ความคาดหวังของสแควร์รูทของผลรวมของตัวแปรสุ่มชุดกำลังสองอิสระ

ให้เป็นอิสระและตัวแปรสุ่มชุดมาตรฐานแบบกระจายเหมือนกัน $X_1,\dots,X_n \sim U(0,1)$

ปล่อย Y_{n} = Σ_{ผม}^{n} X_{ผม}^{2} ฉันค้นหา: E [\sqrt{Y_{n}}]

$\text{Let }\quad Y_n=\sum_i^nX_i^2 \quad \quad \text{I seek: } \quad \mathbb{E}\big[\sqrt{Y_n } \big]$

ความคาดหวังของนั้นง่าย: $Y_n$

\begin{aligned} E [X^{2}] & = \int_{0}^{1} \frac{Y}{2 \sqrt{Y}} = \frac{1}{3} \\ E [Y_{n}] & = E [Σ_{ผม}^{n} X_{ผม}^{2}] = Σ_{ผม}^{n} E [X_{ผม}^{2}] = \frac{n}{3} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}\left[X^2\right] &=\int_0^1\frac{y}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{3}\\ \mathbb{E}\left[Y_n\right] &=\mathbb{E}\left[\sum_i^nX_i^2\right] = \sum_i^n\mathbb{E}\left[X_i^2\right]=\frac{n}{3} \end{align}$

ตอนนี้ส่วนที่น่าเบื่อ เมื่อต้องการใช้ LOTUS, ฉันจะต้องไฟล์ PDF ของy_nแน่นอนว่าไฟล์ PDF ของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวคือการแปลงไฟล์ PDF ของพวกเขา อย่างไรก็ตามที่นี่เรามีตัวแปรสุ่มตัวและฉันเดาว่าการโน้มน้าวใจจะนำไปสู่ ... การแสดงออกที่ซับซ้อน มีวิธีที่ฉลาดกว่านี้ไหม? $Y_n$ $n$

ฉันอยากเห็นวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องแต่ถ้ามันเป็นไปไม่ได้หรือซับซ้อนเกินไปการประมาณเชิงซีมโทติคสำหรับขนาดใหญ่อาจเป็นที่ยอมรับได้ โดยความไม่เท่าเทียมของเซ่นฉันรู้ว่า $n$

\sqrt{E [Y_{n}]} = \sqrt{\frac{n}{3}} \geq E [\sqrt{Y_{n}}]

$\sqrt{\mathbb{E}[Y_n]}=\sqrt{\frac{n}{3}}\geq\mathbb{E}\left[\sqrt{Y_n}\right]$

แต่มันก็ไม่ได้ช่วยอะไรมากนักเว้นแต่ฉันจะพบว่าขอบเขตล่างที่ไม่สำคัญ โปรดทราบว่า CLT ไม่ได้ใช้โดยตรงที่นี่เพราะเรามีรากที่สองของผลรวมของ RV อิสระไม่ใช่แค่ผลรวมของ RV อิสระ อาจจะมีทฤษฎีบทขีด จำกัด อื่น ๆ (ซึ่งฉันเพิกเฉย) ที่อาจช่วยได้ที่นี่

— DeltaIV
แหล่งที่มา

ดูคำถามนี้สำหรับผลเชิงซีโมติก

— S. Catterall Reinstate Monica

ฉันได้ตามคำถามที่เชื่อมโยงข้างต้น

E [\sqrt{Y_{n}}] \approx \sqrt{\frac{n}{3} - \frac{1}{15}}

$\mathbb{E}[\sqrt{Y_n}]\approx \sqrt{\frac{n}{3}-\frac{1}{15}}$

— S. Catterall Reinstate Monica

ฉันไม่คิดว่าฉันจะใช้วิธีการใด ๆ ที่อธิบายไว้ในคำตอบนั้น (ซึ่งมีมากกว่าสอง!) :-) เหตุผลก็คือคุณสามารถใช้ประโยชน์จากสถานการณ์จำลองที่เรียบง่ายและตรงไปตรงมาเพื่อประเมินความคาดหวังในขณะที่โซลูชันการวิเคราะห์ดูเหมือนว่าหาไม่ได้ ฉันชอบวิธีการของ @ S.Catterall มาก (+1 สำหรับวิธีแก้ปัญหานั้นซึ่งฉันไม่ได้อ่านมาก่อน) แสดงให้เห็นว่าการจำลองก็ทำงานได้ดีแม้สำหรับขนาดเล็กn

n

$n$

— whuber

การจำลองนั้นมีค่าที่ควรทำ :-) พล็อตแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยจำลองและสูตรตัวอย่างกับnมันจะแสดงให้คุณเห็นอย่างชัดเจนว่าการประมาณการทำงานของอย่างไร

n

$n$

n

$n$

— whuber

เห็นได้ชัดว่าในขณะที่การประมาณจะให้0.516 ในกรณีนั้นจะถูกต้อง แต่การประมาณจะดีขึ้นหลังจากนั้น

