", "ac", ... "a∨", ... ที่ทุกสัญลักษณ์ที่สามารถปรากฏในทฤษฎีบทถูกสร้างขึ้น สิ่งนี้ส่งผลให้เกิดการสร้างทฤษฎีบททั้งหมดของ_{อักขระ}บันทึกความยาวN ในทางกลับกัน เมื่อ N เติบโตขึ้นโดยไม่ จำกัด ในวงรอบนอกสิ่งนี้จะสร้างทฤษฎีบททั้งหมดขึ้นมา

ด้านที่เป็นเท็จจะไม่สิ้นสุด แต่เราไม่ต้องสนใจเรื่องนั้นเพราะเราได้รับอนุญาตให้ดำเนินการตามขั้นตอนที่ไม่สิ้นสุด ในความเป็นจริงเราขึ้นอยู่กับความสามารถในการตรวจสอบความเป็นอิสระเพราะทั้งสองฝ่ายจะไม่จบ ยกเว้นสิ่งหนึ่ง เราอนุญาตให้มีจำนวนขั้นตอนที่ไม่ จำกัด เพื่อดำเนินการในเวลาที่ จำกัด โดยการเพิ่มความเร็วในการดำเนินการแบบไม่แสดงอาการ นี่คือส่วนที่น่าแปลกใจ asymptotic_coroutine ที่ไม่เคยเสร็จสิ้นและไม่เคยสร้างเอาต์พุตมี "เสร็จสิ้น" * หลังจากเวลา asymptotic และยังไม่เคยสร้างผลลัพธ์ใด ๆ

* ถ้าเราวาง OUTPUT หลังจาก FOR N = 1 ... ∞จะไม่สามารถเข้าถึงได้ แต่เราจะไม่ทำเช่นนั้น

รูปแบบที่แข็งแกร่งของทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของGödelอาจระบุไว้ว่า "สำหรับทุกระบบตรรกะลำดับแรก F มีคำสั่ง G _Fที่เป็นจริงใน F แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงใน F" แต่วิธีการพิสูจน์ H ไม่สามารถพิสูจน์ข้อความที่ต้องเป็นจริงทั้งหมดใน F (H) ได้

Dilemma: ¬Gödel∨¬ (อนุญาตให้ทำตามขั้นตอนไม่ จำกัด )
ดังนั้น:
Dilemma: ¬Gödel∨¬ (315502 มีรูปแบบที่ดีในตรรกะลำดับแรก)

ให้ x เป็นจำนวนบอลที่ถูกลบออกและ y คือจำนวนบอลที่เหลือ หลังจากแต่ละรอบ y = 9x ในฐานะ x> 0, y> 0 จะมีลูกมากมายในโกศเวลา 12.00 น.

เหตุผลที่การแก้ปัญหาโดยอิงกับความน่าจะเป็นทำให้เกิดปัญหาคือความน่าจะเป็นที่มาจากอนุกรมไม่มีที่สิ้นสุดนั้นยุ่งยาก ET เจย์นส์เขียนเกี่ยวกับไม่กี่ขัดแย้งที่ชัดเจนแตกต่างกันของความน่าจะเป็นเช่นนี้ในหนังสือของเขาทฤษฎีความน่าจะเป็น: ตรรกะของวิทยาศาสตร์ ฉันไม่ได้มีสำเนาของฉันที่อยู่ในมือ แต่ส่วนแรกของหนังสือเล่มนี้สามารถใช้ได้ออนไลน์จาก Larry Bretthorst ที่นี่ ข้อความต่อไปนี้มาจากคำนำหน้า

แต่เมื่อทุกคนพูดและทำเสร็จเราก็พบกับความประหลาดใจของเราเองว่ายังมีข้อตกลงทางปรัชญาที่หลวมอยู่เล็กน้อย ในประเด็นทางเทคนิคมากมายเราไม่เห็นด้วยอย่างยิ่งกับ de Finetti ดูเหมือนว่าวิธีการรักษาเซตอนันต์ของเขาได้เปิดกล่องความขัดแย้งที่ไร้ประโยชน์และไม่จำเป็นของแพนโดร่า nonconglomerability และ additive จำกัด เป็นตัวอย่างที่กล่าวถึงในบทที่ 15

การขัดแย้งกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุดได้กลายเป็นการติดเชื้อที่น่ากลัวในปัจจุบันที่แพร่กระจายไปในทางที่คุกคามชีวิตของทฤษฎีความน่าจะเป็นและต้องผ่าตัดออกทันที ในระบบของเราหลังจากการผ่าตัดนี้ความขัดแย้งดังกล่าวจะถูกหลีกเลี่ยงโดยอัตโนมัติ พวกเขาไม่สามารถเกิดขึ้นได้จากการใช้กฎพื้นฐานของเราอย่างถูกต้องเพราะกฎเหล่านั้นยอมรับเฉพาะเซต จำกัด และเซตอนันต์ที่เกิดขึ้นตามข้อ จำกัด ที่กำหนดและประพฤติดีของเซต จำกัด ความขัดแย้งเกิดจาก (1) กระโดดเข้าสู่เซตอนันต์โดยตรงโดยไม่ระบุกระบวนการ จำกัด เพื่อกำหนดคุณสมบัติของมัน จากนั้น (2) การถามคำถามซึ่งคำตอบนั้นขึ้นอยู่กับการ จำกัด วงเงิน

ตัวอย่างเช่นคำถาม:“ ความน่าจะเป็นที่เป็นจำนวนเต็มเป็นเท่าไร” สามารถมีคำตอบใด ๆ ที่เราโปรดใน (0, 1) ขึ้นอยู่กับกระบวนการ จำกัด ที่จะกำหนด“ ชุดของจำนวนเต็มทั้งหมด” (เช่นเดียวกับ ซีรี่ย์แบบมีเงื่อนไขสามารถทำเพื่อรวมกันเป็นจำนวนใด ๆ ที่เราโปรดขึ้นอยู่กับคำสั่งที่เราจัดให้มีข้อกำหนด)

ในมุมมองของเราเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดไม่สามารถบอกได้ว่ามี "การดำรงอยู่" และคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ใด ๆ - อย่างน้อยในทฤษฎีความน่าจะเป็น - จนกระทั่งเราได้ระบุกระบวนการ จำกัด ที่จะสร้างจากเซต จำกัด กล่าวอีกนัยหนึ่งเราแล่นเรือภายใต้ร่มธงของ Gauss, Kronecker และ Poincar ́e มากกว่า Cantor, Hilbert และ Bourbaki เราหวังว่าผู้อ่านที่รู้สึกตกใจกับสิ่งนี้จะศึกษาคำฟ้องของ Bourbakism โดยนักคณิตศาสตร์ Morris Kline (1980) จากนั้นอดทนกับเรานานพอที่จะเห็นข้อดีของวิธีการของเรา ตัวอย่างปรากฏในเกือบทุกบท

การใช้ข้อ จำกัด ในคำตอบของ @enumaris (+1) ให้วิธีการเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของ infinities หากิน

อะไรคือคำอธิบายที่ดีที่สุดที่เราสามารถมอบให้พวกเขาเพื่อแก้ปัญหาความเชื่อที่ขัดแย้งกันเหล่านี้

นี่คือคำตอบที่ดีที่สุดและมีความเป็นไปได้น้อยมาก ลูกบอลทั้งหมดมีหมายเลขลองเรียกพวกเขาว่าหมายเลขเกิด ตัวเลขการเกิดเริ่มต้นจาก B1, B2, B3 ... และไปที่อินฟินิตี้เพราะเราไม่เคยหยุด เราเข้าใกล้เวลา 12.00 น. แต่ให้เพิ่มและนำลูกบอลออกเรื่อย ๆ นั่นคือสาเหตุที่ไม่มีลูกบอลหมายเลขสุดท้าย นี่คือการพิจารณาที่สำคัญมาก btw

เราใส่ลูกบอลลงในกล่องใน 10 แบทช์เช่นแบทช์ # 7: B71, B72, ... , B80 ลองลืมสิ่งเหล่านี้สักครู่แล้วจดจ่อกับลูกบอลที่ถูกนำออกจากกล่อง พวกเขามาตามลำดับแบบสุ่ม ฉันจะอธิบายว่าทำไมการสุ่มเลือกจึงมีความสำคัญในภายหลัง แต่สำหรับตอนนี้ก็หมายความว่าลูกบอลใด ๆ ที่มีหมายเลข brith จาก B1 ถึง B10k ที่ยังอยู่ในกล่องที่ขั้นตอน K สามารถดึงออกมาได้ เราจะทำดัชนีลูกบอลที่เราลบออกไปตามลำดับที่พวกมันถูกเอาออกมาเรียกว่าหมายเลขตาย: D1, D2, D3 ... DK

ภายในเวลา 24.00 น. เราวางลูกบอลจำนวนไม่ จำกัด ลงในกล่องและแน่นอนว่าเราไม่เคยวิ่งออกจากลูกบอลเพื่อนำออกไป ทำไม? เนื่องจากเราใส่ 10 ลูกแรกจากนั้นจึงลบออกหนึ่งลูกเท่านั้น ดังนั้นจึงมีลูกบอลที่จะลบเสมอ ซึ่งหมายความว่าเราได้ลบจำนวนลูกบอลที่ไม่สิ้นสุดภายในเวลา 12:00 น.

นี่ก็หมายความว่าลูกบอลที่ถูกลบแต่ละลูกนั้นถูกจัดทำดัชนีจาก 1 ถึงอินฟินิตี้นั่นคือเราสามารถจับคู่ลูกบอลที่ถูกลบแต่ละอันกับลูกบอลที่วางในกล่อง: B1 ถึง D1, B2 ถึง D2 เป็นต้นซึ่งหมายความว่าเราลบลูกบอลได้มาก เราใส่เพราะหมายเลขเกิดแต่ละคู่ถูกจับคู่กับหมายเลขตายแต่ละตัว

ตอนนี้นั่นคือทางออก ทำไมมันถึงเอาชนะสัญชาตญาณของเรา มันเป็นประถมดร. วัตสัน เหตุผลก็เพราะเรารู้แน่นอนว่าสำหรับ K ที่เก็บไว้ทั้งหมด: นั่นคือสาเหตุหลังจาก K ก้าวเราไม่ควรเอาลูกบอลทั้งหมดออกจากกล่องเพราะเราใส่ลูกบอล 10K และลบ K เท่านั้น ขวา?

$$K<10K$$

มีปัญหาเล็กน้อย ประเด็นคือเมื่อนี่ไม่เป็นความจริงอีกต่อไป: นั่นคือเหตุผลที่สัญชาตญาณแตกสลาย10 × ∞ ≮ $K=\infty$

$$10\times\infty\nless\infty$$

ทีนี้ถ้าลูกบอลไม่ถูกเอาออกโดยการสุ่ม อาจมีสองสิ่งเกิดขึ้นในคำตอบที่เป็นที่ยอมรับของ @ amoeba ก่อนอื่นสมมติว่าเราวางลูกบอล 10 ลูกจากนั้นเอาลูกบอลอันสุดท้ายออกทันที ราวกับว่าเราใส่แค่เก้าลูกเข้ามานี่จะตรงกับสัญชาตญาณของเราและเวลา 12:00 น. จะมีจำนวนลูกไม่สิ้นสุด มาทำไม เพราะเราไม่ได้เอาลูกสุ่มเราได้ดังต่อไปนี้ขั้นตอนวิธีการที่ตัวเลขการเกิดถูกจับคู่กับตัวเลขการตายเป็นในช่วงเวลาของการกำจัด ดังนั้นเราจึงจับคู่ลูกบอลที่ถูกลบแต่ละคู่กับหนึ่งในลูกบอลที่เราใส่: นี่หมายความว่าลูกบอลหนึ่งคู่ไม่เคยจับคู่ B1, B2, .. , B9, B11, ... ฯลฯB 10 → D 1 , B 20 → D 2 , B 30 → D 3 , $B10K=DK$ $B10\to D1,B20\to D2,B30\to D3,\dots$

สิ่งที่สองที่อาจเกิดขึ้นกับการกำจัดบอลแบบไม่สุ่มนั้นเกี่ยวข้องกับการจับคู่เมื่อทำการกำจัด: เราสัมพันธ์กัน BK = DK เราสามารถทำได้โดยลบลูกบอลที่มี BK ในแต่ละขั้นตอน K ซึ่งทำให้แน่ใจว่า BK ถูกจับคู่กับ DK วิธีนี้ลูกบอลแต่ละลูกที่ถูกลบออกจะถูกจับคู่กับลูกบอลแต่ละลูกที่เราใส่เข้าไปนั่นคือผลสุดท้ายที่เหมือนกันในการสุ่มจับลูกบอลที่ถูกถอดออก เห็นได้ชัดว่านี่หมายความว่าไม่มีลูกบอลเหลืออยู่ในกล่องหลังเวลา 12:00 น.

