มีอะไรสูงกว่า

ดังนั้นฉันจึงมีการทดสอบความน่าจะเป็นและฉันไม่สามารถตอบคำถามนี้ได้ มันเพิ่งถามอะไรแบบนี้

พิจารณาว่า $X$ เป็นตัวแปรสุ่ม $X$ $\geqslant$ $0$ใช้ความไม่เท่าเทียมกันที่ถูกต้องที่จะพิสูจน์สิ่งที่สูงกว่าหรือเท่ากับ,หรือ 2$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

สิ่งเดียวที่ฉันคิดได้ก็คือความไม่เท่าเทียมของ Jensen แต่ฉันไม่รู้วิธีนำไปใช้ที่นี่จริง ๆ

สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยความไม่เท่าเทียมกันของเซ่น

คำแนะนำ : โปรดทราบว่าสำหรับ$\alpha > 1$ ฟังก์ชั่น $x^{\alpha}$ นูนออกมา $\left[0, -\infty\right)$ (นั่นคือสิ่งที่คุณใช้สมมติฐาน $X \ge 0$) จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันเซ่นให้

ตอนนี้เปลี่ยนตัวแปรให้เป็นสิ่งที่เทียบเคียงได้แล้วค้นหาสิ่งที่เกี่ยวข้อง $\alpha$.

ความไม่เท่าเทียมกันของ Lyapunov (ดู: Casella and Berger, อนุมานทางสถิติ 4.7.6):

สำหรับ $1 < r < s < \infty$:

หลักฐาน :

โดยความไม่เท่าเทียมของ Jensens สำหรับการนูน $\phi(x)$: $\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

พิจารณา $\phi(Y) = Y^t$จากนั้น $(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$ ที่ไหน $Y = |X|^r$

แทน $t = \frac{s}{r}$: $(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

โดยทั่วไปสำหรับ $X >0$ หมายความว่า:

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

สมมติว่า X มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอใน [0,1] จากนั้น E (X$^2$) = $\frac{1}{3}$ และ E (X)$^2$)$^3$ = $\frac{1}{27}$ และ E (X$^3$) =$\frac{1}{4}$ ดังนั้น E (X$^3$)$^2$= $\frac{1}{16}$. ดังนั้นในกรณีนี้ E (X$^3$)$^2$ > E (X$^2$)$^3$. คุณสามารถพูดคุยเรื่องนี้หรือค้นหาตัวอย่างได้หรือไม่?