E [\sqrt{Y_{1}}] = 0.5

$E\left[\sqrt{Y_1}\right]=0.5$

\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{15}} = \sqrt{\frac{4}{15}} \approx 0.516

$\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{15}} = \sqrt{\frac4{15}}\approx 0.516$

\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{12}}

$\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{12}}$

— เฮนรี่

คำตอบ:

วิธีแรกคือการคำนวณฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ (mgf) ของกำหนดโดยโดยที่เป็นอิสระและกระจายตัวแปรสุ่มแบบมาตรฐานเหมือนกัน . $Y_n$ $Y_n = U_1^2 + \dotsm + U_n^2$ $U_i, i=1,\dotsc, n$

เมื่อเราได้ว่าเราจะเห็นว่า เป็นช่วงเวลาที่เศษส่วนของของการสั่งซื้อ1/2 จากนั้นเราสามารถใช้ผลลัพธ์จากบทความ Noel Cressie และ Marinus Borkent: "ฟังก์ชั่นการสร้างช่วงเวลามีช่วงเวลา", วารสารการวางแผนเชิงสถิติและการอนุมาน 13 (1986) 337-344 ซึ่งให้ช่วงเวลาเศษส่วนผ่านการแยกส่วนของฟังก์ชันสร้างช่วงเวลา .

E \sqrt{Y_{n}}

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \sqrt{Y_n}$

Y_{n}

$Y_n$

α = 1 / 2

$\alpha=1/2$

ครั้งแรกที่ฟังก์ชั่นช่วงเวลาที่ก่อให้เกิดของซึ่งเราเขียน(t) และฉันประเมินว่า (ด้วยความช่วยเหลือของ Maple และ Wolphram Alpha) เพื่อให้ โดยที่เป็นหน่วยจินตภาพ (อัลฟา Wolphram ให้คำตอบที่คล้ายกันแต่ในแง่ของหนึ่งดอว์สัน. ) มันจะเปิดออกเราส่วนใหญ่จะต้องเป็นกรณีสำหรับ<0 ตอนนี้มันง่ายที่จะหา mgf ของ : จากนั้นสำหรับผลลัพธ์จากกระดาษที่อ้างถึง สำหรับ $U_1^2$ $M_1(t)$

M_{1} (เสื้อ) = E {อี}^{เสื้อ {ยู}_{1}^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{{อี}^{เสื้อ x}}{2 \sqrt{x}} d x

$M_1(t) = \E e^{t U_1^2} = \int_0^1 \frac{e^{tx}}{2\sqrt{x}}\; dx$

M_{1} (เสื้อ) = \frac{ERF (\sqrt{- เสื้อ}) \sqrt{π}}{2 \sqrt{- เสื้อ}}

$\DeclareMathOperator{\erf}{erf} M_1(t)= \frac{\erf(\sqrt{-t})\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-t}}$

i = \sqrt{- 1}

$i=\sqrt{-1}$

t < 0

$t<0$

Y_{n}

$Y_n$

M_{n} (เสื้อ) = M_{1} (เสื้อ)^{n}

$M_n(t) = M_1(t)^n$

μ > 0

$\mu>0$ พวกเขากำหนดลำดับที่ครบถ้วนของฟังก์ชันขณะที่ แล้วสำหรับและ nonintegral,เป็นจำนวนเต็มบวกและดังกล่าวว่า\จากนั้นอนุพันธ์ของของคำสั่งถูกกำหนดเป็น จากนั้นพวกเขาระบุ (และพิสูจน์) ผลลัพธ์ต่อไปนี้สำหรับตัวแปรสุ่มที่เป็นบวก : สมมติว่า (mgf) ถูกกำหนดไว้ จากนั้นสำหรับ

μ

$\mu$

f

$f$

{ผม}^{μ} ฉ (เสื้อ) \equiv Γ (μ)^{- 1} \int_{- \infty}^{เสื้อ} (เสื้อ - Z)^{μ - 1} ฉ (Z) d Z

$I^\mu f(t) \equiv \Gamma(\mu)^{-1} \int_{-\infty}^t (t-z)^{\mu-1} f(z)\; dz$

α > 0

$\alpha>0$

n

$n$

0 < λ < 1

$0<\lambda<1$

α = n - λ

$\alpha=n-\lambda$

f

$f$

α

$\alpha$

D^{α} ฉ (เสื้อ) \equiv Γ (λ)^{- 1} \int_{- \infty}^{เสื้อ} (เสื้อ - Z)^{λ - 1} \frac{d^{n} ฉ (Z)}{d Z^{n}} d Z .