ฉันเพิ่งแสดงให้เห็นว่าปัญหามีน้อยมากที่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็น มันมีทุกอย่างเกี่ยวกับพลังของเซตนับไม่ถ้วน ปัญหาแท้จริงเพียงข้อเดียวที่ฉันหลีกเลี่ยงการพูดคุยคือว่าเซตนั้นนับได้อย่างแท้จริงหรือไม่ คุณเห็นเมื่อคุณเข้าใกล้เวลา 12:00 AM อัตราการแทรกลูกของคุณจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเพื่อให้มันเบาลง ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่จะคิดว่าจำนวนลูกบอลที่เราใส่เข้าไปในกล่องนั้นสามารถนับได้จริงหรือไม่

ไข

ตอนนี้ฉันจะเปิดเผยวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับของความขัดแย้งและกลับไปที่สัญชาตญาณของเรา

เป็นไปได้อย่างไรที่เราใส่ 10 ลูกเข้าไปในนั้นนำออกหนึ่งลูกและยังคงวิ่งออกจากลูกบอลทั้งหมดในเวลา 12 ชั่วโมง? นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นจริง 12 ชั่วโมงที่เข้าไม่ถึง

อนุญาตตามที่แก้ไขปัญหา เราจะไม่ลดช่วงเวลาลงครึ่งหนึ่งอีกต่อไป เราใส่และลบลูกบอลทุกนาที สิ่งนี้ไม่เหมือนกับในปัญหาดั้งเดิมใช่ไหม ใช่และไม่.

ใช่เพราะไม่มีที่ไหนในนิทรรศการของฉันข้างต้นฉันเรียกอย่างชัดเจนถึงเวลา แต่ท้ายที่สุด ฉันกำลังนับขั้นตอน k ดังนั้นเราสามารถนับขั้นตอนและลูกบอลที่ตายได้ต่อไปโดย k

ไม่มีเพราะตอนนี้เรากำลังไม่เคยจะหยุด เราจะเพิ่มและลบลูกบอลต่อไปจนกว่าจะหมดเวลาซึ่งไม่เคยมาถึง ในขณะที่ปัญหาเดิมสิ้นสุดคือ 12 ชั่วโมง

สิ่งนี้อธิบายว่าสัญชาตญาณของเราล้มเหลว ถึงแม้ว่าเราวางลูกบอลในอัตรา 9x ของการกำจัดเพราะเวลาไม่สิ้นสุดลูกที่เราใส่ในทุก ๆ จะถูกลบออกในที่สุด! อาจใช้เวลาไม่กี่นาที แต่ก็โอเคเพราะเราเหลือเวลาไม่กี่นาที นั่นคือทางออกที่แท้จริงของปัญหา

ในสูตรนี้คุณจะถามว่า "มีลูกบอลกี่ลูกในกล่องหลังจากไม่มีที่สิ้นสุด" No! เพราะมันเป็นคำถามที่ไร้สาระ นั่นเป็นสาเหตุที่คำถามดั้งเดิมนั้นไร้สาระเช่นกัน หรือคุณอาจเรียกได้ว่าไม่ดี

ทีนี้ถ้าคุณย้อนกลับไปที่ปัญหาดั้งเดิมแล้วก็จะถึงเวลาสิ้นสุด มันอยู่ที่ 12 ความจริงที่ว่าเราหยุดวางลูกในเวลาที่เพิ่งสิ้นสุดลงและเราไปถึงจุดสิ้นสุดของมัน ดังนั้นคำตอบที่แท้จริงสำหรับคำถามก็คือไม่ควรทำเวลา 12 นาฬิกา มันเข้าไม่ถึง

มันคุ้มค่าที่จะอ่านคำตอบของอะมีบาที่ยอดเยี่ยมมากและชี้แจงปัญหาอย่างมาก ฉันไม่เห็นด้วยกับคำตอบของเขา แต่ต้องการชี้ให้เห็นว่าการแก้ปัญหานั้นขึ้นอยู่กับการประชุมบางอย่าง สิ่งที่น่าสนใจคือปัญหาแบบนี้แสดงให้เห็นว่าอนุสัญญานี้ซึ่งมักใช้เป็นที่น่าสงสัย

เช่นเดียวกับที่เขาบอกว่ามีประเด็นทางเทคนิคเกี่ยวกับการพิสูจน์ว่าสำหรับบอลแต่ละลูกความน่าจะเป็นที่จะอยู่ในโกศตลอดไปคือ 0 นอกจากประเด็นนี้ปัญหาไม่ได้เกี่ยวกับความน่าจะเป็น อาจได้รับเทียบเท่าที่กำหนดขึ้น มันง่ายกว่าที่จะเข้าใจ ความคิดหลักคือ: เนื่องจากลูกบอลทุกลูกหายไปจากโกศจากบางจุดในเวลาที่โกศในตอนท้ายว่างเปล่า หากคุณเป็นตัวแทนของการปรากฏตัวในโกศของลูกแต่ละคนตามลำดับของศูนย์และคนแต่ละลำดับคือ 0 จากช่วงที่แน่นอนจึง จำกัด เป็น 0

ตอนนี้ปัญหาสามารถลดความซับซ้อนได้มากขึ้น ฉันเรียกช่วงเวลาที่ 1, 2, 3 .... เพื่อความเรียบง่าย:

• ช่วงเวลาที่ 1: ใส่บอล 1 ลงในโกศ
• ขณะที่ 2: ลบออก
• ช่วงเวลาที่ 3: ใส่ 2 ลูกในโกศ
• ช่วงเวลาที่ 4: ลบออก
• ช่วงเวลาที่ 5: ใส่ 3 ลูกบอลในโกศ
• ...

บอลตอนไหน (ตอนเที่ยง)? ด้วยความคิดเดียวกันคำตอบเดียวกัน: ไม่มี

แต่พื้นฐานไม่มีทางรู้เพราะปัญหาไม่ได้บอกว่าเกิดอะไรขึ้นตอนเที่ยง ที่จริงแล้วมันเป็นไปได้ว่าในตอนท้ายของเวลา Pikachu มาในโกศทันที หรือบางทีลูกบอลทั้งหมดอาจถล่มและรวมเข้าเป็นหนึ่งลูกใหญ่ทันที ไม่ได้หมายความว่านี่จะหมายถึงเป็นจริงมันก็ไม่ได้ระบุ

ปัญหาสามารถตอบได้หากการประชุมบางอย่างบอกเราว่าจะไปถึงขีด จำกัด ได้อย่างไร: สมมติฐานต่อเนื่อง สถานะของโกศตอนเที่ยงเป็นข้อ จำกัด ของสถานะก่อนหน้านี้ เราควรมองหาข้อสันนิษฐานต่อเนื่องที่จะช่วยเราตอบคำถามได้อย่างไร

ในกฎหมายทางกายภาพ? กฎหมายทางกายภาพทำให้มั่นใจได้ว่ามีความต่อเนื่อง ฉันคิดว่าเป็นรูปแบบคลาสสิกแบบเรียบง่ายไม่เรียกร้องให้ฟิสิกส์สมัยใหม่ที่แท้จริง แต่โดยพื้นฐานแล้วกฎทางกายภาพจะนำมาซึ่งคำถามเดียวกันกับคณิตศาสตร์: วิธีที่เราเลือกที่จะอธิบายความต่อเนื่องของกฎทางกายภาพนั้นขึ้นอยู่กับการถามคำถามทางคณิตศาสตร์ว่าอะไรคือสิ่งที่ต่อเนื่องอย่างไร

เราต้องมองหาสมมติฐานที่ต่อเนื่องในทางที่เป็นนามธรรมมากกว่า ความคิดตามปกติคือการกำหนดสถานะของโกศเป็นฟังก์ชั่นจากชุดของลูกลงไปในที่\} 0 หมายถึงไม่มีอยู่ 1 หมายถึงมีอยู่ และเพื่อกำหนดความต่อเนื่องเราใช้ทอพอโลยีของผลิตภัณฑ์หรือที่เรียกว่าการลู่เข้าแบบเป็นจุด เราบอกว่ารัฐตอนเที่ยงเป็นขีด จำกัด ของรัฐก่อนเที่ยงวันตามโทโพโลยีนี้ ด้วยโทโพโลยีนี้มีการ จำกัด และเป็น 0: โกศที่ว่างเปล่า$\{0;1\}$

แต่ตอนนี้เราแก้ไขปัญหาเล็กน้อยเพื่อท้าทายโทโพโลยีนี้:

• ช่วงเวลาที่ 1: ใส่บอล 1 ลงในโกศ
• ขณะที่ 2: ลบออก
• ช่วงเวลาที่ 3: ใส่บอล 1 ลงในโกศ
• ช่วงเวลาที่ 4: ลบออก
• ช่วงเวลาที่ 5: ใส่บอล 1 ในโกศ
• ...

สำหรับโทโพโลยีเดียวกันลำดับของรัฐไม่ จำกัด นั่นคือสิ่งที่ฉันเริ่มเห็นความขัดแย้งเป็นความขัดแย้งที่แท้จริง สำหรับฉันแล้วปัญหาที่ถูกแก้ไขนี้เป็นสิ่งเดียวกัน ลองนึกภาพคุณเป็นโกศ คุณเห็นลูกบอลมาแล้วก็ไป หากคุณไม่สามารถอ่านหมายเลขบนมันไม่ว่าจะเป็นลูกเดียวกันหรืออีกคนหนึ่งไม่เปลี่ยนสิ่งที่เกิดขึ้นกับคุณ แทนที่จะมองว่าลูกบอลเป็นองค์ประกอบที่แตกต่างกันคุณเห็นว่ามันเป็นปริมาณสสารที่ไหลเข้าและออก ความต่อเนื่องสามารถกำหนดได้อย่างเป็นธรรมชาติโดยดูจากความผันแปรของปริมาณสสาร และไม่มีข้อ จำกัด แน่นอน ในทางที่ปัญหานี้เหมือนกับปัญหาดั้งเดิมที่คุณตัดสินใจที่จะเพิกเฉยต่อตัวตนของลูกบอลซึ่งนำไปสู่การวัดที่แตกต่างและความคิดที่แตกต่างของการบรรจบกัน และแม้ว่าคุณจะเห็นตัวเลขบนลูกบอล

ในกรณีหนึ่งขีด จำกัด ของลำดับสถานะของคุณคือ "ว่าง" ในกรณีอื่นขีด จำกัด จะไม่ถูกกำหนด

การวางรูปแบบของปัญหาด้วยโทโพโลยีของผลิตภัณฑ์เป็นพื้นฐานอาศัยการแยกสิ่งที่เกิดขึ้นกับลูกแต่ละลูกที่แตกต่างกันและดังนั้นจึงเป็นการสร้างตัวชี้วัดที่สะท้อนถึง เนื่องจากการแยกนี้เท่านั้นจึงสามารถกำหนดขีด จำกัด ได้ ความจริงที่ว่าการแยกนี้เป็นพื้นฐานของคำตอบ แต่ไม่ใช่พื้นฐานสำหรับการอธิบาย "สิ่งที่เกิดขึ้น" ในโกศ (จุดที่สามารถพิสูจน์ได้ไม่รู้จบ) ทำให้ฉันคิดว่าการแก้ปัญหาเป็นผลมาจากการประชุมมากกว่าความจริงพื้นฐาน

สำหรับฉันปัญหาเมื่อพิจารณาว่าเป็นนามธรรมล้วนๆมีวิธีแก้ปัญหาตราบใดที่มีข้อมูลที่ขาดหายไป: รัฐตอนเที่ยงนั้นเป็นข้อ จำกัด ของรัฐก่อนหน้านี้และข้อ จำกัด ในแง่ใด อย่างไรก็ตามเมื่อคิดถึงปัญหานี้อย่างสังหรณ์ใจขีด จำกัด ของลำดับของรัฐไม่ใช่สิ่งที่คุณสามารถคิดได้ในลักษณะเดียว ฉันคิดว่าไม่มีทางที่จะตอบ

ฉันต้องการสร้างรูปแบบที่ง่ายที่สุดเพื่อให้ได้คำตอบที่เป็นธรรมชาติมากขึ้น 0 เริ่มต้นจากตัวอย่างที่เข้าใจง่ายว่าลูกบอลจะไม่ถูกลบแบบสุ่ม แต่ ballจะถูกลบออกในขั้นตอนที่$n$$n$

พิจารณาสิ่งนี้: ฉันใส่ลูกบอลทั้งหมดลงในโกศในตอนเริ่มต้น ในขั้นตอนที่ 1 ฉันจะเอาบอล 1 ในขั้นตอนที่ 2 ฉันจะเอาบอล 2 ออกไปเรื่อย ๆ มีข้อสงสัยว่าโกศจะว่างเปล่าหลังจากทำตามขั้นตอนไม่สิ้นสุดหรือไม่?

ถูก แต่ถ้าฉันไม่ใส่ลูกบอลทั้งหมดลงในโกศในตอนแรก แต่มีเพียงบางบอลโกศจะเต็มได้อย่างไรในท้ายที่สุด

จุดประสงค์ของโพสต์นี้คือการโต้แย้งตัวเลือกสุดท้ายของ OPs ที่เราต้องการให้มีสูตรที่ดีกว่า หรืออย่างน้อยที่สุดการพิสูจน์ของ Ross นั้นไม่ชัดเจนเท่าที่ควรในตอนแรกและแน่นอนว่าการพิสูจน์นั้นไม่ง่ายนักที่อยู่ในตำแหน่งที่ดีที่จะอยู่ในการแนะนำหลักสูตรสำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็น มันต้องมีคำอธิบายมากมายทั้งในการทำความเข้าใจกับมุมมองที่ขัดแย้งและเมื่อได้รับการอธิบายที่จุดที่การพิสูจน์ของรอสผ่านไปอย่างรวดเร็วทำให้เป็นการยากที่จะเห็นว่าสัจพจน์ทฤษฎีบทและการตีความโดยปริยายนั้นขึ้นอยู่กับ

เกี่ยวข้องกับแง่มุมนี้มันสนุกมากที่ได้อ่านคำสุดท้ายของ Teun Koetsier ใน"Didactiek พบ oneindig veel pingpongballen?"

เราทุกคนต่างพูดกันว่า 'Paradoxes a window to confusion'

แปล"ถ้าเราไม่สนใจก็จะกลายเป็น 'ขัดแย้งหน้าต่างเพื่อสับสน'"

ด้านล่างนี้เป็นคำอธิบายของการขัดแย้ง "ปกติ" ที่อาจผ่านการอภิปรายเกี่ยวกับ supertasks และโดยเฉพาะอย่างยิ่งการกำหนด Ross-Littlewood ขัดแย้ง หลังจากนี้เมื่อเราแยกการสนทนาทั้งหมดนี้มุมมองจะได้รับจากกรณีพิเศษของความน่าจะเป็นที่รอสส์ - ลิตเติ้ลวู้ดเส้นขนานเป็นองค์ประกอบเพิ่มเติมซึ่งทำให้หลงทางและสับสนในการตั้งค่าที่กว้างขึ้นด้วย supertasks

สามกรณีที่กำหนดขึ้นและการอภิปรายเกี่ยวกับ supertasks

Ross-Littlewood บุคคลที่ผิดธรรมดารู้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันมากขึ้นอยู่กับลักษณะที่ลูกบอลถูกแทนที่จากโกศ ในการตรวจสอบสิ่งเหล่านี้เราจะเริ่มต้นด้วยการใช้คำอธิบายปัญหาที่แน่นอนเนื่องจาก Littlewood อธิบายว่าเป็นปัญหาที่ 5 ในต้นฉบับของเขาในปี 1953

Version 1 ชุดของลูกบอลที่เหลืออยู่ในโกศนั้นว่างเปล่า

Ross-Littlewood บุคคลที่ผิดธรรมดาหรือ Littlewood-Ross บุคคลที่สามปรากฏตัวครั้งแรกในฐานะปัญหาที่ 5 ในต้นฉบับของ Littlewood ในปี 1953 "เรื่องราวของนักคณิตศาสตร์"

ความขัดแย้งที่ไม่มีที่สิ้นสุด ลูกบอลหมายเลข 1, 2, ... (หรือสำหรับนักคณิตศาสตร์ตัวเลขเอง) จะถูกใส่ลงในกล่องดังนี้ เมื่อถึง 1 นาทีถึงเที่ยงจะใส่หมายเลข 1 ถึง 10 และนำหมายเลข 1 ออก ที่ 1/2 นาทีถึงเที่ยงหมายเลข 11 ถึง 20 จะถูกใส่เข้าไปและหมายเลข 2 จะถูกนำออกไปเรื่อย ๆ ตอนเที่ยงมีกล่องกี่กล่อง?

Littlewood สั้น ๆ เกี่ยวกับปัญหานี้ แต่ให้การแสดงที่ดีเป็นชุดของจุด:

$P_{1} + P_{2}+ ... + P_{10} - P_1 + P_{11} + ... + P_{20} - P_2 + ...$

ซึ่งสังเกตได้ง่ายว่ามันเป็น 'โมฆะ'

Version 2 ชุดของลูกบอลที่เหลืออยู่ในโกศมีขนาดไม่ จำกัด

Ross (1976) เพิ่มอีกสองรุ่นในความขัดแย้งนี้ ก่อนอื่นเรามาดูการเพิ่มครั้งแรก:

สมมติว่าเรามีโกศที่มีขนาดใหญ่มากและคอลเลกชันที่ไม่มีที่สิ้นสุดของลูกบอลที่มีป้ายหมายเลข 1 หมายเลข 2 หมายเลข 3 และอื่น ๆ พิจารณาการทดลองที่ดำเนินการดังนี้: ที่ 1 นาทีถึง 12.00 น. ลูกบอลหมายเลข 1 ถึง 10 จะถูกวางในโกศและบอลหมายเลข 10 จะถูกถอนออก (สมมติว่าการถอนออกใช้เวลาไม่นาน) เวลา 12 นาทีถึง 12.00 น. ลูกที่มีหมายเลข 11 ถึง 20 จะถูกวางในโกศและจำนวนบอล 20 จะถูกถอนออก เวลา 14 นาทีถึง 12.00 น. ลูกบอลหมายเลข 21 ถึง 30 ถูกวางในโกศและหมายเลขบอล 30 ถูกถอนออก เวลา 18 นาทีถึง 12.00 น. เป็นต้น คำถามที่น่าสนใจคือมีกี่ลูกในโกศเวลา 12.00 น.

เห็นได้ชัดว่าคำตอบคือไม่มีที่สิ้นสุดเนื่องจากขั้นตอนนี้ปล่อยลูกบอลทั้งหมดด้วยหมายเลขในโกศซึ่งมีจำนวนไม่สิ้นสุด$x \mod 10 \neq 0$

ก่อนที่เราจะไปยังการเพิ่มที่สองของ Ross ซึ่งรวมถึงความน่าจะเป็นเราจะไปยังกรณีอื่น

Version 3 ชุดของลูกบอลที่เหลืออยู่ในโกศนั้นเป็นชุดที่มีขนาดจำกัดโดยพลการ

โกศสามารถมีลูกจำนวนเท่าใดก็ได้ในเวลา 12.00 น. ขึ้นอยู่กับขั้นตอนการเปลี่ยนลูกบอล การเปลี่ยนแปลงนี้ได้รับการอธิบายโดยTymoczko และ Henle (1995)ว่าเป็นปัญหาลูกเทนนิส

ทอมอยู่ในกล่องขนาดใหญ่เว้นว่างไว้สำหรับตัวเขาเอง จิมยืนอยู่นอกกรอบด้วยลูกเทนนิสจำนวนไม่ จำกัด (หมายเลข 1, 2, 3, .... ) จิมโยนลูกบอล 1 และ 2 ลงในกล่อง ทอมหยิบลูกเทนนิสแล้วโยนออก ต่อไปจิมโยนลูกบอล 3 และ 4 ทอมหยิบลูกบอลแล้วโยนออก ต่อไปจิมโยนลูกบอล 5 และ 6 ทอมหยิบลูกบอลแล้วโยนออก กระบวนการนี้ดำเนินต่อไปอย่างไม่สิ้นสุดจนกระทั่งจิมโยนลูกบอลทั้งหมดเข้าไปอีกครั้งเราขอให้คุณยอมรับการทำภารกิจให้ครบจำนวนในช่วงเวลาที่ จำกัด นี่คือคำถาม: ทอมมีลูกบอลกี่ลูกในกล่องเมื่อแอ็คชั่นจบ?

คำตอบค่อนข้างรบกวน: ขึ้นอยู่กับ มีข้อมูลไม่เพียงพอที่จะตอบคำถาม อาจมีจำนวนลูกบอลเหลือไม่สิ้นสุดหรืออาจไม่มีเลย

ในตัวอย่างตำราเรียนที่พวกเขาโต้แย้งทั้งสองกรณีไม่ จำกัด หรือ จำกัด (Tymoczko และ Henle ออกจากกรณีตรงกลางเป็นแบบฝึกหัด) อย่างไรก็ตามปัญหาถูกนำมาเพิ่มเติมในบทความวารสารหลายฉบับที่ปัญหาเป็นเรื่องทั่วไปที่เราสามารถหาได้ หมายเลขใด ๆ ขึ้นอยู่กับขั้นตอนที่ตามมา

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือบทความเกี่ยวกับปัญหาเชิง combinatorial (ซึ่งจุดโฟกัสนั้นไม่ได้อยู่ที่มุมกว้าง) ตัวอย่างเช่นการนับจำนวนชุดที่เป็นไปได้ที่เราสามารถมีได้ตลอดเวลา ในกรณีของการเพิ่ม 2 ลูกและลบ 1 แต่ละขั้นตอนผลลัพธ์จะง่ายและมีจำนวนชุดที่เป็นไปได้ในขั้นตอนที่ n คือจำนวนคาตาลัน n + 1-th เช่น 2 possibilties {1}, {2} ในขั้นตอนแรก, 5 ความเป็นไปได้ {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} และ {3,4} ในขั้นตอนที่สอง, 14 ใน ที่สาม 42 ในสี่และอื่น ๆ (ดูMerlin, Sprugnoli และ Verri 2002, ปัญหาลูกเทนนิส ) ผลลัพธ์นี้ได้รับการสรุปโดยทั่วไปสำหรับจำนวนการเพิ่มและการแทนที่ลูกที่แตกต่างกัน แต่สิ่งนี้ไปไกลเกินไปสำหรับโพสต์นี้ในขณะนี้