$D^\alpha f(t) \equiv \Gamma(\lambda)^{-1}\int_{-\infty}^t (t-z)^{\lambda-1} \frac{d^n f(z)}{d z^n}\; dz.$

X

$X$

M_{X}

$M_X$

α > 0

$\alpha>0$ , ตอนนี้เราสามารถพยายามที่จะใช้ผลลัพธ์เหล่านี้เพื่อy_nด้วยเราพบ โดยที่นายกหมายถึงอนุพันธ์ เมเปิ้ลให้ทางออกต่อไปนี้: ฉันจะแสดงพล็อตของความคาดหวังนี้ทำในต้นเมเปิลโดยใช้การรวมตัวเลขพร้อมกับโซลูชันโดยประมาณ

D^{α} M_{X} (0) = E X^{α} < \infty

$D^\alpha M_X(0) = \E X^\alpha < \infty$

Y_{n}

$Y_n$

α = 1 / 2

$\alpha=1/2$

E Y_{n}^{1 / 2} = D^{1 / 2} M_{n} (0) = Γ (1 / 2)^{- 1} \int_{- \infty}^{0} | Z |^{- 1 / 2} M_{n}^{'} (Z) d Z

$\E Y_n^{1/2} = D^{1/2} M_n (0) = \Gamma(1/2)^{-1}\int_{-\infty}^0 |z|^{-1/2} M_n'(z) \; dz$

\int_{- \infty}^{0} \frac{n \cdot (\erf (\sqrt{- z}) \sqrt{π} - 2 e^{z} \sqrt{- z}) e^{\frac{n (- 2 \ln 2 + 2 \ln (\erf (\sqrt{- z})) - \ln (- z) + \ln (π))}{2}}}{2 π (- z)^{3 / 2} \erf (\sqrt{- z})} d Z

$\int_{-\infty}^0 \frac{n\cdot\left(\erf(\sqrt{-z})\sqrt{\pi}-2e^z\sqrt{-z} \right)e^{\frac{n(-2\ln 2 +2 \ln(\erf(\sqrt{-z}))-\ln(-z) +\ln(\pi))}{2}}}{2\pi(-z)^{3/2}\erf(\sqrt{-z})} \; dz$

A (n) = \sqrt{n / 3 - 1 / 15}

$A(n)=\sqrt{n/3-1/15}$ จากความคิดเห็นบางส่วน (และกล่าวถึงในคำตอบโดย @Henry) พวกเขาอยู่ใกล้อย่างน่าทึ่ง:

พล็อตข้อผิดพลาดของเปอร์เซ็นต์:

ด้านบนประมาณการประมาณใกล้เคียงที่แน่นอน ด้านล่างรหัสเมเปิ้ลที่ใช้: $n=20$

int( exp(t*x)/(2*sqrt(x)), x=0..1 ) assuming t>0;
int( exp(t*x)/(2*sqrt(x)), x=0..1 ) assuming t<0;
M := t -> erf(sqrt(-t))*sqrt(Pi)/(2*sqrt(-t))
Mn := (t,n) -> exp(n*log(M(t)))
A  :=  n -> sqrt(n/3 - 1/15)
Ex :=  n ->   int( diff(Mn(z,n),z)/(sqrt(abs(z))*GAMMA(1/2) ), z=-infinity..0 ,numeric=true)

plot([Ex(n),A(n)],n=1..100,color=[blue,red],legend=[exact,approx],labels=[n,expectation],title="expectation of sum of squared uniforms")
plot([((A(n)-Ex(n))/Ex(n))*100],n=1..100,color=[blue],labels=[n,"% error"],title="Percentage error of approximation")

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา

น่าสนใจมาก. หากคุณสามารถเพิ่มบางแปลงได้นี่จะเป็นคำตอบที่ยอดเยี่ยม อย่างไรก็ตามฉันจะสังเกตเห็นข้อดีอย่างหนึ่งของการประมาณ CLT ที่นี่ ประมาณที่แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเติบโตเป็นเมื่อnวิธีการแก้ปัญหาเมเปิ้ลไม่ได้ (หรืออย่างน้อยฉันไม่สามารถคิดออก)

E [\sqrt{Y_{n}}]

$\mathbb{E}[\sqrt{Y_n}]$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

n \to \infty

$n\to\infty$

— DeltaIV

ในฐานะที่เป็นความคิดเห็นเพิ่มเติม: มันชัดเจนที่นี่ว่าเริ่มต้นด้วยเมื่อจากนั้นเข้าใกล้เป็นเพิ่มขึ้นที่เกี่ยวข้องกับความแปรปรวนของตกลงมาจากต่อ{15} คำถามที่ถูกเชื่อมโยงของฉันซึ่ง S.Catterall คำตอบให้เหตุผลสำหรับผลเชิงแต่ละคนมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน $E\left[\sqrt{Y_n}\right]= E\left[\sqrt{\sum_i X_i^2}\right]$ $E\left[\sqrt{Y_n}\right] =\frac12=\sqrt{\frac{n}{3}-\frac{1}{12}}$ $n=1$ $\sqrt{\frac{n}{3}-\frac{1}{15}}$ $n$ $\sqrt{Y_n}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{15}$ $\sqrt{\frac{n}{3}-\frac{1}{15}}$ $X_i^2$ $\frac13$ $\frac{4}{45}$ และสำหรับการแจกแจงจะอยู่ที่ประมาณและไม่ปกติ