ข้อโต้แย้งขึ้นอยู่กับแนวคิดของ supertasks

ก่อนที่จะไปถึงทฤษฎีความน่าจะเป็นข้อโต้แย้งมากมายสามารถถูกสร้างขึ้นกับคดีที่กำหนดไว้แล้วและความเป็นไปได้ในการทำซุปเปอร์เทค ยิ่งไปกว่านั้นเราสามารถตั้งคำถามว่าการรักษาเชิงทฤษฎีที่ตั้งไว้เป็นตัวแทนที่ถูกต้องของการเป็นตัวแทนจลน์ของ supertask หรือไม่ ฉันไม่ต้องการโต้แย้งว่าข้อโต้แย้งเหล่านี้ดีหรือไม่ดี ฉันพูดถึงพวกเขาเพื่อเน้นว่ากรณีที่น่าจะเป็นสามารถเปรียบเทียบกับ 'supertask'-ขัดแย้งและสามารถมองเห็นว่ามีองค์ประกอบเพิ่มเติมที่ไม่เกี่ยวข้องกับ supertasks กรณีความน่าจะเป็นมีองค์ประกอบที่เป็นเอกลักษณ์และแยกจากกัน (การให้เหตุผลกับทฤษฎีความน่าจะเป็น) ที่ไม่ได้รับการพิสูจน์หรือข้องแวะโดยการโต้แย้งกับหรือสำหรับกรณีของ supertasks

• ข้อโต้แย้งต่อเนื่อง : ข้อโต้แย้งเหล่านี้มักจะเป็นแนวคิดมากขึ้น ตัวอย่างเช่นความคิดที่ว่า supertask ไม่สามารถเสร็จเช่น Aksakal และ Joshua โต้เถียงในคำตอบของพวกเขาและการสาธิตที่ชัดเจนของแนวคิดเหล่านี้คือโคมไฟของ Thomsonซึ่งในกรณีของ Ross Littlewood เส้นขนานจะเป็นเหมือนการถามครั้งสุดท้าย จำนวนคี่หรือคู่?

• ข้อโต้แย้งทางกายภาพ:ยังมีข้อโต้แย้งที่ท้าทายการสร้างทางคณิตศาสตร์ว่ามีความเกี่ยวข้องกับการรับรู้ปัญหาทางกายภาพ เราสามารถมีปัญหาทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวด แต่คำถามยังคงมีอยู่ว่าสิ่งนี้มีผลต่อการดำเนินการทางกลไกหรือไม่ (นอกเหนือจากแนวคิดแบบง่าย ๆ เช่นการทำลายกำแพงบางอย่างของโลกทางกายภาพเช่นการ จำกัด ความเร็วหรือข้อกำหนดด้านพลังงาน / พื้นที่) .

  • ข้อโต้แย้งหนึ่งอาจเป็นไปได้ว่าข้อ จำกัด set-theoretic เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ไม่จำเป็นต้องอธิบายความเป็นจริงทางกายภาพ

    ตัวอย่างเช่นพิจารณาปัญหาที่แตกต่างกันดังต่อไปนี้: โกศมีลูกอยู่ข้างในซึ่งเราไม่เคลื่อนไหว แต่ละขั้นตอนเราจะลบหมายเลขที่เขียนก่อนหน้านี้บนลูกบอลและเขียนหมายเลขใหม่ลดจำนวนลง โกศจะว่างเปล่าหลังจากผ่านหลายขั้นตอนไปเรื่อย ๆ หรือไม่ ในกรณีนี้มันดูไร้สาระยิ่งกว่านี้เล็กน้อยที่จะใช้ข้อ จำกัด ทางทฤษฎีเซตซึ่งเป็นเซตว่าง ขีด จำกัด นี้ดีพอ ๆ กับการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ แต่มันแสดงถึงลักษณะทางกายภาพของปัญหาหรือไม่? หากเราอนุญาตให้ลูกบอลหายไปจากโกศเพราะเหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรม (ซึ่งอาจจะได้รับการพิจารณาว่าเป็นปัญหาที่แตกต่างกัน ) ถ้างั้นเราก็อาจทำให้ทั้งโกศหายไป?

  • นอกจากนี้ความแตกต่างของลูกและกำหนดให้พวกเขาดูเหมือนว่า "ไม่มีใคร" สั่ง (มันเกี่ยวข้องกับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของเซต แต่ทำลูกบอลในโกศทำตัวเหมือนชุด?) ถ้าเราจะสับลูกบอลในแต่ละขั้นตอน (เช่นแต่ละขั้นตอนจะสุ่มสลับลูกบอลจากกองที่ถูกทิ้งเป็นลูกบอลจากกองที่เหลือของลูกบอลที่ไม่มีที่สิ้นสุด) ดังนั้นการลืมเลขจะขึ้นอยู่กับทั้งเมื่อใส่โกศหรือหมายเลขที่พวกเขาได้รับ จากจุดเริ่มต้นจากนั้นข้อโต้แย้งตามข้อ จำกัด ทางทฤษฎีที่กำหนดทำให้ไม่มีเหตุผลอีกต่อไปเพราะเซตไม่มาบรรจบกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่มั่นคงเมื่อลูกบอลถูกทิ้งจากโกศแล้วมันสามารถกลับมาอีกครั้ง)

    จากมุมมองของการปฏิบัติงานทางกายภาพของการบรรจุและการทำให้โกศดูเหมือนว่ามันไม่สำคัญว่าเราจะมีหมายเลขบนลูกบอลหรือไม่ สิ่งนี้ทำให้เหตุผลเชิงทฤษฎีที่ตั้งขึ้นเหมือนความคิดทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเซตอนันต์มากกว่ากระบวนการจริง

อย่างไรก็ตามถ้าเรายืนยันในการใช้ความขัดแย้งที่ไม่มีที่สิ้นสุดเหล่านี้เพื่อวัตถุประสงค์ในการสอนและก่อนที่เราจะไปถึงทฤษฎีความน่าจะเป็นอันดับแรกเราต้องต่อสู้เพื่อให้ได้แนวคิดที่ยอมรับได้ของ supertasks (แน่นอน) ที่เป็นที่ยอมรับ นักคิดดังนั้นจึงเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะใช้การติดต่อระหว่างความขัดแย้งของนักปราชญ์กับเส้นขนาน Ross-Littlewood ซึ่งบรรยายโดยAllis และ Koetsier (1995)และอธิบายไว้ด้านล่าง

ในการเปรียบเทียบ Achilles ของพวกเขาพยายามที่จะจับเต่าในขณะที่พวกเขาทั้งสองข้ามธงที่วางไว้ในลักษณะที่มีระยะทางเช่นระยะทางของ Achilles กับธงเป็นสองเท่าของระยะทางของเต่าที่มีธงคือ(10N) จากนั้นจนถึงเที่ยงคืน ความแตกต่างในสถานะที่เต่าและจะมีจุดอ่อนที่ผ่านมาที่มีการเจริญเติบโต แต่ในที่สุดเมื่อเวลา 12.00 น.ไม่มีใครยกเว้นอีเลคติคจะยืนยันว่าพวกเขา Achilles และเต่ามาถึงจุดเดียวกันและ (ดังนั้น) มีธงเป็นศูนย์อยู่ระหว่างพวกเขา

$$F(n)=2^{-10 \log n}$$ $n$$10n$$F(n) = 2 F(10n)$

กรณีความน่าจะเป็นและวิธีเพิ่มแง่มุมใหม่ให้กับปัญหา

รุ่นที่สองที่เพิ่มโดย Ross (ในตำราเรียนของเขา) ลบลูกบอลตามการเลือกแบบสุ่ม

ให้เราสมมติว่าเมื่อใดก็ตามที่จะถอนบอลออกลูกบอลนั้นจะถูกเลือกแบบสุ่มจากในปัจจุบัน นั่นคือสมมติว่าที่ 1 นาทีถึง 12.00 น. บอลหมายเลข 1 ถึง 10 จะถูกวางในโกศและลูกบอลถูกสุ่มเลือกและถอนออกและอื่น ๆ ในกรณีนี้มีกี่ลูกในโกศเวลา 12.00 น.

การแก้ปัญหา Ross คือความน่าจะเป็น 1 สำหรับโกศที่ว่างเปล่า อย่างไรก็ตามในขณะที่การถกเถียงของรอสส์ฟังดูดีและเข้มงวดเราอาจสงสัยว่าสัจพจน์ชนิดใดที่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้และทฤษฎีบทที่ใช้อาจถูกวางไว้ภายใต้ความเครียดโดยการอนุมานโดยนัยซึ่งอาจไม่ได้ก่อตั้งขึ้นในสัจพจน์ เหตุการณ์ตอนเที่ยงสามารถกำหนดความน่าจะเป็นได้)

การคำนวณของ Ross เป็นการสรุปสั้น ๆ ของการรวมกันของสององค์ประกอบที่แบ่งเหตุการณ์ของโกศที่ไม่ว่างเปล่าออกเป็นส่วนย่อยจำนวนมาก / เหตุการณ์และพิสูจน์ว่าสำหรับแต่ละเหตุการณ์เหล่านี้น่าจะเป็นศูนย์:

1. สำหรับเหตุการณ์ที่ลูกบอลหมายเลขอยู่ในโกศเวลา 12.00 น. เรามี$F_i$$i$$P(F_1) = 0$

2. สำหรับ ความน่าจะเป็นที่โกศไม่ว่างเปล่าเวลา 12.00 น.$P(\bigcup_1^\infty F_i)$

   $P(\bigcup_1^\infty F_i) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$

ความน่าจะเป็นของ Ross-Littlewood บุคคลที่ผิดธรรมดาโดยไม่มีเหตุผลเกี่ยวกับ supertasks

ในรูปแบบที่เปลือยเปล่าที่สุดของความขัดแย้งการลอกจากปัญหาใด ๆ กับการทำงานของ supertasks เราอาจสงสัยเกี่ยวกับปัญหา "ง่ายกว่า" ของการลบเซตอนันต์ ตัวอย่างเช่นในสามเวอร์ชันที่เราได้รับ:

$$\begin{array} \\ S_{added} &= \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \rbrace + \lbrace10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,1} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,2} &= \lbrace 10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,3} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \setminus \lbrace a_1,a_2,a_3,... \text{ with } a_i \in \mathbb{N} \rbrace \end{array}$$

และปัญหาที่เกิดขึ้นจะช่วยลดการไปลบชุดเช่น\$S_{added}-S_{removed,1} = \emptyset$

ลำดับอนันต์ใด ๆ , , เป็นลำดับ (เท่า ๆ กัน) ที่เป็นไปได้ที่อธิบายถึงลำดับที่ลูกบอลสามารถถูกเอาออกในการทำให้เกิดความน่าจะเป็นของ Ross - ปัญหาไม้เนื้อแข็ง ให้เรียกลำดับที่ไม่สิ้นสุดเหล่านี้ RL-sequences$S_{RL} =\lbrace a_k \text{ without repetitions and } a_k < 10k \rbrace$

ตอนนี้คำถามทั่วไปที่ไม่มีเหตุผลที่ขัดแย้งกันเกี่ยวกับ supertasks เป็นเรื่องเกี่ยวกับความหนาแน่นของลำดับ RL ที่ไม่มีทั้งเซต$\mathbb{N}$

มุมมองกราฟิกของปัญหา

ซ้อนกัน, เศษส่วน, โครงสร้าง

ก่อนที่จะแก้ไขคำตอบนี้ฉันได้สร้างอาร์กิวเมนต์ที่ใช้การมีอยู่ของแผนที่หัวฉีดจาก 'ลำดับอนันต์ที่ทำให้โกศว่างเปล่า' ถึง 'ลำดับอนันต์ที่ไม่มีหมายเลข 1'

นั่นไม่ใช่อาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้อง เปรียบเทียบเช่นกับความหนาแน่นของชุดสี่เหลี่ยม มีหลายอย่างมากมายสี่เหลี่ยมมี (และมีความสัมพันธ์ bijectiveและ ) แต่ชุดของสี่เหลี่ยมมีความหนาแน่นของศูนย์ใน{N}$n \mapsto n^2$$n^2 \mapsto n$$\mathbb{N}$

ภาพด้านล่างสร้างมุมมองที่ดีขึ้นในแต่ละขั้นตอนความน่าจะเป็นของลูกบอล 1 ในโกศนั้นลดลง (และเราสามารถโต้เถียงสิ่งเดียวกันกับลูกบอลอื่น ๆ ทั้งหมด) แม้ว่าความสำคัญของเซตย่อยของ RL-sequences ทั้งหมด (ลำดับของลูกพลัดถิ่น) เท่ากับ cardinality ของลำดับ RL ทั้งหมด (ภาพแสดงโครงสร้างเศษส่วนและต้นไม้มีสำเนาสิบสองจำนวนมากมาย)

การเจริญเติบโตของพื้นที่ตัวอย่างจำนวนเส้นทาง

ภาพแสดงการรับรู้ทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับห้าขั้นตอนแรกด้วยโครงร่างสำหรับปัญหาลูกเทนนิส (ปัญหาลูกเทนนิสในแต่ละขั้นตอน: เพิ่ม 2 ลบ 1 1 เติบโตน้อยลงเร็วขึ้นและง่ายต่อการแสดง) เส้นสีฟ้าครามและสีม่วงแสดงเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น (ลองนึกภาพในแต่ละขั้นตอนเราโยนลูกเต๋าขนาดและขึ้นอยู่กับผลของมันเราเลือกหนึ่งในเส้นทางหรือในคำอื่น ๆ ตามผลลัพธ์ เราลบหนึ่งในลูกในโกศ)$n$$n+1$$n+1$$n+1$

จำนวนองค์ประกอบเรียงโกที่เป็นไปได้ (กล่อง) เพิ่มขึ้นตามจำนวน n + 1-th คาตาลัน , และจำนวนเส้นทางทั้งหมดเพิ่มขึ้นเป็นปัจจัย. สำหรับกรณีขององค์ประกอบโกศที่มีลูกบอลหมายเลข 1 อยู่ด้านใน (สีเทาเข้มสี) และเส้นทางที่นำไปสู่กล่องเหล่านี้ (สีม่วง) ตัวเลขจะปรากฏออกมาเหมือนกันอย่างไรก็ตามคราวนี้เป็นหมายเลขคาตาลัน n-th และแฟคทอเรียล.$C_{n+1}$$(n+1)!$$n!$

ความหนาแน่นของเส้นทางที่ออกจากลูกภายใน$n$

ดังนั้นสำหรับเส้นทางที่นำไปสู่โกศโดยที่ลูกบอลหมายเลข 1 อยู่ข้างในความหนาแน่นคือและลดลงเมื่อกลายเป็นใหญ่ ในขณะที่มีการรับรู้จำนวนมากที่นำไปสู่การค้นหาหมายเลขบอลในกล่องความน่าจะเป็นใกล้ถึงศูนย์ (ฉันจะเถียงว่าสิ่งนี้ไม่ได้ทำให้มันเป็นไปไม่ได้ แต่เกือบจะไม่เกิดขึ้นแน่นอน การรวมกิจกรรมโมฆะจำนวนมากที่นับได้เป็นเหตุการณ์ว่างเปล่าด้วย)$\frac{(n)!}{(n+1)!}$$n$$n$

ตัวอย่างเส้นทางสำหรับห้าขั้นตอนแรกในปัญหาลูกเทนนิส (แต่ละขั้นตอน: เพิ่ม 2 ลบ 1)

ข้อโต้แย้งของ Ross สำหรับโกศที่ว่างเปล่าอย่างแน่นอน

รอสส์กำหนดเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น (ส่วนย่อยของพื้นที่ตัวอย่าง)ที่ลูกบอลหมายเลขอยู่ในโกศในขั้นตอนn(ในหนังสือเรียนของเขาจริง ๆ แล้วเขาออกจากตัวห้อยและเถียงกับบอล 1)$E_{in}$$i$$n$$i$

ขั้นตอนการพิสูจน์ 1)

Ross ใช้โจทย์ 6.1 สำหรับการเพิ่มหรือลดลำดับของเหตุการณ์ (เช่นการลดลงเทียบเท่ากับ )$E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset E_4 \supset ...$

ข้อเสนอ 6.1: ถ้าเป็นลำดับเหตุการณ์ที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงดังนั้น$\lbrace E_n, n\geq 1 \rbrace$

$$\lim_{n \to \infty} P(E_n) = P(\lim_{n \to \infty} E_n)$$

การใช้ข้อเสนอนี้รอสส์ระบุว่าความน่าจะเป็นในการสังเกตลูกบอลเวลา 12.00 น. (ซึ่งเป็นเหตุการณ์ ) เท่ากับ$i$$lim_{n \to \infty} E_{in}$

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in})$$

Allis และ Koetsier ให้เหตุผลว่านี่เป็นหนึ่งในสมมติฐานโดยนัย The supertask itselve ไม่ได้แสดงถึงสิ่งที่เกิดขึ้นในเวลา 12.00 น. และการแก้ปัญหาจะต้องตั้งสมมติฐานโดยนัยซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้หลักการของความต่อเนื่องในชุดของลูกบอลในโกศเพื่อระบุว่าเกิดอะไรขึ้น ที่ไม่มีที่สิ้นสุด ถ้าการ จำกัด (เซต - ทฤษฎี) กับอินฟินิตี้เป็นค่าเฉพาะดังนั้น ณ อนันต์เราจะมีค่าเฉพาะนั้น (จะไม่มีการกระโดดกระทันหัน)

ตัวแปรที่น่าสนใจของ Ross-Littlewood เส้นขนานคือเมื่อเราสุ่มจับลูกบอลที่ถูกทิ้งไปก่อนหน้านี้ ในที่นั้นจะไม่มีการบรรจบกัน (เช่นตะเกียงของ Thomson) และเราไม่สามารถกำหนดขีด จำกัด ของลำดับได้อย่างง่ายดาย(ซึ่งไม่ลดลงอีกต่อไป)$E_{in}$

พิสูจน์ขั้นตอนที่ 2)

มีการคำนวณขีด จำกัด นี่เป็นขั้นตอนทางพีชคณิตอย่างง่าย

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in}) = \prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = 0$$

พิสูจน์ขั้นตอนที่ 3)

มันเป็นเรื่องที่ถกเถียงกันอยู่ว่าขั้นตอนที่ 1 และ 2 ผลงานทั้งหมดของด้วยคำสั่งง่ายๆ$i$

"ในทำนองเดียวกันเราสามารถแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุก "$P(F_i)=0$$i$

ที่เป็นเหตุการณ์ที่ลูกบอลถูกนำออกจากโกศเมื่อเรามาถึง 12.00 น$F_i$$i$

แม้ว่าสิ่งนี้อาจเป็นจริงเราอาจสงสัยเกี่ยวกับการแสดงออกของผลิตภัณฑ์ซึ่งตอนนี้ดัชนีที่ต่ำกว่าไปที่อินฟินิตี้:

$$lim_{i \to \infty}(lim_{n \to \infty} P (E_{in})) = lim_{i \to \infty}\prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = ... ?$$

ฉันไม่ได้พูดมากนักเกี่ยวกับเรื่องนี้ยกเว้นว่าฉันหวังว่าจะมีคนอธิบายให้ฉันฟังได้

นอกจากนี้ยังเป็นการดีที่จะได้รับตัวอย่างที่เข้าใจได้ง่ายขึ้นเกี่ยวกับความคิดที่ว่าลำดับที่ลดลงซึ่งจำเป็นสำหรับข้อเสนอ 6.1 ไม่สามารถทั้งหมดได้ เริ่มต้นด้วยดัชนีหมายเลขก้าว, , เท่ากับ 1 ดัชนีนี้ควรเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ (ซึ่งไม่เพียงแค่จำนวนก้าวกลายเป็นอนันต์ แต่ยังเป็นการสุ่มเลือกลูกบอลที่จะถูกทิ้งกลายเป็นอนันต์และ จำนวนลูกบอลที่เราสังเกตเห็นขีด จำกัด จะกลายเป็นอนันต์) ในขณะที่ความสามารถทางเทคนิคนี้อาจจะถูกจัดการ (และอาจทำไปแล้วในคำตอบอื่น ๆ ไม่ว่าจะโดยปริยายหรือโดยชัดแจ้ง) คำอธิบายที่ละเอียดและเข้าใจง่ายอาจจะมีประโยชน์มาก$E_{in}, E_{in+1}, E_{in+2}, ...$$n$

ในขั้นตอนที่ 3 นี้จะค่อนข้างเป็นเรื่องทางเทคนิคในขณะที่ Ross สั้นมากเกี่ยวกับเรื่องนี้ (หรืออย่างน้อยก็ไม่ชัดเจนเกี่ยวกับเรื่องนี้) ซึ่งเราสามารถใช้การดำเนินการเหล่านี้ได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุดเช่นเดียวกับที่เราสามารถนำการปฏิบัติงานไปใช้ในพื้นที่ จำกัด อัน จำกัด

คำตอบโดย ekvall ให้การก่อสร้างโดยใช้ทฤษฎีบทส่วนขยายเนื่องจาก Ionescu-Tulceaทำให้เกิดพื้นที่ผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดในการที่เราสามารถแสดงเหตุการณ์โดยผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเมล็ดน่าจะส่งผลให้ 0$\sum_{k=0}^\infty \Omega_i \bigotimes_{k=0}^\infty \mathcal{A}_i$$P(E_i)$$P=0$

อย่างไรก็ตามมันไม่ได้ถูกสะกดออกมาในแง่ที่เป็นธรรมชาติ เราจะแสดงให้เห็นได้อย่างชัดเจนว่าพื้นที่จัดกิจกรรมทำงานอย่างไร นั่นคือส่วนเติมเต็มคือเซตว่าง (และไม่ใช่ตัวเลข 1 ที่มีศูนย์จำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุดเช่นวิธีแก้ปัญหาในปัญหา Ross-Littlewood ที่ปรับปรุงแล้วโดย Allis และ Koetsier) และเป็นพื้นที่น่าจะเป็นหรือไม่$E_{i}$

ขั้นตอนการพิสูจน์ 4)

ความไม่เท่าเทียมกันของ Boole ใช้เพื่อพิสูจน์หลักฐานให้เสร็จ

$$P\left( \bigcup_1^\infty F_i \right) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$$

ความไม่เท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์สำหรับชุดเหตุการณ์ที่มีจำนวน จำกัด หรือนับไม่ถ้วน นี่คือความจริงสำหรับF_i$F_i$

การพิสูจน์โดย Ross นี้ไม่ได้เป็นข้อพิสูจน์ในความหมายที่ชัดเจน แทนที่จะพิสูจน์ว่าความน่าจะเป็นเกือบ 1 สำหรับโกศที่ว่างเปล่าเวลา 12.00 น. เป็นการพิสูจน์ว่าความน่าจะเป็นที่เกือบ 0 สำหรับโกศที่จะเต็มไปด้วยลูกบอลใด ๆ ที่มีจำนวน จำกัด บนมัน

จำได้

Ross-Littlewood บุคคลที่กำหนดขึ้นอย่างชัดเจนมีชุดว่างอย่างชัดเจน (นี่คือวิธีที่โพสต์นี้เริ่มต้น) สิ่งนี้ทำให้ไม่น่าแปลกใจที่รุ่น probabilistic จะจบลงด้วยเซตว่างเปล่าและผลลัพธ์ (ไม่ว่าจะเป็นจริงหรือไม่ก็ตาม) ก็ไม่ได้ขัดแย้งกันมากกว่ารุ่น RL ที่ไม่น่าจะเป็นไปได้ การทดลองทางความคิดที่น่าสนใจคือปัญหา RL รุ่นต่อไปนี้:

• ลองนึกภาพเริ่มต้นด้วยโกศที่เต็มไปด้วยลูกบอลมากมายและเริ่มสุ่มทิ้งลูกบอลจากมัน supertask นี้ถ้ามันจบลงจะต้องว่างโกศอย่างมีเหตุผล เนื่องจากถ้ามันไม่ว่างเราก็สามารถทำต่อไปได้ (การทดลองทางความคิดนี้อย่างไรก็ตามขยายความคิดของ supertask และมีจุดจบที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนมันคือเมื่อโกศว่างเปล่าหรือเมื่อเรามาถึง 12 น.?)