คำถามนี้เป็นคำถามเกี่ยวกับประสิทธิภาพการกระจายของระยะทางจากจุดกำเนิดของจุดสุ่มในนั้นหน่วย hypercube มิติ n มันคล้ายกับคำถามเกี่ยวกับการกระจายของระยะทางระหว่างจุดต่าง ๆ ใน hypercubeดังนั้นฉันสามารถปรับสิ่งที่ฉันทำที่นั่นเพื่อแสดงความหนาแน่นของต่าง ๆจากถึงโดยใช้การคำนวณเชิงตัวเลข สำหรับการประมาณปกติที่แนะนำซึ่งแสดงด้วยสีแดงเป็นแบบที่ดีและจากคุณจะเห็นเส้นโค้งรูประฆัง $n$ $[0,1]^n$ $n$ $1$ $16$ $n=16$ $n=4$

สำหรับและคุณจะได้จุดสูงสุดที่คมชัดที่โหมดซึ่งมีความหนาแน่นเท่ากันทั้งสองกรณี เปรียบเทียบสิ่งนี้กับการกระจายของโดยที่เส้นโค้งเบลล์ปรากฏขึ้นพร้อมและความแปรปรวนเป็นสัดส่วนกับ $n=2$ $n=3$ $1$ $\sum_i X_i$ $n=3$ $n$

— เฮนรี่
แหล่งที่มา

ความแปรปรวนเกือบคงที่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต่อต้านการหยั่งรู้ ตัวอย่างเช่นกับ , (ระยะทางจากจุดกำเนิดของจุดสุ่มในมิติหน่วย hypercube) สามารถใช้ค่าใด ๆ จากถึงแต่ของกรณีจะอยู่ระหว่างและและแทบทั้งหมดระหว่างและ

n = 400

$n=400$

\sqrt{Y_{400}}

$\sqrt{Y_{400}}$

400

$400$

0

$0$

20

$20$

94 %

$94\%$

11

$11$

12

$12$

10

$10$

13

$13$

— เฮนรี่

มันเป็นบิตต่อต้านง่ายในความเป็นจริง เนื่องจากคำสาปของความเป็นมิติฉันจึงคาดหวังว่าคะแนนส่วนใหญ่จะอยู่ใกล้กับมุม (การรับรู้ st ) แต่ดูเหมือนว่าจุดส่วนใหญ่อยู่ไกลจากจุดกำเนิด แต่ไม่ไกลเท่ามุมอาจเป็นข้อผิดพลาดคือเราควรพิจารณาระยะทางจากจุดศูนย์กลางของ hypercubeไม่ใช่ระยะทางจากจุดกำเนิดซึ่งเป็นเพียง มุมหนึ่งของไฮเปอร์คิวบ์

y_{400}

$y_{400}$

\sqrt{y_{400}} = 20

$\sqrt{y_{400}}=20$

— DeltaIV

@DeltaIV: ถ้าคุณสร้างไฮเปอร์คิวบ์ด้านที่ดังนั้นและวัดจากจุดกำเนิดคุณจะได้การกระจายความคาดหวังและความแปรปรวนเหมือนกัน ด้วยคะแนนมากที่สุดใน hypecube ขนาดใหญ่นี้จะใกล้เคียงกับเขตแดนของ hypercube นี้ (ระยะทางปกติของการสั่งซื้อของ ) แต่ไม่ใกล้กับมุม (ระยะทางปกติที่ใกล้ที่สุดหนึ่งในหรืออีกครั้ง)

2

$2$

[- 1, 1]^{n}

$[-1,1]^n$

n = 400

$n=400$

0.02

$0.02$

11

$11$

12

$12$

— เฮนรี่

ที่ทำให้ความรู้สึก - ฉันไม่ได้มีเวลาที่จะทำคณิตศาสตร์ แต่สังหรณ์ใจที่ฉันคาดหวังผลที่คล้ายกันสำหรับ1]) ฉันคาดหวังความคาดหวัง (ขออภัยสำหรับปุน) ที่จะเปลี่ยนแปลงโดยปัจจัยคงที่ แต่อย่างที่ฉันบอกว่าฉันไม่มีเวลาตรวจสอบ

U ([- 1, 1])

$U([-1, 1])$

— DeltaIV