มีบางอย่างที่ไม่พอใจเกี่ยวกับเทคนิคการพิสูจน์ของรอสหรืออย่างน้อยก็ต้องใช้สัญชาตญาณและการอธิบายที่ดีขึ้นพร้อมตัวอย่างอื่นเพื่อที่จะสามารถชื่นชมความงามของหลักฐานได้อย่างเต็มที่ 4 ขั้นตอนรวมกันเป็นกลไกที่สามารถวางนัยและนำไปประยุกต์ใช้ในการสร้างความขัดแย้งอื่น ๆ อีกมากมาย (แม้ว่าฉันได้ลองแล้วฉันก็ไม่ประสบความสำเร็จ)

เราอาจจะสามารถสร้างทฤษฎีบทเช่นนี้สำหรับพื้นที่ตัวอย่างที่เหมาะสมซึ่งเพิ่มขนาดไปสู่อินฟินิตี้ (พื้นที่ตัวอย่างของปัญหา RL มี ) หากเราสามารถกำหนดชุดของเหตุการณ์ที่นับได้ซึ่งเป็นลำดับที่ลดลงโดยมีขีด จำกัด เป็น 0 เมื่อขั้นตอนเพิ่มขึ้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นสหภาพของเหตุการณ์เหล่านั้นจะเป็นศูนย์เมื่อเราเข้าใกล้อนันต์ ถ้าเราสามารถทำให้การรวมกลุ่มของเหตุการณ์เป็นพื้นที่ทั้งหมด (ในตัวอย่าง RL แจกันว่างเปล่าไม่รวมอยู่ในสหภาพที่ความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ดังนั้นจึงไม่เกิดความขัดแย้งรุนแรง) จากนั้นเราก็สามารถสร้างความขัดแย้งที่รุนแรงยิ่งขึ้น ความสอดคล้องของสัจพจน์ร่วมกับการหักทรานสฟิน$card(2^\mathbb{N})$$E_{ij}$$j$

• ตัวอย่างหนึ่งดังกล่าว (หรือความพยายามในการสร้าง) คือการแบ่งขนมปังออกเป็นชิ้นเล็ก ๆ อย่างไม่สิ้นสุด (เพื่อให้สมกับเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์สมมติว่าเราทำการแยกเป็นชิ้น ๆ ที่มีขนาดเท่ากับจำนวนตรรกยะบวก) สำหรับตัวอย่างนี้เราสามารถกำหนดเหตุการณ์ (ในขั้นตอนที่ x เรามีชิ้นส่วนของขนาด x) ซึ่งกำลังลดลงลำดับและขีด จำกัด ของความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์จะเป็นศูนย์ (เช่นเดียวกับ RL Paradox ลำดับที่ลดลงจะเกิดขึ้นต่อไปเท่านั้น ต่อไปในเวลาและมีจุดตาม แต่ไม่และการบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ)

  เราจะต้องสรุปได้ว่าเมื่อเราจบ supertask นี้ว่าขนมปังได้หายไป เราสามารถไปในทิศทางต่าง ๆ ได้ที่นี่ 1) เราสามารถพูดได้ว่าวิธีแก้ปัญหาคือเซตว่าง (แม้ว่าวิธีนี้จะน่าพอใจน้อยกว่าใน RL Paradox เพราะเซตว่างไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ตัวอย่าง) 2) เราสามารถบอกได้ว่ามีชิ้นส่วนที่ไม่ได้กำหนดจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด ( เช่นขนาดเล็กขนาดเล็ก) 3) หรือบางทีเราจะต้องสรุป (หลังจากดำเนินการพิสูจน์ของ Ross และพบว่าว่างเปล่า) ว่านี่ไม่ใช่ supertask ที่สามารถทำให้เสร็จได้? ความคิดของการตกแต่ง supertask ดังกล่าวสามารถทำได้ แต่ไม่จำเป็นว่า "มีอยู่" (เรียงลำดับของรัสเซลเป็นเส้นขนาน)

---

คำพูดจาก Besicovitch พิมพ์ในหนังสือรวบรวมของ Littlewood:

"ชื่อเสียงของนักคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับจำนวนการพิสูจน์ที่ไม่ดีที่เขาได้รับ"

---

Allis, V. , Koetsier, T. (1995), ในความขัดแย้งบางอย่างของอนันต์ II , วารสาร British Journal of ปรัชญาวิทยาศาสตร์ , pp. 235-247

Koetsier, T. (2012), Didactiek พบ oneindig veel pingpongballen, Nieuw Archief voor Wiskunde , 5/13 nr4, pp 258-261 ( ต้นฉบับภาษาดัตช์สามารถแปลได้ผ่าน Google และวิธีการอื่น ๆ )

Littlewood, JE (1953), Miscellaneousany's Miscellaneousany , pp. 5 ( ลิงก์ฟรีผ่าน archive.org )

เมอร์ลิน, D. , Sprugnoli, R. , และ Verri MC (2002), ปัญหาลูกเทนนิส , วารสาร Combinatorial Theory , pp. 307-344

Ross, SM (1976), ความน่าจะเป็นหลักสูตรแรก , (มาตรา 2.7)

Tymoczko, T. และ Henle, J. (ต้นฉบับ 1995) ( การอ้างอิงรุ่นที่ 2 ปี 1999 บน Google ), เหตุผลหวาน: คู่มือภาคสนามเพื่อตรรกะสมัยใหม่

ตกลงฉันจะลองอีกครั้ง

คำตอบคือความขัดแย้งทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ คำตอบของ Enumaris และ cmaster เป็นการบอกว่าเกิดอะไรขึ้นในทางหนึ่ง แต่นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการดูปัญหา ปัญหาคือวิธีที่เราจัดการกับความน่าจะเป็นกับอินฟินิตี้ตามที่เจย์เนสเขียนไว้

อนุกรมที่ไม่มีที่สิ้นสุดมักจะได้รับการปฏิบัติราวกับว่ามันไม่มีจุดสิ้นสุด แต่ในปัญหานี้มีเวลาสิ้นสุด (12PM) และมีเหตุผลดังนั้นแม้ว่าจะไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์มีรอบสุดท้ายของการเพิ่มและกำจัดลูกบอล: ชุดที่เกิดขึ้น อนันต์ก่อน 12.00 น. การดำรงอยู่ของวงจร 'สุดท้าย' ช่วยให้เราสามารถดูความน่าจะเป็นถอยหลังและส่งต่อไปตามกาลเวลา

พิจารณาสิบลูกที่เพิ่มล่าสุด สำหรับพวกเขาแต่ละคนความน่าจะเป็นที่ถูกลบออกเป็นศูนย์เพราะพวกเขาเป็นเพียงหนึ่งในลูกอินฟินิตี้ที่อาจถูกลบออก ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะมีอย่างน้อยสิบลูกที่เหลือเวลา 12.00 น. จึงเป็นอันหนึ่งอันเดียวกัน

QED อาร์กิวเมนต์ความน่าจะเป็นที่ไม่นำไปสู่เรื่องไร้สาระ

เมื่อเร็ว ๆ นี้มีข้อคิดเห็นหลายอย่างจากวิลเฮล์มโวล์ฟกังมึคเค็นเฮมทำให้ฉันพิจารณาสูตรบางอย่างในคำตอบของฉัน ฉันกำลังโพสต์สิ่งนี้เป็นคำตอบใหม่ส่วนใหญ่เป็นเพราะวิธีการที่แตกต่างกันของคำตอบนี้ไม่โต้เถียงเกี่ยวกับการสอนของปัญหานี้ แต่แทนที่จะเกี่ยวกับความขัดแย้งที่ไม่ถูกต้อง

วิลเฮล์มกล่าวถึงในต้นฉบับที่มีความยาวของเขาว่า

การทำธุรกรรมเป็นไปได้เฉพาะในขั้นตอนที่ จำกัด (ไม่มีการกระทำที่เป็นไปได้ "ระหว่างทั้งหมดและ ")$n$$n$$\omega$

สิ่งนี้ทำให้ฉันนึกถึงคำว่า

$$\sum_{k=1}^\infty \prod_{n=k}^\infty \left( \frac{9n}{9n+1} \right)$$

ซึ่งมาจากงานของ Ross คำนี้ไม่แน่นอนเมื่อไม่ได้กำหนดเส้นทางไปยังอินฟินิตี้ตามขีด จำกัด ต่อไปนี้

$$\lim_\limits{(l,m)\to(\infty,\infty)}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^m\left(\frac{9n}{9n+1}\right)$$

ดูเหมือนว่าจะคล้ายกับจุดที่วิลเฮล์มพูดถึงและถูกกล่าวถึงในคำตอบของ aksakal ขั้นตอนในเวลานั้นเล็กมากดังนั้นเราจะสามารถไปถึง 12.00 น. ในความหมายนั้น แต่ในเวลาเดียวกันเราจะต้องเพิ่มและลบจำนวนอินฟินิตี้ มันเป็นความคิดที่ผิดที่จะแนบ supertask นี้เข้ากับกระบวนการเช่นลูกศรของ Zeno เช่นเดียวกับสวิตช์ของหลอดไฟขัดแย้งของ Thompsonไม่สามารถมีตำแหน่งที่แน่นอนในตอนท้ายของ supertask

ในแง่ของขีด จำกัด เราสามารถพูดได้ว่าเส้นทางกายภาพไปสู่อินฟินิตี้ที่เราใช้คือ

$$\lim_\limits{l\to \infty}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^l\left(\frac{9n}{9n+1}\right) = \lim_\limits{l\to \infty} \frac{9l}{10}$$

ไม่ใช่ศูนย์ แต่ไม่มีที่สิ้นสุด

ฉันเชื่อว่าตัวอย่างนี้รองรับ "ถ้าหลักฐานเป็นเท็จเงื่อนไขจะเป็นจริง"

ในจักรวาลนี้ไม่มีโกศไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีการรวบรวมลูกบอล เป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งเวลาออกเป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อยตามอำเภอใจ

ดังนั้นเชลดอนรอสจึงกล่าวถูกต้องว่าโกศว่างเปล่าเวลา 12:00 น. นักเรียนที่พูดว่าโกศมีลูกบอลไม่สิ้นสุดเวลา 12:00 น.

หากคุณตอบว่าโกศมี 50 ลูกคุณจะถูกต้องเช่นกัน

ฉันไม่ได้พิสูจน์อย่างจริงจังว่าจักรวาลนี้ไม่มีโกศที่ไม่มีที่สิ้นสุดและลูกบอลที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเวลานั้นไม่ใช่อะตอม - ฉันแค่เชื่อในสิ่งเหล่านั้น หากคุณเชื่อว่าคำยืนยันทั้งสามนั้นผิดคุณก็เชื่อว่าปัญหาของ Ross นั้นพิสูจน์ได้จริง ฉันรอผลการทดลองของคุณ

ฉันสนับสนุนความคิดเห็นที่ว่าปัญหานั้นไม่ถูกต้อง เมื่อเราพิจารณาสิ่งที่ไม่สิ้นสุดเรามักจะต้องใช้ขีด จำกัด ดูเหมือนว่าที่นี่เป็นวิธีเดียว เนื่องจากเราแยกแยะลูกบอลที่แตกต่างกันเราจึงมีกระบวนการไร้มิติ ที่หมายถึงเวลาหากมีลูกบอลในเวลาและมิฉะนั้นT = - 1 , - 1 / 2 , - 1 / 4 , . . X t , j = 1 j t + 0 X t , j =

$$(X_{t,1}, X_{t,2},...),$$ $t=-1,-1/2,-1/4,...$$X_{t,j}=1$$j$$t+0$$X_{t,j}=0$

ตอนนี้มันขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของทุกคนที่บรรจบกันที่จะใช้: เครื่องแบบ, ส่วนประกอบ, , ฯลฯ โดยไม่จำเป็นต้องพูด$l_p$

ความเข้าใจผิดในปัญหานี้เกิดขึ้นจากการละเลยข้อเท็จจริงที่ว่าประเด็นการวัดมีความสำคัญเมื่อเราพิจารณาการรวมกันของเวกเตอร์มิติอนันต์ หากไม่เลือกประเภทของคอนเวอร์เจนซ์จะไม่สามารถให้คำตอบที่ถูกต้องได้

(มีการบรรจบกันขององค์ประกอบเป็นศูนย์เวกเตอร์ในขณะที่ norm นับจำนวนลูกบอลดังนั้นในบรรทัดฐานนี้กระบวนการกำลังระเบิด)$l_1$

สัญชาตญาณมากกว่าการศึกษาในระบบ แต่:

หากช่วงเวลาถึงเที่ยงคืนลดลงเราจะไม่มีวันถึงเที่ยงคืน ... เราเข้าหา asymptotically เท่านั้น ดังนั้นหนึ่งสามารถยืนยันว่ามีคือไม่มีวิธีแก้

อีกทางหนึ่งขึ้นอยู่กับการใช้ถ้อยคำ:

• เนื่องจากมีช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดของลูกบอล +10 คำตอบคือไม่มีที่สิ้นสุด
• เนื่องจากมีช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดของ (+10 ลูก - 1) คำตอบคือ 10 * อนันต์ -1 * ไม่มีที่สิ้นสุด = 0?
• เนื่องจากมีช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดของ (+9 ลูก) +1 คำตอบคือไม่มีที่สิ้นสุด + 1

เขียนซ้ำ: 16 ม.ค. 2018

ส่วนที่ 1: ร่าง

ผลลัพธ์พื้นฐานโพสต์นี้มีดังนี้:

• ลูกบอลครึ่งทางมีความน่าจะเป็นที่เหลืออยู่ประมาณในขีด จำกัด ขณะที่ก้าวไปสู่ - นี่คือทั้งการสังเกตโลกแห่งความเป็นจริงและได้มาทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันที่ได้รับนั้นมีโดเมนของ rationals ในตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นในการ จำกัด บอลครึ่งทางที่เหลืออยู่นั้นสอดคล้องกับค่าโดเมนฟังก์ชันนี้สามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่เหลืออยู่สำหรับเศษส่วนใด ๆ ของ ขนาดขั้นตอน$0.91$$\infty$
  $(0,1]$$1/2$
• การวิเคราะห์ของรอสส์ไม่ผิด แต่ไม่สมบูรณ์เพราะมันพยายามที่จะย้ำ rationals ในลำดับความสำคัญi$\left(i,\infty\right), i=1..\infty$
  ปันส่วนไม่สามารถทำซ้ำได้ตามลำดับความสำคัญ ดังนั้นการวิเคราะห์ของ Ross ไม่สามารถเข้าถึงโดเมนแบบเต็มและสามารถเสนอมุมมองที่ จำกัด ของพฤติกรรมทั้งหมด
• การวิเคราะห์ของ Ross นั้นคำนึงถึงพฤติกรรมที่สามารถสังเกตได้อย่างใดอย่างหนึ่งโดยไม่ จำกัด ผ่านการวนซ้ำแบบอนุกรมจาก 1 เพื่อไปถึง ballset ที่เหลือแรก
• ลำดับที่ จำกัด ของ Ross มีคุณสมบัติที่น่าเชื่อบางอย่างที่ดูไม่เหมือนใคร
  อย่างไรก็ตามเราแสดงชุดลำดับที่ จำกัด อีกชุดหนึ่งซึ่งมีคุณสมบัติที่ดีเหมือนกันและให้ค่าสำหรับฟังก์ชันของเรา

ส่วนที่ 2 "สัญลักษณ์และคำศัพท์" ครอบคลุมถึงสัญลักษณ์และคำศัพท์ที่ใช้ในบทความนี้

หมวดที่ 3 "Halfway Ballset" แนะนำการสังเกตโลกแห่งความจริง - การบรรจบกันในขีด จำกัด ของความน่าจะเป็นที่เหลืออยู่ของลูกบอลที่มีดัชนีอยู่ครึ่งทางผ่านลูกบอลที่สอดเข้าไปทั้งหมด ค่า จำกัด นี้ประมาณ 91% กรณีของชุดบอลครึ่งทางนั้นมีความหมายเหมือนกับเหตุผลใด ๆ ในซึ่งทั้งหมดมีค่า จำกัด ที่ไม่เป็นศูนย์ $(0,1]$

ส่วนที่ 4 "การแก้ปัญหาความขัดแย้ง" นำเสนอกรอบการทำงานร่วมกันสำหรับการรวมผลลัพธ์ของ Ross และผลลัพธ์ 'โดเมนที่มีเหตุผล' (อธิบายไว้ในที่นี้) ดังที่ระบุไว้แล้วการวิเคราะห์ของ Ross เป็นการเสนอมุมมองที่ จำกัด ของพฤติกรรมทั้งหมด ดังนั้นแหล่งที่มาของความขัดแย้งจะถูกระบุและแก้ไข

ในภาคผนวกผลลัพธ์อื่น ๆ ที่มีความสำคัญน้อยกว่าจะกล่าวถึง:

• "ความคาดหวังในขีด จำกัด " คำนวณจำนวนลูกบอลที่คาดหวังที่เหลืออยู่และรวมถึงเศษส่วนของขนาดขั้นตอนใด ๆ
• ผลการวิเคราะห์นี้กำหนดดัชนีของลูกแรกซึ่งมีความคาดหวังว่าจะเหลือมากกว่าหนึ่งลูก

ส่วนที่ 2: สัญลักษณ์และคำศัพท์

• เราติดป้ายดัชนีบอลที่ขั้นตอนเป็น และเรียกชุดนี้ว่า"ballset" ชุดที่Ballset เป็นคำเดียวที่สร้างขึ้นสำหรับโพสต์นี้$n$$\{n.1, n.2, n.3, ..... n.10\}$$n$
  คำศัพท์นี้แตกต่างจากคำศัพท์ของ Ross อย่างน่าเสียดาย แต่ก็ทำให้ข้อความชัดเจนและสั้นลงมาก
• สัญกรณ์หมายถึงกรณีที่ลูกใน ballset ยังคงอยู่ในขั้นตอน$E(a,b)$$a.1$$a$$b$ละเลยลูกอื่น ๆ ใน ballset
• สัญกรณ์เป็นคำย่อสำหรับและมันหมายถึงความน่าจะเป็นของB) โปรดทราบว่าลูกบอลทั้งหมดใน ballsetมีความน่าจะเป็นที่เหลืออยู่เท่ากัน - ค่าของเป็น1)}$P(a,b)$$P(E(a,b))$$E(a,b)$
  $a.i$$a$
  $P(E(a,b))$$\prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)}$
• Ross limitคือความน่าจะเป็นเมื่อไปที่อนันต์: -$P(a)$$P(a,b)$$b$
  $P_{lim1}(a) = \lim_{b\rightarrow\infty} P(a,b)$
• เหตุผล จำกัด ถูกกำหนดเป็นขีด จำกัด เป็นดัชนีบอลทั้งและขั้นตอนไปที่อินฟินิตี้ในขณะที่รักษาอัตราส่วนคงที่: -$a$$b$$P_{lim2}(a,b) = \lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb)$

ส่วนที่ 3: ชุดบอลครึ่งทาง

ในทุกขั้นตอนแม้ , ballset ครึ่งหนึ่งถูกกำหนดให้เป็น TH ballset ในทุกขั้นตอนแม้ , ความน่าจะเป็นครึ่งหนึ่งของที่เหลือถูกกำหนดให้เป็น2n) ในวงเงินที่เป็น , ความน่าจะเป็นครึ่งหนึ่งของที่เหลือจึงเป็น *) ทฤษฎีบท 1 ด้านล่างให้ค่าตัวเลขสำหรับความน่าจะเป็นครึ่งทางที่เหลือ$2n$$n$$2n$$P(n,2n)$
$n\rightarrow\infty$$\lim_{n\rightarrow\infty} P(1*n,2*n)$

ทฤษฎีบท 1 - ขีด จำกัด ของความน่าจะเป็นขององค์ประกอบต่างๆในลำดับโดเมนที่รักษาอัตราส่วน

$$\begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty} P(a*n,b*n) = (\frac{a}{b})^\frac{1}{9} \end{equation}$$ มีการพิสูจน์ด้านล่างก่อนภาคผนวก

โดยทฤษฎีบทที่ 1 น่าจะเป็นครึ่งหนึ่งของที่เหลืออยู่ในขีด จำกัด คือ ซึ่งประเมินค่าทศนิยมประมาณ0.925875$(\frac{1}{2})^\frac{1}{9}$$0.925875$

การตรวจสอบสติ ช่วยให้ทำการตรวจสอบสติเพื่อดูว่าขีด จำกัด ตัวเลขสำหรับความน่าจะเป็นครึ่งทาง "ดูขวา"

$$\begin{array}{|l|rcl|} \hline n & P(n/2,n) &=& \text{trunc decimal val} \\ \hline 1000 & P(500,1000) &=& 0.92572614082 \\ \hline 10000 & P(5000,10000) &=& 0.9258598528 \\ \hline 100000 & P(50000,100000) &=& 0.925873226 \\ \hline 1000000 & P(500000,1000000) &=& 0.92587456 \\ \hline \hline \infty & \lim_{n\rightarrow\infty} P(n,2n) &=& 0.925875 \\ \hline \end{array}$$

4 แถวแรกคือความน่าจะเป็นแบบครึ่งทางที่เหลือสำหรับค่าหมายเลขขั้นตอน , ,และตามลำดับ แถวสุดท้ายคือขีด จำกัด ดูเหมือนว่าความน่าจะเป็นครึ่งทางจะมาบรรจบกันถึงขีด จำกัด ที่คาดการณ์ไว้ การสังเกตโลกแห่งความเป็นจริงนี้ซึ่งไม่เหมาะสมภายในกรอบของ Ross จำเป็นต้องอธิบาย $10^3$$10^4$$10^5$$10^6$

** หมวดที่ 4 "การแก้ปัญหาความขัดแย้ง" **

ส่วนนี้อธิบายถึงกรอบการทำงานร่วมกันสำหรับการวิเคราะห์ของ Ross และการวิเคราะห์โดเมนแบบเหตุผลโดยการดูพวกมันด้วยกันความขัดแย้งจะได้รับการแก้ไข

เหตุผล จำกัดสามารถลดลงไปยังฟังก์ชั่นจากถึง reals : โดยที่และนี่หมายถึงตัวหารร่วมมากที่ยิ่งใหญ่ที่สุดประโยคเทียบเท่าคือ "และคือ นายกร่วมกัน "และ"คือส่วนที่ลดลงของ$P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$(0,1]$

$$\begin{array}{rcl} P_{lim2}(a,b) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb) \\ &=& (\frac{a'}{b'})^\frac{1}{9} \end{array}$$ $gcd(a',b')=1$$\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b}$$gcd()$$a'$$b'$$\frac{a'}{b'}$$\frac{a}{b}${ข}

ขีด จำกัด Ross สามารถเขียนเป็นขีด จำกัด ของลำดับข้อ จำกัด ที่มีเหตุผล: tupleไม่ได้เป็นสมาชิกของปันส่วนใน ; มันเป็นของดังนั้นขีด จำกัด Ross จึงเป็น isomorphic ของฟังก์ชัน บนโดเมนและรูปภาพจะเป็นค่าแท้จริงเสมอ

$$\begin{array}{rclr} P_{lim1}(a) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(a,k) & \\ &=& lim_{i,k\rightarrow\infty} P(ka/i,kb) & \text{for some } b \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(a/i,b) & \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(0,b) & \end{array}$$ $(0,b)$$(0,1]$$[0,0]$$P_{lim2}(a,b)$$[0,0]$$0$

The Ross limit และ rational-limit เป็นฟังก์ชั่นเดียวกันในสองโดเมนที่แยกจากกันและ$[0,0]$$(0,1]$ตามลำดับ The Ross limit จะพิจารณาเฉพาะกรณีของดัชนี ballset ซึ่งลดระดับลงเล็กน้อยเมื่อเทียบกับ stepsize

การวิเคราะห์ Ross-limit ทำนายว่าในการ จำกัด การเข้าถึงค่าตามลำดับสำหรับ จะไม่ถึงค่าที่ไม่เป็นศูนย์$P_{lim1}(i)$$i=1,2,...\infty$
นี่คือการแก้ไขที่ถูกต้องและสอดคล้องกับการสังเกตโลกแห่งความจริง

การวิเคราะห์ที่มีเหตุผล - จำกัด บัญชีสำหรับการสังเกตโลกแห่งความเป็นจริงเช่นชุดบอลครึ่งทางที่วงเงินรอสส์ไม่ได้บัญชี ฟังก์ชันเป็นแต่โดเมนคือแทนที่จะเป็น$P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$[0,0]$

แผนภาพด้านล่างแสดงให้เห็นถึงลำดับการ จำกัด Ross และลำดับการ จำกัด เหตุผล

มันอาจยุติธรรมที่จะบอกว่าการวิเคราะห์ของ Ross มีข้อสันนิษฐานโดยนัยว่า Ross-limit และโดเมนนั้นเป็นโดเมนที่น่าสนใจทั้งหมด สัญชาตญาณพื้นฐานของรอสส์สัญชาตญาณโดยปริยายเป็นเพราะเงื่อนไขที่สี่ด้านล่างแม้ว่าพวกเขาจะไม่ได้รับการยอมรับอย่างชัดเจน:

ให้เป็นลำดับที่จำกัด ที่ Roth ให้เป็นสหภาพของลำดับ Roth ที่ จำกัด $S_i = P(i,n), n=1,...,\infty$$i$$S = \cup_{i=(1...\infty)} S_i$

• (1) ลำดับเป็น disjoint และแต่ละลำดับมาบรรจบกัน$S_i$
• (2) การรวมกันขององค์ประกอบของลำดับทั้งหมดครอบคลุมชุดทั้งหมด (บอลขั้นตอน) tuples เข้ามาเล่น:$S$$\{ (i,n)\ |\ i\leq n\ \land \ i,n\in Q \}$
• (3) ลำดับทั้งหมดนั้นไม่มีที่สิ้นสุดในซึ่งเป็นดัชนีขั้นตอนดังนั้นพวกเขาจึงไม่ยุติ "ต้น"$S_i$$n$
• (4) ลำดับตัวเองในรูปแบบซุปเปอร์ลำดับinfty)} ดังนั้นลำดับขั้นสูงสามารถ "สร้าง" ซ้ำ ๆ , i, e, มันสามารถนับได้$S_i$$\{ S_i \}_{i_in (1...\infty) }$

ไม่ชัดเจนในทันทีว่าระบบลำดับที่ จำกัด อื่นสามารถตอบสนองต่อคะแนนด้านบน (1) - (4) ได้

อย่างไรก็ตามตอนนี้เราจะพูดถึงระบบลำดับขั้น จำกัด อื่น ๆ ซึ่งจะตอบสนองประเด็นข้างต้นได้อย่างแน่นอน (1) - (4)

ให้ , โดยที่ , เป็นตัวแทนลำดับเหตุผล จำกัด ให้เป็นอันดับอันดับสองของ : = \} ปล่อยให้เป็นสหภาพของลำดับเหตุผลที่กล่าวว่า: $S_{p,q}$$gcd(p,q)=1$

$$\begin{equation} S_{p,q} = \{ (kp,kq) \}_{k\in (1...\infty)} \end{equation}$$ $D^*$$D$$D^* =\{ (p,q)\in D \land gcd(p,q)=1 \}$$S^*$$S^* = \cup_{d\in D^*} S_{p,q}$

เห็นได้ชัดว่าลำดับซึ่งสหภาพคือเป็นไปตามคุณสมบัติข้างต้น (1) - (3) ดัชนีเป็นค่า rationals ในทุกประการเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไข (4) เราจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่า rationals ในนั้นสามารถนับได้ $S_{p,q}$$S^*$
$(p,q)$$(0,1]$$(0,1]$

ลำดับ (Farey) 2ของคำสั่งคือลำดับของเศษส่วนที่ลดลงอย่างสมบูรณ์ระหว่าง 0 และ 1 ซึ่งเมื่อในเงื่อนไขต่ำสุดมีตัวหารน้อยกว่าหรือเท่ากับจัดเรียงตามลำดับเพื่อเพิ่มขนาด นี่คือแปดลำดับ Farey แรก:$n$$n$

 F1 = {0/1,                                                                                                          1/1}
 F2 = {0/1,                                                   1/2,                                                   1/1}
 F3 = {0/1,                               1/3,                1/2,                2/3,                               1/1}
 F4 = {0/1,                     1/4,      1/3,                1/2,                2/3,      3/4,                     1/1}
 F5 = {0/1,                1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5,                1/1}
 F6 = {0/1,           1/6, 1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5, 5/6,           1/1}
 F7 = {0/1,      1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3,      2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5,      2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,      1/1}
 F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

ให้แทน TH ลำดับ Farey โดยไม่ต้ององค์ประกอบแรก0/1$F^*_n$$n$$0/1$

ให้เป็นกลุ่มของลำดับข้อ จำกัด ที่มีเหตุผลซึ่งมีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งรายการและรวมถึงขั้นตอนที่ : $S^*_n$$n$

$$\begin{equation} S^*_n = \{ S_{p,q}\ |\ \exists (a,b) \} \end{equation}$$

องค์ประกอบของดัชนี , แปลงจากเศษส่วนเป็น tuples ให้ทำดัชนีองค์ประกอบของทุกประการ ตารางต่อไปนี้เปรียบเทียบการจัดกลุ่มของลำดับขีด จำกัด ในการวิเคราะห์ Ross และการวิเคราะห์ขีด จำกัด เชิงเหตุผล:$F^*_n$$S^*_n$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Ross} & \text{rational} \\ \hline \text{num new seq per step } & 1 & \text{multiple (generally)} \\ \hline \text{new seq at step } n & S_n & F^*_n - F^*_{n-1} \\ \hline \text{tot num seq up to step }n & n & \| F^*_n \| \\ \hline \text{super-seq up to step }n & \{ S_m \}_{m=1}^{n} & F^*_n \\ \hline \end{array}$$

ในที่สุดเนื่องจากวิธีการที่มีอยู่ [ 3 ], [ 4 ] สำหรับการสร้างลำดับขั้นสูง , เงื่อนไข (4) ก็เป็นที่พอใจเช่นกัน$F^*_n$

หนึ่งในวิธีการเหล่านั้นแตกต่างจากต้นไม้ Stern-Brocot เป็นดังนี้:

ค่ามัธยฐานของค่า rationals สองและถูกกำหนดเป็น$a/c$$b/d$$\frac{a+b}{c+d}$

• ตั้ง$F*_n = \emptyset$
• ผนวกถึง$1/n$$F*_n$

• วนซ้ำสำหรับใน$i$$1...(\|F*_{n-1}\|-1)$

  • ผนวกถึง F * _n $$F*_{n-1}[i]$

  • ให้$x = mediant(F*_{n-1}[i], F*_{n-1}[i+1])$

  • ถ้าผนวก x ถึง$denom(x) \leq n$$F*_n$
  • ดำเนินการต่อห่วง
• ผนวกถึง$F*_{n-1}[n]$$F*_n$

ความขัดแย้งได้รับการแก้ไข

หลักฐานของบทที่ 1 สิ่ง แรกที่ทราบ: โดยที่การแปลงล่าสุดคือการแปลงค่า Sterling

$$\begin{eqnarray} P(E_{a,b}) &=& \prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)} \\ &=& \frac{\Gamma \left(a+\frac{1}{9}\right) \Gamma (b+1)}{\Gamma (a) \Gamma\left(b+\frac{10}{9}\right)} \\ &=& (a-1)^{\frac{1}{2}-a} \left(a-\frac{8}{9}\right)^{a-\frac{7}{18}} b^{b+\frac{1}{2}} \left(b+\frac{1}{9}\right)^{-b-\frac{11}{18}} \end{eqnarray}$$

จากนั้น syntactically แทนที่และเข้าสู่สมการสุดท้าย (รูปแบบสเตอร์ลิง) สมการที่เราได้รับ $a\rightarrow a*n$$b\rightarrow b*n$

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty} P(E_{a,b}) &=& \lim_{n\rightarrow\infty} (a M-1)^{\frac{1}{2}-a M} \left(a M-\frac{8}{9}\right)^{a M-\frac{7}{18}} (b M)^{b M+\frac{1}{2}} \left(b M+\frac{1}{9}\right)^{-b M-\frac{11}{18}} \\ &=& \left(\frac{a}{b}\right)^\frac{1}{9} \end{eqnarray}$$

ภาคผนวก: ผลลัพธ์อื่น ๆ

ความคาดหวังในขีด จำกัด

ส่วนนี้ให้การแสดงออกอย่างใกล้ชิดสำหรับจำนวนลูกบอลที่คาดหวังที่เหลือและรวมถึงเศษส่วนของขนาดขั้นตอนใด ๆ
ผลการเปรียบเทียบนี้เป็นตัวเลขโดยประมาณของดัชนีของลูกบอลแรกซึ่งคาดว่าจะเหลือมากกว่าหนึ่ง

( ยังมีต่อ )

แก้ไขแก้ไข

เรื่องสั้นสั้น ที่เรียกว่าความขัดแย้งเป็นข้อผิดพลาดแบบฟอร์มไม่แน่นอนข้อผิดพลาดการเริ่มต้นของผลคล้ายกับการหารด้วยศูนย์ข้อผิดพลาดการพิสูจน์ว่า 2 ข้อผิดพลาดดังกล่าวในกรณีนี้สำหรับตัวเลขการนับธรรมชาติให้คำตอบที่สามารถเป็น 0,หรือ\$1=2$$n$$\infty$

BTW เมื่อมีการเพิ่มจำนวนความน่าจะเป็นที่ไม่สิ้นสุดจำนวนหนึ่งจะสร้างแบบไม่แน่นอนและการพิสูจน์ของ Ross ไม่ถูกต้อง หากต้องการคำตอบที่ถูกต้องให้ใช้กฎของ L'Hopital อินฟินิตี้ไม่เป็นตัวเลข การรักษาอินฟินิตี้ราวกับว่ามันเป็นตัวเลขที่นำไปสู่ข้อผิดพลาด$\frac{1}{\infty}\infty$